Funzione lineare e funzione affine -

In questo articolo troverai la spiegazione della funzione affine e della funzione lineare, nonché le differenze che esistono tra questi due tipi di funzioni. Inoltre, vedrai esempi di come rappresentare graficamente una funzione affine e una funzione lineare e come calcolare le loro espressioni da due punti. Finalmente potrai allenarti con diversi esercizi risolti passo dopo passo.

Cos’è una funzione affine e una funzione lineare?

Le definizioni di funzione affine e di funzione lineare sono le seguenti:

Una funzione affine è una funzione polinomiale di primo grado, cioè una funzione che, rappresentata sul grafico, è una retta. Le funzioni associate sono le seguenti:

$f(x)=mx+n$

Oro

$m$

è la pendenza della retta e

$n$

Questa è l’intercetta y, cioè il punto in cui la funzione interseca l’asse verticale.

In matematica, le funzioni affini sono anche chiamate trasformazioni lineari nel contesto dell’algebra lineare.

Una funzione lineare è una funzione affine che non ha un termine indipendente. Pertanto la formula per le funzioni lineari è:

$f(x)=mx$

Oro

$m$

è la pendenza della retta.

Il dominio e l’intervallo (o intervallo) della funzione lineare e della funzione affine sono tutti numeri reali:

$\text{Dom } f=\mathbff{R}$

$\text{Im } f= \mathbb{R}$

Qual è la differenza tra una funzione lineare e una funzione affine?

Ora che hai visto i concetti di funzione lineare e funzione affine, avrai notato che sono molto simili tra loro. Tuttavia, la seguente differenza tra loro è molto importante:

L’unica differenza tra la funzione lineare e la funzione affine è che la funzione lineare non ha un termine indipendente mentre la funzione affine ha sempre il coefficiente dell’intercetta (n) diverso da zero (0).

Funzione lineare

$f(x)=mx$

funzione lineare

$f(x)=mx+n$

Ciò implica che una funzione lineare passa sempre per l’origine delle coordinate , il punto (0,0). D’altra parte, una funzione affine non passerà mai per questo punto perché ha un’intercetta diversa da 0.

Qual è la differenza tra una funzione lineare e una funzione affine?

Pendenza e intercetta y di una funzione lineare o affine

In questa sezione analizzeremo un esempio di funzione affine o lineare per comprendere il significato dei termini

$m$

$n$

, o in altre parole, la pendenza e l’intercetta y.

Determina l’espressione della funzione mostrata nel grafico e classificala come funzione lineare o affine.

Questi tipi di funzioni seguono la seguente espressione:

$f(x)=mx+n$

che significa pendenza e intercetta y funzione lineare o affine m e n

$n$

Questa è l’intercetta y, cioè il punto in cui la funzione interseca l’asse Y verticale. Quindi in questo caso:

$n=4$

Da un altro lato,

$m$

è la pendenza della retta. Y può essere calcolato dividendo la differenza in y tra due punti per la differenza in x tra questi stessi due punti:

$m=\cfrac{\Delta y }{\Delta x} = \cfrac{3}{2}$

$m$

dice “quanto aumenta y per ogni x” , quindi in questo caso la funzione “3y aumenta per ogni 2x” .

In conclusione, l’espressione per la funzione affine rappresentata nel grafico è:

$\displaystyle \bm{f(x)=}\frac{\bm{3}}{\bm{2}}\bm{x+4}$

Inoltre, poiché l’intercetta y è diversa da zero, è una funzione affine .

Di seguito ti mostriamo altri esempi di funzioni lineari e affini per completare la tua comprensione:

Come puoi vedere in questi esempi, maggiore è la pendenza, più ripida è la linea e, quindi, più grande è la funzione. Allo stesso modo, il coefficiente di pendenza determina la crescita o la diminuzione di una funzione:

Se la pendenza è positiva la funzione è crescente , cioè aumenta all’aumentare di x .
Se la pendenza è negativa la funzione è decrescente , cioè diminuisce all’aumentare di x .

Inoltre, puoi anche capire se due rette sono parallele o perpendicolari in base alle loro pendenze:

Quando due rette hanno la stessa pendenza sono parallele , cioè non si intersecano in nessun punto oppure sono completamente identiche.

