Massimo e minimo di una funzione (estremi relativi)

In questo articolo scoprirai come calcolare il massimo e il minimo di una funzione, te lo spieghiamo risolvendo passo dopo passo due esempi. Inoltre, potrai esercitarti con esercizi passo passo sui massimi e minimi di una funzione.

Quali sono il massimo e il minimo di una funzione?

I massimi di una funzione sono i valori più grandi della funzione e i minimi di una funzione sono i valori più piccoli della funzione. I massimi e i minimi di una funzione sono estremi relativi quando rappresentano solo i valori più grandi o più piccoli nel loro ambiente, ma sono estremi assoluti quando rappresentano i valori più grandi o più piccoli dell’intera funzione.

massimi e minimi di una funzione

Puoi anche identificare gli estremi relativi studiando la crescita e la diminuzione della funzione :

  • Un punto è un massimo relativo quando la funzione passa da crescente a decrescente.
  • Un punto è un minimo relativo quando la funzione passa da decrescente ad crescente.

Come trovare il massimo e il minimo di una funzione

Dalla derivata prima e seconda di una funzione possiamo sapere se una funzione ha un estremo relativo in un punto e se detto punto è un massimo relativo o un minimo relativo:

  • Una funzione ha un estremo rispetto ai punti che annullano la sua derivata prima.

    • f'(a)=0 \quad \bm{\longrightarrow} \quad x=a \text{ es un extremo relativo}

  • E il segno della derivata seconda della funzione determina se il punto è di massimo o di minimo:
    • Se la derivata seconda è negativa, in quel punto la funzione ha un massimo relativo .

      • f''(a)<0 \quad \bm{\longrightarrow} \quad x=a \text{ es un m\'aximo relativo}

    • Se la derivata seconda è positiva, in quel punto la funzione ha un minimo relativo .

      • f''(a)>0 \quad \bm{\longrightarrow} \quad x=a \text{ es un m\’inimo relativo}” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”19″ width=”356″ style=”vertical-align: -5px;”></p> </p> </ul> </li> </ul> </div> <h2 class= Esempio 1: Come calcolare il massimo e il minimo di una funzione

      Una volta viste le definizioni di massimo e minimo di una funzione, risolveremo passo dopo passo un esempio in modo da poter vedere come si calcolano il massimo e il minimo di una funzione.

      • Calcola gli estremi relativi della seguente funzione e determina se sono massimi o minimi:

      f(x)=x^3-3x

      Gli estremi relativi della funzione saranno i punti che la soddisfano

      f'(x)=0

      . Pertanto, calcoliamo prima la derivata della funzione:

      f(x)=x^3-3x \ \longrightarrow \ f'(x)=3x^2-3

      E ora impostiamo la derivata della funzione uguale a zero e risolviamo l’equazione quadratica risultante:

      f'(x)=0

      3x^2-3=0

      3x^2=3

      x^2=\cfrac{3}{3}

      x^2=1

      x= \pm 1

      Pertanto, gli estremi relativi della funzione sono x=+1 e x=-1.

      Una volta conosciuti gli estremi relativi della funzione, possiamo sapere se sono un massimo o un minimo con il segno della derivata seconda. Calcoliamo quindi la derivata seconda della funzione:

      f'(x)=3x^2-3 \ \longrightarrow \ f''(x)=6x

      E ora valutiamo nella derivata seconda gli estremi relativi che abbiamo trovato prima, per sapere se sono un massimo o un minimo relativo:

      f''(1)=6\cdot 1 = 6 \ \longrightarrow

      Minimo relativo

      f''(-1)=6\cdot (-1) = -6 \ \longrightarrow

      Parente massimo

      La derivata seconda in x=1 è positiva, quindi x=1 è un minimo relativo . D’altra parte, la derivata seconda in x=-1 è negativa, quindi x=-1 è un massimo relativo .

