Funzione seno - Mathority

In questa pagina troverai tutto sulla funzione seno: cos’è, qual è la sua formula, come rappresentarla in un grafico, le caratteristiche di questo tipo di funzione, ampiezza, periodo, ecc. Inoltre, potrai vedere diversi esempi di funzioni seno per comprendere appieno il concetto. Spiega anche il teorema del seno e le relazioni che la funzione seno ha con altri rapporti trigonometrici.

formula della funzione seno

La funzione seno di un angolo α è una funzione trigonometrica la cui formula è definita come il rapporto tra il cateto opposto e l’ipotenusa di un triangolo rettangolo (triangolo con un angolo retto).

Questo tipo di funzione matematica viene spesso scritta con l’abbreviazione “sin” o “peccato” (dal latino sinus ). Inoltre, può anche essere chiamata funzione sinusoidale, sinusoidale o sinusoidale.

La funzione seno è uno dei rapporti trigonometrici più conosciuti, insieme al coseno e alla tangente di un angolo.

Valori caratteristici della funzione seno

Alcuni angoli si ripetono frequentemente e, quindi, è conveniente conoscere il valore della funzione seno a questi angoli:

valori caratteristici o tipici della funzione seno

Quindi il segno della funzione seno dipende dal quadrante in cui si trova l’angolo: se l’angolo è nel primo o nel secondo quadrante il seno sarà positivo, se invece l’angolo cade nel terzo o nel quarto quadrante , il seno sarà negativo.

segno della funzione del quadrante sinusoidale

Rappresentazione grafica della funzione seno

Con la tabella dei valori che abbiamo visto nella sezione precedente possiamo rappresentare graficamente la funzione seno. Quindi, quando rappresentiamo graficamente la funzione seno, otteniamo:

Come puoi vedere dal grafico, i valori delle immagini della funzione seno sono sempre compresi tra +1 e -1, cioè è delimitata in alto da +1 e in basso da -1. Inoltre, i valori si ripetono ogni 360 gradi (2π radianti), quindi è una funzione periodica il cui periodo è 360º.

D’altra parte, in questo grafico apprezziamo perfettamente che la funzione seno è dispari, perché i suoi elementi opposti hanno immagini opposte, o in altre parole è simmetrica rispetto all’origine (0,0). Ad esempio, il seno di 90º è 1 e il seno di -90º è -1.

Proprietà della funzione seno

La funzione seno ha le seguenti caratteristiche:

Il dominio della funzione seno è costituito da tutti i numeri reali poiché, come mostra il grafico, la funzione esiste per qualsiasi valore della variabile indipendente x.

$\text{Dom } f = \mathbb{R}$

Il percorso o l’intervallo della funzione seno va da meno 1 a più 1 (entrambi inclusi).

$\text{Im } f= [-1,1]$

È una funzione continua e dispari con periodicità 2π.

$\displaystyle \text{sen}(-x) =- \text{sen }x$

Questo tipo di funzione trigonometrica ha un unico punto di intersezione con l’asse y (asse Y) nel punto (0,0).

$(0,0)$

Intercetta invece periodicamente l’ascissa (asse X) in diverse coordinate del pi greco.

$(k\pi,0) \qquad k \in \mathbb{Z}$

Il massimo della funzione seno si verifica quando:

$x = \cfrac{\pi}{2} +2k\pi \qquad k \in \mathbb{Z}$

E viceversa, il minimo della funzione seno si verifica in:

$x = \cfrac{3\pi}{2} +2k\pi \qquad k \in \mathbb{Z}$

La derivata della funzione seno è il coseno:

$f(x)=\text{sen } x \ \longrightarrow \ f'(x)= \text{cos } x$

Infine, l’integrale della funzione seno è il segno cambiato del coseno:

$\displaystyle \int \text{sen } x \ dx= -\text{cos } x + C$

Periodo e ampiezza della funzione seno

Come abbiamo visto nel suo grafico, la funzione seno è una funzione periodica, cioè i suoi valori si ripetono secondo una frequenza. Inoltre, i valori massimo e minimo tra i quali oscilla dipendono dalla sua ampiezza. Pertanto, due caratteristiche che determinano la funzione sinusoidale sono il suo periodo e la sua ampiezza:

$\displaystyle f(x)= A\text{sen}(wx)$

Il periodo della funzione seno è la distanza tra due punti in cui si ripete il grafico e si calcola con la seguente formula:

$\displaystyle \text{Periodo}=T=\cfrac{2\pi}{w}$

L’ ampiezza della funzione seno è equivalente al coefficiente davanti al termine seno.

$\displaystyle \text{Amplitud}=A$

Di seguito puoi vedere un grafico che mostra gli effetti della modifica del periodo o dell’ampiezza:

Nella funzione mostrata in verde, possiamo vedere che raddoppiando l’ampiezza, la funzione passa da +2 a -2, invece che da +1 a -1. Nella funzione mostrata in rosso, invece, si può vedere come essa vada due volte più veloce della funzione seno “canonica”, poiché il suo periodo è stato dimezzato.

teorema del seno

Sebbene il seno sia normalmente applicato ai triangoli rettangoli, esiste anche un teorema che vale per qualsiasi tipo di triangolo: il teorema del seno(i).

La legge dei seni mette in relazione i lati e gli angoli di qualsiasi triangolo come segue:

$\cfrac{a}{\text{sen }\alpha} = \cfrac{b}{\text{sen }\beta} = \cfrac{c}{\text{sen }\gamma}$

Relazioni della funzione seno con altri rapporti trigonometrici

Di seguito troverai le relazioni sinusoidali con i rapporti trigonometrici più importanti in trigonometria.

Rapporto coseno

Il grafico della funzione coseno è equivalente alla curva sinusoidale ma spostata
$\displaystyle \frac{\pi}{2}$

a sinistra, quindi le due funzioni possono essere correlate dalla seguente espressione: