Funzione coseno - Mathority

In questa pagina troverai tutto sulla funzione coseno: cos’è, qual è la sua formula, come rappresentarla in un grafico, le caratteristiche della funzione, ampiezza, periodo, ecc. Inoltre, potrai vedere diversi esempi di funzioni coseno per comprendere appieno il concetto. Spiega anche il teorema del coseno e le relazioni che la funzione coseno ha con altri rapporti trigonometrici.

formula della funzione coseno

La funzione coseno di un angolo α è una funzione trigonometrica la cui formula è definita come il rapporto tra il cateto contiguo (o adiacente) e l’ipotenusa di un triangolo rettangolo (triangolo con un angolo retto).

Questo tipo di funzione matematica è anche chiamata coseno, coseno o funzione coseno.

La funzione coseno è uno dei tre rapporti trigonometrici più conosciuti, insieme al seno e alla tangente di un angolo.

Valori caratteristici della funzione coseno

Alcuni angoli si ripetono frequentemente e, quindi, è conveniente conoscere il valore della funzione coseno a questi angoli:

Quindi il segno della funzione coseno dipende dal quadrante in cui si trova l’angolo: se l’angolo è nel primo o nel quarto quadrante il coseno sarà positivo, se invece l’angolo cade nel secondo o nel terzo quadrante , il coseno sarà negativo.

Rappresentazione grafica della funzione coseno

Con la tabella dei valori che abbiamo visto nella sezione precedente possiamo rappresentare graficamente la funzione coseno. E rappresentando graficamente la funzione coseno, otteniamo:

come rappresentare graficamente la funzione coseno

Come puoi vedere dal grafico, i valori delle immagini della funzione coseno sono sempre compresi tra +1 e -1, ovvero è delimitata in alto da +1 e in basso da -1. Inoltre, i valori si ripetono ogni 360 gradi (2π radianti), quindi è una funzione periodica il cui periodo è 360º.

D’altra parte, in questo grafico apprezziamo perfettamente che la funzione coseno è pari, perché i suoi elementi opposti hanno la stessa immagine, cioè è simmetrica rispetto all’asse del computer (asse Y). Ad esempio, il coseno di 90º è 0 e quello di -90º è 0.

Proprietà della funzione coseno

La funzione coseno ha le seguenti caratteristiche:

Il dominio della funzione coseno è composto da tutti i numeri reali poiché, come mostra il grafico, la funzione esiste per qualsiasi valore della variabile indipendente x.

$\text{Dom } f = \mathbb{R}$

Il percorso o l’intervallo della funzione coseno va da negativo 1 a positivo 1 (entrambi inclusi).

$\text{Im } f= [-1,1]$

È una funzione continua e una coppia con periodicità 2π.

$\displaystyle \text{cos }x = \text{cos}(-x)$

Questo tipo di funzione trigonometrica ha un unico punto di intersezione con l’asse OY nel punto (0,1).

$(0,1)$

Invece, intercetta periodicamente l’ascissa (asse X) in coordinate multiple dispari della media pi greco.

$\displaystyle \left(\frac{\pi}{2}+k\pi ,0\right) \qquad k \in \mathbb{Z}$

Il massimo della funzione coseno si verifica quando:

$x = 2\pi k \qquad k \in \mathbb{Z}$

E viceversa, il minimo della funzione coseno si verifica in:

$x = \pi(2k +1 ) \qquad k \in \mathbb{Z}$

La derivata della funzione coseno è il seno con segno cambiato:

$f(x)=\text{cos } x \ \longrightarrow \ f'(x)= -\text{sen } x$

Infine, l’integrale della funzione coseno è seno:

$\displaystyle \int \text{cos } x \ dx= \text{sen } x + C$

Periodo e ampiezza della funzione coseno

Come abbiamo visto nel suo grafico, la funzione coseno è una funzione periodica, cioè i suoi valori si ripetono con una frequenza. Inoltre, i valori massimo e minimo tra i quali oscilla dipendono dalla sua ampiezza. Quindi, due caratteristiche importanti che determinano la funzione coseno sono il suo periodo e la sua ampiezza:

$\displaystyle f(x)= A\text{cos}(wx)$

Il periodo della funzione coseno è la distanza tra due punti in cui si ripete il grafico e si calcola con la seguente formula:

$\displaystyle \text{Periodo}=T=\cfrac{2\pi}{w}$

L’ entità della funzione coseno è equivalente al coefficiente davanti al termine coseno.

$\displaystyle \text{Amplitud}=A$

Di seguito puoi vedere un grafico che mostra gli effetti della modifica del periodo o dell’ampiezza:

Nella funzione mostrata in verde, possiamo vedere che raddoppiando l’ampiezza, la funzione passa da +2 a -2, invece che da +1 a -1. Nella funzione mostrata in rosso, invece, potete vedere come va due volte più veloce della funzione coseno “canonica”, poiché il suo periodo è stato dimezzato.

teorema del coseno

Anche se la formula del coseno viene normalmente utilizzata nei triangoli rettangoli, esiste anche un teorema che può essere applicato a qualsiasi tipo di triangolo: il teorema del coseno o coseno.

Il teorema del coseno mette in relazione i lati e gli angoli di qualsiasi triangolo come segue:

$a^2=b^2+c^2-2\cdot b \cdot c\cdot \text{cos }\alpha$

$b^2=a^2+c^2-2\cdot a \cdot c\cdot \text{cos }\beta$

$c^2=a^2+b^2-2\cdot a \cdot b\cdot \text{cos }\gamma$

Relazioni della funzione coseno con altri rapporti trigonometrici

Quindi hai le relazioni del coseno con i rapporti trigonometrici più importanti in trigonometria.

Rapporto con il seno

Il grafico della funzione seno è equivalente alla curva coseno ma spostata
$\displaystyle \frac{\pi}{2}$

a destra le due funzioni possono quindi essere legate dalla seguente espressione: