Funzione inversa (o reciproca).

In questo articolo spieghiamo cos’è una funzione inversa (o reciproca) e come calcolare l’inversa di una funzione. Scoprirai anche come sapere facilmente se una funzione ha un inverso o meno e le proprietà di questo tipo di funzioni. Infine, puoi esercitarti con esercizi passo passo sulle funzioni inverse.

Qual è la funzione inversa?

La funzione inversa, detta anche funzione reciproca, è la funzione il cui dominio è l’intervallo di un’altra funzione (la funzione originaria) e il cui intervallo è il dominio della funzione originaria. La funzione inversa della funzione f si esprime con il simbolo f -1 .

Pertanto, la funzione inversa di f(x) è la funzione che soddisfa la seguente condizione:

funzione inversa o reciproca

Oro

f^{-1}

è la funzione inversa di

f.

Il concetto di funzione inversa può essere definito anche utilizzando la composizione di funzioni, poiché qualsiasi funzione composta con la sua funzione inversa è uguale alla funzione identità:

(f\circ f^{-1})(x)=(f^{-1}\circ f)(x)=x

➤ Vedi: cos’è la composizione della funzione?

Quindi se l’equazione precedente è soddisfatta, significa che

f^{-1}

è la funzione inversa (o funzione reciproca) di

f.

Esempio di funzione inversa

Data la definizione di funzione inversa, risolviamo un esempio per comprenderne meglio il significato.

  • Determina se le seguenti funzioni sono tra loro inverse:

f(x)=2x+1\qquad g(x)=\cfrac{x-1}{2}

Se le due funzioni sono tra loro inverse, saranno soddisfatte le seguenti 2 condizioni:

(f \circ g)(x) = x \qquad \qquad (g \circ f)(x) = x

Quindi controlliamo se entrambe le equazioni sono soddisfatte. Per prima cosa controlliamo

(f \circ g)(x) = x:

\begin{aligned} \displaystyle\left(f \circ g\right)(x)& = f\Big(g(x)\Big)\\[2ex]&= f\left( \frac{x-1}{2} \right)\\[2ex]& = 2\left( \frac{x-1}{2} \right)+1\\[2ex]& =x-1+1\\[2ex]&=\bm{x} \end{aligned}

➤ Se non capisci il calcolo che abbiamo appena fatto, devi andare al link sopra Qual è la composizione delle funzioni? , spieghiamo come risolvere questo tipo di operazioni con le funzioni.

Affinché

(f \circ g)(x) = x

sì, è compiuto. ✅

Ora controlliamo l’uguaglianza

(g \circ f)(x) = x :

\begin{aligned} \left(g \circ f\right)(x)&= g\Big(f(x)\Big)\\[2ex]&= g\Big(2x +1 \Big)\\[2ex]&=\cfrac{(2x+1)-1}{2}\\[2ex]&= \cfrac{2x}{2}\\[2ex]&=\bm{x} \end{aligned}

E la condizione di invertibilità

(g \circ f)(x) = x

è anche compiuto. ✅

In conclusione, poiché valgono entrambe le equazioni, le due funzioni sono l’una l’inversa dell’altra.

Di seguito puoi vedere entrambe le funzioni rappresentate graficamente. Si noti che i grafici di due funzioni inverse sono simmetrici rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante:

funzione inversa

Come sapere se una funzione ha un inverso

Una funzione ha una funzione inversa se è una funzione iniettiva , cioè se ogni valore nel suo intero dominio corrisponde a un singolo valore nel suo intervallo.

Funzione esponenziale con funzione inversa

Funzione quadratica senza funzione inversa

Ad esempio, la funzione esponenziale sinistra ha una funzione inversa perché ogni x corrisponde a un singolo valore di f(x) . D’altra parte, la funzione quadratica destra non ha una funzione inversa poiché ha più valori di x le cui immagini sono uguali (ad esempio f(1)=f(3)=2) .

Allo stesso modo, una funzione biiettiva consiste in una funzione che è sia iniettiva che suriettiva, quindi qualsiasi funzione biiettiva ha anche una funzione inversa.