$m_1 = m_2$

D’altra parte, due rette sono perpendicolari , cioè si intersecano formando un angolo verticale (90º), se le loro pendenze corrispondono alla seguente relazione:

$m_1 = -\cfrac{1}{m_2}$

Esempio di rappresentazione di una funzione affine o lineare

Vediamo come rappresentare graficamente una funzione di primo grado utilizzando un esempio.

Rappresentare graficamente la seguente funzione affine:

$f(x)=2x-1$

La prima cosa che dobbiamo fare è creare un array di valori. Per fare questo, garantiamo i valori che desideriamo

$x$

per ottenere valori di

$f(x)$

$f(x)=2x-1$

$x= 0 \ \longrightarrow \ f(0) = 2\cdot0-1=-1$

$x= 1 \ \longrightarrow \ f(1) = 2\cdot1-1=1$

$x= 2 \ \longrightarrow \ f(2) = 2\cdot2-1=3$

$x= 3 \ \longrightarrow \ f(3) = 2\cdot3-1=5$

$x= 4 \ \longrightarrow \ f(4) = 2\cdot4-1=7$

$\begin{array}{c|c} x & f(x) \\ \hline 0 & -1 \\ 1 & 1 \\ 2 & 3 \\ 3 & 5 \\ 4 & 7 \end{array}$

Sebbene una tabella di valori con due punti sia sufficiente, possiamo fare più punti per assicurarci che sia corretta.

Una volta creata la tabella dei valori, tracciamo i punti sul grafico:

come rappresentare una retta o una funzione lineare o affine

E infine, uniamo i punti e tracciamo una linea:

rappresentazione grafica di una funzione lineare o affine

E in questo modo abbiamo già rappresentato la funzione su un grafico. Come puoi vedere, non è complicato, devi solo creare prima una tabella di valori e poi tracciare i punti su un grafico.

Come calcolare una funzione lineare o affine da due punti

Vediamo ora come trovare una funzione lineare o affine da due punti utilizzando un esempio:

Calcolare la funzione lineare che soddisfa
$f(3)=5$

e andare oltre il punto

$(1,-1).$

Prima di tutto,

$f(3)=5$

Ciò significa che la funzione passa per il punto

$(3,5)$

Pertanto, poiché abbiamo due punti attraverso i quali passa la funzione, possiamo calcolare la pendenza

$m$

funzione:

Considerando due punti,

$P_1=(x_1,y_1)$

$P_2=(x_2,y_2)$

, pendenza

$m$

della funzione si calcola:

$m=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

Nel nostro caso la funzione passa per i punti

$(3,5)$

$(1,-1)$

. Quindi la pendenza

$m$

della funzione è:

$m=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\cfrac{-1-5}{1-3} = \cfrac{-6}{-2} = 3$

La funzione sarà quindi della forma:

$f(x) = mx+n \ \xrightarrow{m \ = \ 3} \ f(x)=3x+n$

Una volta che lo sappiamo

$m$

possiamo risolvere il mistero

$n$

. Per fare ciò, sostituiamo nell’equazione le coordinate di un punto appartenente alla funzione. Ad esempio il punto (3.5):

$f(x) = 3x+n \ \xrightarrow{x \ = \ 3 \ ; \ f(x) \ = \ 5} \ 5=3\cdot 3+n$

Risolviamo l’equazione risultante:

$5=3\cdot 3+n$

$5= 9 + n$

$5-9=n$

$-4=n$

La funzione lineare è quindi:

$\bm{f(x)=3x-4}$

Esercizi risolti su funzioni lineari e affini

Esercizio 1

Determinare la pendenza e l’origine della seguente funzione affine:

$f(x)=-5x-2$

Vedi la soluzione

Una funzione lineare ha la forma

$f(x)=mx+n .$

La pendenza della funzione è quindi il numero che accompagna x , che in questo caso è -5:

$\bm{m=-5}$

E l’intercetta y è il termine indipendente, che in questo caso è -2:

$\bm{n=-2}$

Esercizio 2

Rappresentare graficamente la seguente funzione affine:

$f(x)=x+1$

Vedi la soluzione

Per prima cosa diamo valori a

$x$

per creare la tabella dei valori:

