Qui scoprirai come risolvere i limiti trigonometrici. Potrai vedere diversi esempi di limiti delle funzioni trigonometriche e persino esercitarti con esercizi passo passo risolti sui limiti trigonometrici.
Cosa sono i limiti trigonometrici?
I limiti trigonometrici sono limiti calcolati su funzioni trigonometriche. Per risolvere i limiti trigonometrici occorre applicare una procedura preliminare, perché generalmente danno luogo a indeterminazioni.
Inoltre, non esistono limiti infiniti delle funzioni trigonometriche, perché sono funzioni periodiche. Cioè i suoi grafici si ripetono continuamente periodicamente senza tendere verso un valore specifico.
Formule limite trigonometriche
Tutti i limiti trigonometrici sono calcolati dalle seguenti due formule:

Dimostrazione della formula
Se proviamo a calcolare il limite per sostituzione, otteniamo l’indeterminazione zero tra zero:

Ma questa formula trigonometrica può essere dimostrata calcolando i valori della funzione più vicina e più vicina a x=0 (angoli in radianti).

I due limiti laterali della funzione trigonometrica danno 1, quindi il limite nel punto x=0 è 1:
![Rendered by QuickLaTeX.com \begin{array}{c}\displaystyle\lim_{x\to 0^-}\frac{\text{sen}(x)}{x}=\lim_{x\to 0^+}\frac{\text{sen}(x)}{x}=1\\[3ex]\color{orange}\bm{\downarrow}\\[2ex]\lim_{x\to 0}\displaystyle\frac{\text{sen}(x)}{x}=1\end{array}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8af649189957b154866097e315f7cb92_l3.svg)
Pertanto, il limite trigonometrico del seno di x diviso per x quando x tende a 0 è uguale a 1.
Questa formula può essere applicata anche per più angoli:


Dimostrazione della formula
Se proviamo a trovare il limite per sostituzione diretta, otteniamo la forma indeterminata zero tra zero:

Ma possiamo verificare l’uguaglianza dalla formula sopra. Per fare ciò, devi prima moltiplicare il numeratore e il denominatore della frazione per 1 più il coseno di x:

Ora abbiamo un’identità notevole nel numeratore della frazione, quindi possiamo semplificarla:


Partendo dall’identità trigonometrica fondamentale, riscriviamo il numeratore:


Possiamo quindi trasformare la frazione in un prodotto di frazioni:


Utilizzando le proprietà dei limiti, possiamo convertire l’espressione sopra in un prodotto di limiti:

Utilizzando la formula dimostrata sopra, possiamo facilmente semplificare il limite trigonometrico:



E infine, calcoliamo il limite risultante:

Pertanto, la formula del limite trigonometrico è verificata:

Come l’altra formula, può essere utilizzata anche per più angoli:

Pertanto, per risolvere i limiti trigonometrici, dobbiamo usare l’aritmetica per trasformare le funzioni e ottenere espressioni simili a queste. In questo modo possiamo utilizzare una delle due formule e trovare il valore del limite.
D’altra parte, a volte potremmo aver bisogno di applicare alcune identità trigonometriche, quindi lasciamo a te tutte le formule seguenti
Identità trigonometriche
Formula che collega i tre principali rapporti trigonometrici:

Identità trigonometrica fondamentale:

Relazioni trigonometriche derivate dalla fondamentale:


Angoli opposti:



Somma di due angoli:



Differenza di due angoli:



Doppio angolo:



Mezzo angolo:



Addizione e sottrazione di seno e coseno:




Prodotto di seni e coseni:
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle \text{sen}(x)\cdot \text{sen}(y)=\frac{1}{2}\Bigl[\text{cos}(x-y)-\text{cos}(x+y)\Bigr]](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-78ab2bb9d2bc291a1f7e4c9e329d893e_l3.svg)
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle \text{cos}(x)\cdot \text{cos}(y)=\frac{1}{2}\Bigl[\text{cos}(x+y)+\text{cos}(x-y)\Bigr]](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-40daecfe989acfa36adb6772d193d027_l3.svg)
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle \text{sen}(x)\cdot \text{cos}(y)=\frac{1}{2}\Bigl[\text{sen}(x+y)+\text{sen}(x-y)\Bigr]](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b01d45ae9c7b57d25e2bd1bdfea9dba9_l3.svg)
Affinché tu possa vedere esattamente come vengono calcolati i limiti trigonometrici, abbiamo messo insieme un esempio passo passo di seguito.
Esempio di limite trigonometrico
Vediamo come viene risolto un limite trigonometrico utilizzando il seguente esempio:

Provando a calcolare il limite trigonometrico otteniamo l’indeterminatezza dello zero tra zero:

➤ Vedi: zero limiti tra zero
È quindi necessario trasformare la funzione trigonometrica per risolvere il limite. La funzione tangente è uguale al seno diviso coseno, quindi:


Possiamo ora esprimere la funzione come prodotto applicando le proprietà delle frazioni:

![Rendered by QuickLaTeX.com \begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\displaystyle\frac{\text{sen}(x)}{\text{cos}(x)}}{\displaystyle\frac{x}{1}}=\lim_{x\to 0}{\frac{\text{sen}(x)\cdot 1}{\text{cos}(x) \cdot x}=\\[6ex]\displaystyle =\lim_{x\to 0}{\frac{\text{sen}(x)}{x\text{cos}(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(x)}{x}\cdot \frac{1}{\text{cos}(x)}\end{array}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-dd10c321c3b7dc40698b318c7187a3c4_l3.svg)
Utilizzando le proprietà dei limiti, possiamo convertire il limite di due funzioni moltiplicate nel prodotto di due limiti:

Come abbiamo mostrato sopra, il primo limite trigonometrico dà 1:


Quindi basta fare il seguente calcolo:

Esercizi risolti sui limiti trigonometrici
Esercizio 1
Risolvi il seguente limite trigonometrico:

Vedi la soluzione
Per prima cosa proviamo a calcolare il limite trigonometrico mediante valutazione diretta:

Ma otteniamo zero su zero indeterminatezza. Quindi dobbiamo applicare le trasformazioni alla funzione.
Innanzitutto, lasceremo semplicemente la x al denominatore procedendo come segue:

Ora moltiplichiamo e dividiamo la frazione per 4 per ottenere un’espressione con cui si può applicare la prima formula per i limiti trigonometrici:

Infine applichiamo la formula vista all’inizio e risolviamo il limite trigonometrico:


Esercizio 2
Calcolare il seguente limite trigonometrico:

Vedi la soluzione
Per prima cosa proviamo a trovare il limite trigonometrico:

Ma la forma indeterminata dello zero corrisponde allo zero raggiunto.
Quindi, convertiamo la tangente in un quoziente tra seno e coseno:

Moltiplichiamo e dividiamo per il coseno di x:

Prendiamo un fattore comune al numeratore e separiamo il limite trigonometrico in due:

E infine, troviamo il risultato del limite trigonometrico:

Esercizio 3
Risolvi il limite della seguente funzione trigonometrica quando x tende a zero:

Vedi la soluzione
Facendo il calcolo diretto otteniamo il limite indeterminato 0 tra 0:

Pertanto, semplificheremo il limite dividendo ciascun termine per la tangente di x:

In secondo luogo, possiamo dedurre dall’identità trigonometrica fondamentale che la frazione del numeratore è equivalente al coseno di x:


E applicando la seconda formula dimostrata nella teoria dei limiti trigonometrici, possiamo facilmente risolvere il limite:

![Rendered by QuickLaTeX.com \begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1-\text{cos}(x)}{3x}=\lim_{x\to 0}\frac{1}{3}\cdot \frac{1-\text{cos}(x)}{x}=\\[4ex]\displaystyle =\frac{1}{3}\lim_{x\to 0}\frac{1-\text{cos}(x)}{x}=\frac{1}{3}\cdot 0=\bm{0}\end{array}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b1ee20bc86ad7559fcda3d6bad3c9b27_l3.svg)
Esercizio 4
Determina la soluzione del seguente limite trigonometrico nel punto x=0:

Vedi la soluzione
Se proviamo a risolvere il limite, troviamo la forma indeterminata 0/0:

L’espressione algebrica del numeratore può essere riscritta utilizzando l’identità trigonometrica del seno di un doppio angolo:


Ora separiamo il limite della funzione trigonometrica in un prodotto:
![Rendered by QuickLaTeX.com \begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(2x)\cdot \text{sen}(5x)}{x\cdot x}=\\[4ex]\displaystyle =\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(2x)}{x}\cdot\frac{\text{sen}(5x)}{x}=\\[4ex]\displaystyle =\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(2x)}{x}\cdot\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(5x)}{x}\end{array}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fc650634075435b782f1e7b921b77c02_l3.svg)
E, infine, risolviamo il limite trigonometrico applicando le proprietà dei limiti:
![Rendered by QuickLaTeX.com \begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(2x)}{x}\cdot\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(5x)}{x}=\\[4ex]\displaystyle =2\cdot \lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(2x)}{2x}\cdot 5\cdot \lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(5x)}{5x}=\\[4ex]\displaystyle =2\cdot 1\cdot 5\cdot 1=\bm{10}\end{array}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7c26ba3032828541e69e4bd976ac4f96_l3.svg)