D’altra parte, dovresti tenere presente che la funzione inversa non è la stessa cosa dell’inverso moltiplicativo di una funzione , ma piuttosto due concetti diversi. Per trovare l’inverso moltiplicativo di una funzione, calcola semplicemente 1 corrispondenza di detta funzione.

f^{-1}(x) \neq \cfrac{1}{f(x)}

Nella prossima sezione vedremo come determinare la funzione inversa.

Come trovare la funzione inversa

Per calcolare l’inversa di una funzione è necessario eseguire i seguenti passaggi:

  1. Sostituisci f(x) con y .
  2. Cambia tutto x in y e viceversa.
  3. Cancella la variabile y .
  4. Sostituisci la variabile y con f -1 (x) . La funzione inversa è l’espressione trovata per f -1 (x) .

Affinché tu possa vedere esattamente come viene calcolata la funzione inversa, determiniamo come esempio l’inversa della seguente funzione:

f(x) =4x+5

Prima di tutto dobbiamo sostituire

f(x)

Per

y

:

y=4x+5

Ora cambiamo tutto

x

della funzione di

y

, e viceversa:

y= 4x+5 \quad \xrightarrow{x \ \rightarrow \ y \ ; \ y \ \rightarrow \ x} \quad x= 4y+5

Quindi cancelliamo la variabile

y:

x=4y+5

x-5=4y

\cfrac{x-5}{4}=y

y=\cfrac{x-5}{4}

E infine, la funzione inversa di

f(x)

è l’espressione algebrica che abbiamo ottenuto isolando

y:

\bm{f^{-1}(x) = } \cfrac{\bm{x-5}}{\bm{4}}

Esercizi risolti della funzione inversa

Di seguito abbiamo preparato diversi esercizi passo passo sulla funzione inversa in modo che tu possa esercitarti.

👉 Ricorda che se non capisci come risolvere un esercizio o vuoi che ti risolviamo un problema, puoi scrivercelo nei commenti!

Esercizio 1

Controlla se le seguenti due funzioni sono inverse (o reciproche) o no:

f(x)=3x-7\qquad g(x)=\cfrac{x+7}{3}

Affinché le due funzioni siano tra loro inverse, deve essere vero quanto segue:

(f \circ g)(x)=x \qquad \qquad (g \circ f)(x)=x

È quindi necessario verificare se le due condizioni sono soddisfatte. Per prima cosa controlliamo

(f \circ g)(x)=x :

\begin{aligned}\displaystyle\left(f \circ g\right)(x)&= f\Big(g(x)\Big)\\[2ex]&= f\left( \frac{x+7}{3} \right)\\[2ex]&= 3 \left(\frac{x +7}{3} \right) - 7 \\[2ex] & =x + 7 - 7 \\[2ex]&= \bm{x}\end{aligned}

Ancora,

(f \circ g)(x) = x

sì, è compiuto. ✅

Ora controlliamo l’altra composizione delle funzioni

(g \circ f)(x)=x :

\begin{aligned}\left(g \circ f\right)(x)&= g\Big(f(x)\Big)\\[2ex]&= g\left(3x-7\right)\\[2ex]&=\cfrac{(3x-7)+7}{3}\\[2ex]&=\cfrac{3x}{3}\\[2ex]&=\bm{x}\end{aligned}

Per cui

(g \circ f)(x) = x

è anche compiuto. ✅

Come è possibile?

(f \circ g)(x)=x

E

(g \circ f)(x)=x

, le due funzioni sono una l’inversa dell’altra.

Esercizio 2

Calcola l’inversa (o funzione reciproca) della seguente funzione polinomiale di primo grado:

f(x)=-2x-3

La prima cosa da fare per invertire la funzione è sostituire il termine

f(x)

Per

}y:

y=-2x-3

Ora cambiamo il

x

di

y

, e viceversa:

y=-2x-3 \ \xrightarrow{x \ \rightarrow \ y \ ; \ y \ \rightarrow \ x} \ x =-2y-3

E poi rilasciamo

y:

x =-2y-3

x +3=-2y

\cfrac{x +3}{-2}=y

y = \cfrac{x +3}{-2}

Siamo già riusciti a rilasciare

y

. Pertanto, la funzione inversa di

f(x)

Est:

\bm{f^{-1}(x) = -} \cfrac{\bm{x+3}}{\bm{2}}

Esercizio 3

Invertire la seguente funzione polinomiale quadratica:

f(x)=x^2-1

Per trovare la funzione inversa seguiremo il procedimento che abbiamo visto sopra. Quindi chiameremo

y

alla funzione

f(x):

y=x^2-1

In secondo luogo, modifichiamo il file

x

per il

y

, e viceversa:

y=x^2-1 \ \xrightarrow{x \ \rightarrow \ y \ ; \ y \ \rightarrow \ x} \ x =y^2-1

E infine isoliamo la variabile

y:

x =y^2-1

x+1=y^2

\sqrt{x+1}=y

y=\pm \sqrt{x+1}

In questo caso però la funzione ottenuta ha due immagini per ogni elemento del suo dominio (l’immagine positiva e l’immagine negativa). Pertanto non esiste una funzione inversa della funzione problematica.

Esercizio 4

Determinare la funzione inversa (o funzione reciproca) della seguente funzione razionale:

\displaystyle f(x)=\frac{x-1}{2x+3}

Innanzitutto, sostituiamo

f(x)

Per

y:

y=\cfrac{x-1}{2x+3}

Ora cambiamo il

x

numeratore e denominatore

y

, e viceversa:

y=\cfrac{x-1}{2x+3} \ \xrightarrow{x \ \rightarrow \ y \ ; \ y \ \rightarrow \ x} \ x=\cfrac{y-1}{2y+3}

E poi rilasciamo

y:

x=\cfrac{y-1}{2y+3}

L’espressione

2y +3

divide l’intero lato destro dell’equazione, quindi possiamo moltiplicarlo moltiplicando l’intero lato sinistro dell’equazione:

x\cdot (2y+3)=y-1

2yx+3x=y-1

Mettiamo tutti i termini con

y

da un lato dell’equazione e gli altri termini dall’altro:

2yx-y=-3x-1

Per chiarire

}y

, estraiamo il fattore comune dal lato sinistro dell’equazione:

y(2x-1)=-3x-1

E come postino

(2x-1)

è moltiplicare l’intero lato sinistro dell’equazione, possiamo farlo dividendo l’intero lato destro:

y=\cfrac{-3x-1}{2x-1}

Siamo già riusciti a rilasciare

y

. Quindi la funzione inversa di

f(x)

Est:

\bm{f^{-1}(x)=} \cfrac{\bm{-3x-1}}{\bm{2x-1}}

Proprietà della funzione inversa

La funzione inversa ha le seguenti caratteristiche:

  • La funzione inversa è unica, cioè se una funzione è invertibile, per questa funzione esiste una sola funzione inversa.
  • Il dominio della funzione inversa è l’intervallo (o intervallo) della funzione originale.
  • Allo stesso modo, il percorso della funzione inversa è equivalente al dominio della funzione originale.
  • Qualsiasi funzione composta dalla sua funzione inversa dà la funzione identità (x).

(f\circ f^{-1})(x)=(f^{-1}\circ f)(x)=x

  • Il grafico di una funzione e il grafico della sua funzione inversa sono simmetrici rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante.
  • L’inverso della funzione inversa è uguale alla funzione originale:

\left(f^{-1}\right)^{-1}=f

  • Invertire una funzione composta equivale a calcolare l’inversa di ciascuna funzione separatamente e quindi comporre le funzioni inverse.

(f\circ g)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}

  • Una funzione è contemporaneamente continua con la sua funzione inversa, o in altre parole, se una funzione è continua, lo sarà anche la sua funzione inversa.
  • Se una funzione è differenziabile e la derivata non scompare in nessun momento

    f'(x)\neq 0

    , anche la sua funzione inversa sarà differenziabile.

Inoltre, la derivata della funzione inversa può essere calcolata applicando il teorema della funzione inversa , la cui formula è:

\left(f^{-1}\right)'(y)=\cfrac{1}{f'(x)}

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