$x= 0 \ \longrightarrow \ f(0)=0+1 = 1$

$x= 1 \ \longrightarrow \ f(1)=1+1= 2$

$x= 2 \ \longrightarrow \ f(2)=2+1 = 3$

$x= 3 \ \longrightarrow \ f(3)=3+1 = 4$

$x= 4 \ \longrightarrow \ f(4)=4+1 = 5$

$\begin{array}{c|c} x & f(x) \\ \hline 0 & 1 \\ 1 & 2 \\ 2 & 3 \\ 3 & 4 \\ 4 & 5 \end{array}$

E poi rappresentiamo i punti della tabella dei valori sul grafico e tracciamo la linea:

Esercizio 3

Traccia la seguente funzione affine sul grafico:

$f(x)=-2x+6$

Vedi la soluzione

Per prima cosa diamo valori a

$x$

per creare la tabella dei valori:

$x= 0 \ \longrightarrow \ f(0)=-2\cdot0+6=6$

$x= 1 \ \longrightarrow \ f(1)=-2\cdot1+6=4$

$x= 2 \ \longrightarrow \ f(2)=-2\cdot2+6=2$

$x= 3 \ \longrightarrow \ f(3)=-2\cdot3+6=0$

$x= 4 \ \longrightarrow \ f(4)=-2\cdot4+6=-2$

$\begin{array}{c|c} x & f(x) \\ \hline 0 & 6 \\ 1 & 4 \\ 2 & 2 \\ 3 & 0 \\ 4 & -2 \end{array}$

E infine rappresentiamo i punti della tabella dei valori sul grafico e tracciamo la linea:

esercizio risolto passo dopo passo di funzione lineare e affine

Esercizio 4

Trova l’espressione della funzione affine che passa per i punti (2,3) e (0,1).

Vedi la soluzione

La funzione passa per i punti (2,3) e (0,1), quindi la pendenza della funzione è:

$m=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}= \cfrac{1-3}{0-2} = \cfrac{-2}{-2} = 1$

E la funzione sarà della forma:

$f(x)=mx+n \ \xrightarrow{m \ = \ 1} \ f(x)=1x+n$

Una volta conosciuto m, possiamo calcolare n . Per fare ciò, dobbiamo sostituire nell’equazione le coordinate di un punto appartenente alla funzione. Ad esempio il punto (2,3):

$f(x)=x+n \ \xrightarrow{x \ = \ 2 \ ; \ f(x) \ = \ 3}$

$3=2+n$

Dobbiamo ora risolvere l’equazione risultante:

$3-2=n$

$1 = n$

La funzione corrisponde quindi alla seguente espressione:

$\bm{f(x)=x+1}$

Esercizio 5

Rappresentare graficamente la seguente funzione affine:

$f(x)=2x-1$

Vedi la soluzione

Per prima cosa diamo valori a

$x$

per creare la tabella dei valori:

$x= 0 \ \longrightarrow \ f(0)=2\cdot0-1=-1$

$x= 1 \ \longrightarrow \ f(1)=2\cdot1-1=1$

$x= 2 \ \longrightarrow \ f(2)=2\cdot2-1=3$

$x= 3 \ \longrightarrow \ f(3)=2\cdot3-1=5$

$x= 4 \ \longrightarrow \ f(4)=2\cdot4-1=7$

$\begin{array}{c|c} x & f(x) \\ \hline 0 & -1 \\ 1 & 1 \\ 2 & 3 \\ 3 & 5 \\ 4 & 7 \end{array}$

E poi rappresentiamo i punti della tabella dei valori sul grafico e tracciamo la linea:

Esercizi risolti per rappresentare graficamente una funzione lineare o affine

Esercizio 6

Calcolare la funzione lineare che soddisfa le seguenti due condizioni:

$\begin{array}{c}f(3) =-2 \\[3ex] f(-1)=6 \end{array}$

Vedi la soluzione

Possa realizzarsi

$f(3)=-2$

Ciò significa che la funzione passa per il punto (3,-2). E, allo stesso modo,

$f(-1)=6$

Ciò significa che la funzione passa per il punto (-1.6).

