Grado di un polinomio

In questa pagina spieghiamo cos’è il grado di un polinomio (grado assoluto e grado relativo) e come sapere qual è il grado di un polinomio. Potrai anche vedere diversi esempi di come viene determinato il grado di un polinomio e, inoltre, scoprirai come vengono classificati i polinomi in base al loro grado.

Qual è il grado di un polinomio?

La definizione del grado di un polinomio è la seguente:

In matematica, il grado di un polinomio è il massimo esponente al quale viene elevata la variabile polinomiale.

Ad esempio, il seguente polinomio è di grado 5 perché il valore massimo degli esponenti dei suoi termini è 5:

$P(x) = x^5+2x^4+6x^2-3$

Anche se sembra un concetto molto semplice, saper identificare il grado di un polinomio è fondamentale per poter sommare e sottrarre correttamente i polinomi. Scopri perché è così importante negli esempi di addizione di polinomi ed esempi di sottrazione di polinomi , dove, inoltre, potrai esercitarti con esercizi risolti questi due tipi di operazioni con i polinomi.

Esempi di gradi di polinomi

Una volta che sappiamo come identificare il grado di un polinomio, vediamo altri esempi per comprenderne il significato:

Esempio di polinomio di grado zero:

$P(x) = 4$

Esempio di polinomio di primo grado:

$P(x) = 3x+2$

Esempio di polinomio di secondo grado:

$P(x) = x^2+7x-4$

Esempio di polinomio di terzo grado:

$P(x) = 2x^3+5x^2-9$

Esempio di polinomio di quarto grado:

$P(x) = 6x^4+3x^2-7x+1$

Come conoscere il grado di un polinomio con due o più variabili?

Abbiamo appena visto come si determina il grado di un polinomio invariabile, cioè con una sola variabile. Ma qual è il grado di un polinomio multivariabile?

In algebra, ci sono due tipi di gradi polinomiali quando hanno più di una variabile:

Grado assoluto : il grado assoluto corrisponde al grado massimo dei monomi che compongono il polinomio
Grado relativo : il grado relativo rispetto ad una certa variabile corrisponde all’esponente più grande di detta variabile.

Ovviamente per determinare il grado assoluto di un polinomio bisogna sapere come si calcola il grado di un monomio con 2 o più variabili, quindi se non ricordate come è stato fatto vi consigliamo di dare un’occhiata alla nostra pagina sulle parti di un monomio . In questa pagina troverai la spiegazione di tutte le parti di un monomio e, più specificatamente, come determinare il grado di un monomio multivariabile .

Ad esempio, troveremo i gradi assoluti e relativi del seguente polinomio con 3 variabili:

$P(x,y,z) = 3x^5y^4 + 6x^3y^2z - 2y^6z^2$

Per quanto riguarda il grado assoluto del polinomio, il suo primo monomio è di grado 9, il secondo termine del polinomio è di grado 6 e, infine, il terzo elemento del polinomio è di grado 8. Pertanto, il grado assoluto del polinomio di il problema è 9, poiché è il grado massimo dei suoi monomi.

$\text{Grado absoluto de } P(x,y,z) = 9$

Il grado relativo, invece, si riferisce singolarmente a ciascuna variabile ed è costituito dall’esponente massimo di detta variabile. Quindi il grado massimo della variabile x è 5, il grado relativo della variabile y è 6, ed infine il grado rispetto alla lettera z è 2.

$\text{Grado relativo de } x = 5$

$\text{Grado relativo de } y = 6$

$\text{Grado relativo de } z = 2$

Tipi di polinomi in base al grado dei loro monomi

Alcuni polinomi particolari possono essere classificati in base al grado dei loro termini:

Polinomio ordinato : Un polinomio è ordinato se i suoi monomi sono scritti dal grado più alto al grado più basso.

$P(x) = x^4 + 4x^3+6x^2 +3$

Il polinomio precedente è ordinato poiché i suoi monomi sono ordinati in base al loro grado in ordine decrescente.

Polinomio completo : quel polinomio che ha tutti i termini di tutti i gradi dal monomio di grado più alto al termine indipendente.

$P(x) = x^5 + 3x^4-5x^3+2x^2 +x+9$

Logicamente, il numero di termini in ogni polinomio completo è uguale al grado del polinomio più 1.

Polinomio incompleto : Polinomio in cui manca un termine di un certo grado tra il monomio di grado superiore e il termine indipendente.

$P(x) = x^5+4x^3-7x+3$

Polinomio omogeneo : Un polinomio è omogeneo quando tutti i suoi elementi hanno lo stesso grado. Ad esempio, il seguente polinomio è omogeneo perché tutti i suoi monomi sono di grado 7.

$P(x,y) = 6x^3y^4+2x^5y^2 -4x^6y$

Polinomio eterogeneo : un polinomio è eterogeneo se almeno uno dei suoi termini è di grado diverso da uno qualsiasi degli altri termini che compongono il polinomio.

$P(x,y) = 4x^3+11x^5-6y^5$