Limiti trigonometrici

Qui scoprirai come risolvere i limiti trigonometrici. Potrai vedere diversi esempi di limiti delle funzioni trigonometriche e persino esercitarti con esercizi passo passo risolti sui limiti trigonometrici.

Cosa sono i limiti trigonometrici?

I limiti trigonometrici sono limiti calcolati su funzioni trigonometriche. Per risolvere i limiti trigonometrici occorre applicare una procedura preliminare, perché generalmente danno luogo a indeterminazioni.

Inoltre, non esistono limiti infiniti delle funzioni trigonometriche, perché sono funzioni periodiche. Cioè i suoi grafici si ripetono continuamente periodicamente senza tendere verso un valore specifico.

Formule limite trigonometriche

Tutti i limiti trigonometrici sono calcolati dalle seguenti due formule:

\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(x)}{x}=1

\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1-\text{cos}(x)}{x}=0

Pertanto, per risolvere i limiti trigonometrici, dobbiamo usare l’aritmetica per trasformare le funzioni e ottenere espressioni simili a queste. In questo modo possiamo utilizzare una delle due formule e trovare il valore del limite.

D’altra parte, a volte potremmo aver bisogno di applicare alcune identità trigonometriche, quindi lasciamo a te tutte le formule seguenti

Affinché tu possa vedere esattamente come vengono calcolati i limiti trigonometrici, abbiamo messo insieme un esempio passo passo di seguito.

Esempio di limite trigonometrico

Vediamo come viene risolto un limite trigonometrico utilizzando il seguente esempio:

\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\text{tan}(x)}{x}

Provando a calcolare il limite trigonometrico otteniamo l’indeterminatezza dello zero tra zero:

\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\text{tan}(x)}{x}=\frac{\text{tan}(0)}{0}=\frac{0}{0}

Vedi: zero limiti tra zero

È quindi necessario trasformare la funzione trigonometrica per risolvere il limite. La funzione tangente è uguale al seno diviso coseno, quindi:

\text{tan}(x)=\cfrac{\text{sen}(x)}{\text{cos}(x)}

\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\text{tan}(x)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{\displaystyle\frac{\text{sen}(x)}{\text{cos}(x)}}{x}

Possiamo ora esprimere la funzione come prodotto applicando le proprietà delle frazioni:

\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{a}{b}}{\displaystyle\frac{c}{d}}=\frac{a\cdot d}{b\cdot c}

\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\displaystyle\frac{\text{sen}(x)}{\text{cos}(x)}}{\displaystyle\frac{x}{1}}=\lim_{x\to 0}{\frac{\text{sen}(x)\cdot 1}{\text{cos}(x) \cdot x}=\\[6ex]\displaystyle =\lim_{x\to 0}{\frac{\text{sen}(x)}{x\text{cos}(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(x)}{x}\cdot \frac{1}{\text{cos}(x)}\end{array}

Utilizzando le proprietà dei limiti, possiamo convertire il limite di due funzioni moltiplicate nel prodotto di due limiti:

\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(x)}{x}\cdot\frac{1}{\text{cos}(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(x)}{x}\cdot\lim_{x\to 0}\frac{1}{\text{cos}(x)}

Come abbiamo mostrato sopra, il primo limite trigonometrico dà 1:

\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(x)}{x}=1

\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(x)}{x}\cdot\lim_{x\to 0}\frac{1}{\text{cos}(x)}=1\cdot\lim_{x\to 0}\frac{1}{\text{cos}(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{1}{\text{cos}(x)}

Quindi basta fare il seguente calcolo:

\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1}{\text{cos}(x)}=\frac{1}{\text{cos}(0)}=\frac{1}{1}=1

Esercizi risolti sui limiti trigonometrici

Esercizio 1

Risolvi il seguente limite trigonometrico:

\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(4x)}{2x}

Esercizio 2

Calcolare il seguente limite trigonometrico:

\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(x)+\text{tan}(x)}{x}

Esercizio 3

Risolvi il limite della seguente funzione trigonometrica quando x tende a zero:

\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\text{tan}(x)-\text{sen}{(x)}}{3x\cdot\text{tan}(x)}

Esercizio 4

Determina la soluzione del seguente limite trigonometrico nel punto x=0:

\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{2\text{sen}(x)\text{cos}(x)\text{sen}(5x)}{x^2}

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