Quindi la funzione passa per i punti (3,-2) e (-1,6), quindi la sua pendenza è:

$m=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}= \cfrac{6-(-2)}{-1-3} = \cfrac{8}{-4} = -2$

La funzione sarà quindi della forma:

$f(x)=mx+n \ \xrightarrow{m \ = \ -2} \ f(x)=-2x+n$

E una volta conosciuto m, possiamo calcolare n . Per fare ciò, sostituiamo nell’equazione le coordinate di un punto che appartiene alla funzione. Ad esempio il punto (3,-2):

$f(x)=-2x+n \ \xrightarrow{x \ = \ 3 \ ; \ f(x) \ = \ -2} \ -2=-2(3)+n$

E risolviamo l’equazione risultante:

$-2=-6+n$

$-2+6=n$

$4 = n$

La funzione è quindi:

$\bm{f(x)=-2x+4}$

Esercizio 7

Trova la funzione affine che svolge

$f(1) =6$

e passa per il punto (3.5).

Vedi la soluzione

Possa realizzarsi

$f(1)=6$

Ciò significa che la funzione passa per il punto (1,6).

La funzione passa quindi per i punti (1.6) e (3.5) e quindi la sua pendenza è:

$m=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}= \cfrac{5-6}{3-1} = \cfrac{-1}{2} = -\cfrac{1}{2}$

La funzione sarà quindi della forma:

$\displaystyle f(x)=mx+n \ \xrightarrow{m \ = \ -\frac{1}{2}} \ f(x)=-\frac{1}{2}x+n$

Una volta conosciuto il termine m possiamo calcolare il coefficiente n . Per fare ciò, sostituiamo nell’equazione le coordinate di un punto che appartiene alla funzione. Ad esempio il punto (1,6):

$\displaystyle f(x)=-\frac{1}{2}x+n \ \xrightarrow{x \ = \ 1 \ ; \ f(x) \ = \ 6} \ 6=-\frac{1}{2}\cdot 1+n$

Risolviamo l’equazione risultante:

$6=-\cfrac{1}{2}+n$

$6+\cfrac{1}{2}=n$

Ricorda che per sommare le frazioni, devi prima ridurle a un denominatore comune e poi sommare i numeratori:

$\cfrac{2 \cdot 6}{2} +\cfrac{1 \cdot 1}{2}=n$

$\cfrac{12}{2} +\cfrac{1}{2}=n$

$\cfrac{13}{2}=n$

La funzione è quindi:

$\displaystyle \bm{f(x)=-}\mathbf{\frac{1}{2}}\bm{x +}\mathbf{\frac{13}{2}}$

Esercizio 8

Risolvi il seguente problema relativo alle funzioni lineari e affini:

Un negozio vende 40 unità di un prodotto quando il prezzo è 15 €/unità e 65 unità quando il prezzo è 10 €/unità.

Calcolare la funzione di domanda del prodotto, supponendo che sia una funzione affine.
Quante unità verranno vendute se il prezzo è fissato a 12 €/unità?

Vedi la soluzione

Poiché si tratta di una funzione affine, la funzione sarà del tipo

$f(x)=mx+n .$

Oro

$x$

sarà il prezzo unitario del prodotto e

$f(x)$

saranno le unità vendute.

Il comunicato stampa ci dice che quando il prezzo è di 15€/unità, vengono vendute 40 unità. Pertanto, come

$x$

è il prezzo e

$f(x)$

unità vendute, deve essere rispettata la seguente uguaglianza:

$f(15)=40$

E quando il prezzo è di 10€/unità, vengono vendute 65 unità. Quindi, utilizzando lo stesso ragionamento:

$f(10)=65$

Possa realizzarsi

$f(15)=40$

Ciò significa che la funzione passa per il punto (15.40). E

$f(10)=65$

Ciò significa che la funzione passa per il punto (10.65).

La pendenza della funzione è quindi:

$m=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}= \cfrac{65-40}{10-15} = \cfrac{25}{-5} = -5$

La funzione sarà quindi della forma:

$f(x)=mx+n \ \xrightarrow{m \ = \ -5} \ f(x)=-5x+n$

Una volta conosciuto m, possiamo calcolare n . Per fare ciò, sostituiamo nell’equazione le coordinate di un punto che appartiene alla funzione. Ad esempio il punto (15:40):

$f(x)=-5x+n \ \xrightarrow{x \ = \ 15 \ ; \ f(x) \ = \ 40} \ 40=-5\cdot 15+n$