      Infine, sostituiamo i punti trovati nella funzione originale per trovare la coordinata Y dei relativi estremi:

      f(1)=1^3-3\cdot 1=-2 \ \longrightarrow \ (1,-2)

      f(-1)=(-1)^3-3\cdot(-1)= 2 \ \longrightarrow \ (-1,2)

      In conclusione, gli estremi relativi della funzione sono:

      Minimo da puntare

      \bm{(1,-2)}

      Massimo punto

      \bm{(-1,2)}

      Esempio 2: Studio della monotonicità e dei massimi e minimi di una funzione

      Adesso vediamo come si risolve un altro tipo di esercizio. In questo caso spiegheremo come trovare il massimo e il minimo dalla monotonicità di una funzione.

      • Studia la monotonicità e calcola gli estremi relativi della seguente funzione:

      f(x)=\cfrac{x^2}{x-1}

      La prima cosa da fare è calcolare il dominio di definizione della funzione. Essendo una funzione razionale, dobbiamo porre il denominatore uguale a 0 per vedere quali numeri non appartengono al dominio della funzione:

      x-1=0

      x=1

      \text{Dom } f= \mathbb{R}-\{1 \}

      Una volta calcolato il dominio di definizione della funzione, dobbiamo studiare quali punti annullano la derivata prima. Deriviamo quindi la funzione:

      f(x)=\cfrac{x^2}{x-1} \ \longrightarrow \ f'(x)= \cfrac{2x\cdot (x-1) - x^2\cdot 1}{\left(x-1\right)^2}

      f'(x)=\cfrac{2x^2-2x - x^2}{\left(x-1\right)^2}

      f'(x)=\cfrac{x^2-2x}{\left(x-1\right)^2}

      E ora impostiamo la derivata uguale a 0 e risolviamo l’equazione:

      f'(x)=0

      \cfrac{x^2-2x}{\left(x-1\right)^2}=0

      Il termine

      \left(x-1\right)^2}

      Ciò comporta la divisione dell’intero lato sinistro, quindi possiamo moltiplicarlo per l’intero lato destro:

      x^2-2x=0\cdot \left(x-1\right)^2

      x^2-2x=0

      Estraiamo il fattore comune per risolvere l’equazione quadratica:

      x(x-2)=0

      Perché la moltiplicazione sia uguale a 0, uno dei due elementi della moltiplicazione deve essere zero. Poniamo quindi ogni fattore uguale a 0 e otteniamo le due soluzioni dell’equazione:

      \displaystyle x\cdot(x-2) =0 \longrightarrow \begin{cases} \bm{x=0} \\[2ex] x-2=0 \ \longrightarrow \ \bm{x= 2} \end{cases}

      Una volta calcolato il dominio della funzione e

      f'(x)=0

      , rappresentiamo tutti i punti critici che si trovano sulla retta:

      E valutiamo il segno della derivata in ciascun intervallo, per sapere se la funzione aumenta o diminuisce. Per fare ciò, prendiamo un punto in ogni intervallo (mai i punti critici) e guardiamo quale segno ha la derivata in quel punto:

      f'(x)=\cfrac{x^2-2x}{\left(x-1\right)^2}

      f'(-1) = \cfrac{(-1)^2-2(-1)}{\left((-1)-1\right)^2} =\cfrac{+3}{+4} = +0,75 \ \rightarrow \ \bm{+}

      f'(0,5) = \cfrac{0,5^2-2\cdot0,5}{\left(0,5-1\right)^2} = \cfrac{-0,75}{+0,25} = -3 \ \rightarrow \ \bm{-}

      f'(1,5) = \cfrac{1,5^2-2\cdot1,5}{\left(1,5-1\right)^2} = \cfrac{-0,75}{+0,25} = -3 \ \rightarrow \ \bm{-}

      f'(3) = \cfrac{3^2-2\cdot3}{\left(3-1\right)^2} =\cfrac{+3}{+4} = +0,75 \ \rightarrow \ \bm{+}

      Se la derivata è positiva significa che la funzione è crescente, ma se la derivata è negativa significa che la funzione è decrescente. Pertanto gli intervalli di crescita e declino sono:

      Crescita:

      \bm{(-\infty, 0)\cup (2,+\infty)}

      Diminuire:

      \bm{(0,1)\cup (1,2)}

      Inoltre, per x=0 la funzione passa da crescente a decrescente, quindi x=0 è un massimo relativo della funzione . E in x=2, la funzione passa da decrescente ad crescente, quindi x=2 è un minimo relativo della funzione.

      E infine, sostituiamo i punti trovati nella funzione originale per trovare la coordinata Y delle estremità:

      f(0)=\cfrac{0^2}{0-1} = \cfrac{0}{-1} = 0 \ \longrightarrow \ (0,0)

      f(2)=\cfrac{2^2}{2-1} = \cfrac{4}{1} = 4 \ \longrightarrow \ (2,4)

      In breve, gli estremi relativi della funzione sono:

      Massimo punto

      \bm{(0,0)}

      Minimo da puntare

      \bm{(2,4)}

      Esercizi risolti sui massimi e minimi di una funzione

      Esercizio 1

      Calcola gli estremi relativi della seguente funzione polinomiale e determina se sono massimi o minimi:

      f(x)=x^3-3x^2-9x

      Gli estremi relativi della funzione saranno i punti in cui la derivata prima della funzione è uguale a zero. Calcoliamo quindi la derivata della funzione:

      f(x)=x^3-3x^2-9x \ \longrightarrow \ f'(x)=3x^2-6x-9

      E ora risolviamo l’equazione

      f'(x)=0:

      f'(x)=0

      3x^2-6x-9=0

      Abbiamo un’equazione quadratica, quindi applichiamo la formula generale per risolverla:

      \begin{aligned} x &=\cfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} =\cfrac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2-4\cdot 3 \cdot (-9)}}{2\cdot 3}=\\[1.5ex]&=\cfrac{6 \pm \sqrt{144}}{6}=\cfrac{6 \pm 12}{6} =\begin{cases} \cfrac{6 + 12}{6}=\cfrac{18}{6}= 3 \\[4ex] \cfrac{6 - 12}{6}=\cfrac{-6}{6}=-1 \end{cases} \end{aligned}

      Pertanto gli estremi relativi della funzione sono i punti x=3 e x=-1.

      Una volta conosciuti gli estremi relativi della funzione, possiamo sapere se sono un massimo o un minimo con il segno della derivata seconda. Differenziamo quindi nuovamente la funzione:

      f'(x)=3x^2-6x-9 \ \longrightarrow \ f''(x)=6x-6

      E ora valutiamo i punti che abbiamo calcolato prima nella derivata seconda:

      f''(3)=6(3)-6=18-6 = +12 \ \longrightarrow \ \text{M\'inimo}

      f''(-1)=6(-1)-6=-6-6 = -12 \ \longrightarrow \ \text{M\'aximo}

      La derivata seconda in x=3 è positiva, quindi x=3 è un minimo . E la derivata seconda in x=-1 è negativa, quindi x=-1 è un massimo .

      E infine, sostituiamo i punti trovati nella funzione originale per trovare la coordinata Y delle estremità:

      f(3)=3^3-3\cdot 3^2-9\cdot3=-27 \ \longrightarrow \ (3,-27)

      f(-1)=(-1)^3-3(-1)^2-9(-1)=5 \ \longrightarrow \ (-1,5)

      In breve, gli estremi relativi della funzione sono:

      Minimo relativo al punto

      \bm{(3,-27)}

      Massimo relativo al punto

      \bm{(-1,5)}

      Esercizio 2

      Calcola gli estremi relativi della seguente funzione esponenziale e determina se sono massimi o minimi:

      f(x)=e^x(x-1)

      Innanzitutto dobbiamo differenziare la funzione. Per fare ciò applichiamo la formula per la derivata di un prodotto:

      f'(x)=e^x\cdot (x-1)+ e^x\cdot 1

      f'(x)=xe^x -e^x +e^x = xe^x

      E ora risolviamo l’equazione

      f'(x)=0:

      f'(x)=0

      xe^x=0

      \displaystyle x\cdot e^x =0 \longrightarrow \begin{cases} \bm{x=0} \\[2ex] e^x=0 \ \color{red}\bm{\times} \end{cases}

      Un numero elevato a un altro non può mai dare come risultato 0. Pertanto,

      e^x=0

      non ha soluzione e l’unico estremo relativo lo è

      x=0

      .

      Ora calcoliamo la derivata seconda della funzione per sapere se l’estremo relativo è un massimo o un minimo:

      f'(x)= xe^x \ \longrightarrow \ f''(x)= 1\cdot e^x + x \cdot e^x = e^x+xe^x

      E ora valutiamo nella derivata seconda l’estremo che abbiamo trovato prima, per vedere se è un massimo o un minimo:

      f''(0)= e^{0}+0\cdot e^{0} = 1+0\cdot 1 = 1 \ \longrightarrow \ \text{M\'inimo}

      Poiché la derivata seconda in x=0 è positiva, x=0 è un minimo relativo o locale .

      Infine, sostituiamo il punto trovato nella funzione originale per trovare l’altra coordinata finale:

      f(0)=e^{0}(0-1) =1\cdot (-1)=-1 \ \longrightarrow \ (0,-1)

      L’unico estremo relativo della funzione è quindi:

      Minimo da puntare

      \bm{(0,-1)}

      Esercizio 3

      Studia la monotonia e trova gli estremi relativi della seguente funzione razionale:

      \displaystyle f(x)=\frac{x -1 }{x^2+1}

      Per prima cosa determiniamo il dominio della funzione. Per fare ciò, impostiamo il denominatore della frazione uguale a zero e risolviamo l’equazione quadratica risultante:

      x^2+1 = 0

      L’espressione

      x^2+1

      Non sarà mai 0, poiché il risultato di x 2 sarà sempre un numero positivo o 0. Pertanto, sommando 1 non si darà mai 0. Il dominio della funzione è quindi composto solo da numeri reali:

      \text{Dom } f= \mathbb{R}

      Successivamente, studiamo quali punti si incontrano

      f'(x)=0.

      Differenziamo la funzione utilizzando la regola del quoziente:

      f(x)=\cfrac{x -1 }{x^2+1} \ \longrightarrow \ f'(x)= \cfrac{1 \cdot (x^2+1) - (x-1) \cdot 2x }{\left(x^2+1}\right)^2}

      f'(x)= \cfrac{x^2+1-(2x^2-2x)}{\left(x^2+1\right)^2} = \cfrac{x^2+1-2x^2+2x}{\left(x^2+1\right)^2}= \cfrac{-x^2+2x+1}{\left(x^2+1\right)^2}

      Impostiamo la derivata uguale a 0 e risolviamo l’equazione:

      f'(x)= 0

      \cfrac{-x^2+2x+1}{\left(x^2+1\right)^2}=0

      -x^2+2x+1=0\cdot \left(x^2+1\right)^2

      -x^2+2x+1=0

      Abbiamo un’equazione quadratica, quindi usiamo la formula generale per risolverla:

      \begin{aligned}x &=\cfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} =\cfrac{-2 \pm \sqrt{2^2-4\cdot (-1) \cdot 1}}{2\cdot (-1)} = \\[1.5ex]&=\cfrac{-2 \pm \sqrt{8}}{-2} =\begin{cases} \cfrac{-2 + \sqrt{8}}{-2}= -0,41 \\[4ex] \cfrac{-2 - \sqrt{8}}{-2}= 2,41\end{cases} \end{aligned}

      Una volta calcolato il dominio della funzione e

      f'(x)=0

      , rappresentiamo tutti i punti singolari presenti sulla retta numerica:

      E ora valutiamo il segno della derivata in ciascun intervallo, per scoprire se la funzione è crescente o decrescente. Prendiamo quindi un punto in ogni intervallo (mai i punti singolari) e guardiamo che segno ha la derivata in questo punto:

      f'(-1)= \cfrac{-(-1)^2+2(-1)+1}{\left((-1)^2+1\right)^2}}= \cfrac{-2}{+4} =-0,5 \ \rightarrow \ \bm{-}

      f'(0)= \cfrac{-0^2+2(0)+1}{\left(0^2+1\right)^2}}= \cfrac{+1}{+1} =+1 \ \rightarrow \ \bm{+}

      f'(3)= \cfrac{-3^2+2\cdot 3+1}{\left(3^2+1\right)^2}}= \cfrac{-2}{+100} =-0,02 \ \rightarrow \ \bm{-}

      Se la derivata è positiva significa che la funzione è crescente in quell’intervallo, ma se la derivata è negativa significa che la funzione è decrescente. Pertanto gli intervalli di crescita e declino sono:

      Crescita:

      \bm{(-0,41 \ , \ 2,41)}

      Diminuire:

      \bm{(-\infty \ , \ -0,41)\cup (2,41 \ , \ +\infty)}

      La funzione cambia da decrescente ad crescente in x=-0,41, quindi x=-0,41 è un minimo locale della funzione. E la funzione passa da crescente a decrescente in x=2,41, quindi x=2,41 è un massimo locale della funzione.

      Infine, sostituiamo gli estremi trovati nella funzione originale per trovare le coordinate Y dei punti:

      f(-0,41)=\cfrac{-0,41 -1 }{(-0,41)^2+1} = \cfrac{-1,41}{1,17}= -1,21 \ \longrightarrow \ (-0,41 \ , \ -1,21)

      f(2,41)=\cfrac{2,41 -1 }{2,41^2+1} = \cfrac{1,41}{6,81}= 0,21 \ \longrightarrow \ (2,41 \ , \ 0,21)

      Gli estremi relativi della funzione sono quindi:

      Minimo da puntare

      \bm{(-0,41 \ , \ -1,21)}

      Massimo punto

      \bm{ (2,41 \ , \ 0,21)}

      Esercizio 4

      Sappiamo che la funzione

      f(x)=x^2+ax+b

      passare per il punto

      (1,-2)

      e ha un estremo relativo in

      x= -1 .

      Determinare il valore delle incognite

      a

      e il valore di

      b .

      Lascia che la funzione abbia un estremo relativo interno

      x= -1

      ciò significa che è compiuto

      f'(-1)=0.

      Pertanto, calcoliamo la derivata della funzione in

      x= -1

      e lo impostiamo uguale a 0:

      f(x) = x^2+ax+b \ \longrightarrow \ f'(x)=2x+a

      \left. \begin{array}{l} f'(-1)=2(-1)+a\\[2ex] f'(-1)=0\end{array} \right\} \longrightarrow 2(-1)+a=0

      E risolviamo l’equazione ottenuta per trovare il valore del parametro a:

      2(-1)+a=0

      -2+a=0

      \bm{a=2}

      La funzione sarà quindi:

      f(x)=x^2+ax+b \ \xrightarrow{a \ = \ 2} \ f(x)=x^2+2x+b

      Ci dicono invece che la funzione passa per il punto

      (1,-2) .

      Questo è da dire,

      f(1)=-2 .

      Pertanto, possiamo applicare questa condizione per trovare il valore della variabile b:

      \left. \begin{array}{l} f(1)=1^2+2\cdot1+b \\[2ex] f(1)=-2 \end{array} \right\} \longrightarrow 1^2+2\cdot 1+b = -2

      E risolviamo l’equazione ottenuta per trovare il valore del parametro b:

      1^2+2\cdot1+b=-2

      1+2+b=-2

      b=-2-1-2

      \bm{b=-5}

      La funzione è quindi:

      f(x)=x^2+2x+b \ \xrightarrow{b \ = \ -5} \ f(x)=x^2+2x-5

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