Equazioni parametriche della retta

In questa pagina troverai come calcolare le equazioni parametriche di qualsiasi retta, sia da un punto e un vettore, sia da due punti. Scoprirai anche come ottenere diversi punti su una linea con le sue equazioni parametriche. Inoltre, potrai vedere numerosi esempi ed esercitarti con esercizi risolti.

Come trovare le equazioni parametriche di una retta

Per determinare le equazioni parametriche di qualsiasi linea, sono necessari solo il suo vettore direzione e un punto appartenente alla linea.

Sì

$\vv{\text{v}}$

è il vettore direzione della linea e

$P$

un punto che appartiene a destra:

$\vv{\text{v}}= (\text{v}_1,\text{v}_2) \qquad P(P}_1,P_2)$

La formula per le equazioni parametriche della retta è:

$\displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases}$

Oro:

$x$

E

$y$

sono le coordinate cartesiane di ogni punto della retta.
$P_1$

E

$P_2$

sono le coordinate di un punto noto che fa parte della linea.
$\text{v}_1$

E

$\text{v}_2$

sono le componenti del vettore direzione della linea.
$t$

è uno scalare (un numero reale) il cui valore dipende da ciascun punto della linea.

Pertanto, le equazioni parametriche sono un modo per esprimere analiticamente una linea.

equazioni parametriche della retta tridimensionale

Queste sono le equazioni parametriche della retta nel piano, cioè quando si lavora con punti e vettori di 2 coordinate (in R2). Tuttavia, se eseguissimo i calcoli nello spazio (in R3), dovremmo aggiungere un’ulteriore equazione per la terza componente Z:

$\displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \\[1.7ex] z=P_3+t\cdot\text{v}_3\end{cases}$

D’altra parte, tieni presente che oltre alle equazioni parametriche, ci sono altri modi per descrivere matematicamente una linea: l’equazione vettoriale, l’equazione continua, l’equazione implicita (o generale), l’equazione esplicita e l’equazione punto-pendenza di Aline. Puoi controllare cosa è ciascuno di essi sul nostro sito web.

Esempio di determinazione delle equazioni parametriche della retta

Vediamo ora come trovare le equazioni parametriche di una retta utilizzando un esempio:

Scrivi le equazioni parametriche della retta passante per il punto
$P$

e ha

$\vv{\text{v}}$

come vettore guida:

$\vv{\text{v}}= (3,-2) \qquad P(4,1)$

Per calcolare le equazioni parametriche della retta, dobbiamo applicare la sua formula:

$\displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases}$

Pertanto, sostituiamo le coordinate del punto e il vettore direzione nella formula:

$\displaystyle \begin{cases} x=4+t\cdot 3 \\[1.7ex] y=1+t\cdot(-2) \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases} x=4+3t \\[1.7ex] y=1-2t \end{cases}$

Ottenere punti da equazioni parametriche di retta

Una volta trovate le equazioni parametriche della retta, è molto semplice calcolare i punti per i quali passa la retta. Per determinare un punto su una linea , devi dare un valore al parametro

$\bm{t}$

equazioni parametriche della retta.

Ad esempio, date le seguenti equazioni parametriche della retta:

$\displaystyle \begin{cases} x=2+t \\[1.7ex] y=-1+3t \end{cases}$

Possiamo ottenere un punto sulla retta sostituendo

$t$

da qualsiasi numero, ad esempio

$t=1:$

$\displaystyle \begin{cases} x=2+1= 3 \\[1.7ex] y=-1+3\cdot 1=2 \end{cases}$

$\bm{A(3,2)}$

E possiamo calcolare un altro punto sulla linea se sostituiamo la variabile

$t$

con un numero diverso, ad esempio

$t=2:$

$\displaystyle \begin{cases} x=2+2= 4 \\[1.7ex] y=-1+3\cdot 2=5 \end{cases}$

$\bm{B(4,5)}$

Pertanto, possiamo ottenere infiniti punti sulla linea, perché la variabile

$t$

può assumere infiniti valori.

Come calcolare le equazioni parametriche di una retta partendo da due punti

Un altro problema tipico con le equazioni parametriche è che ci danno 2 punti che appartengono alla retta e da questi dobbiamo calcolare le equazioni parametriche. Vediamo come si risolve mediante un esempio:

Trovare le equazioni parametriche della retta passante per i seguenti due punti:

$A(2,4) \qquad B(5,-3)$

Come abbiamo visto nelle sezioni precedenti, per trovare le equazioni parametriche di una linea, abbiamo bisogno del suo vettore direzione e di un punto su di essa. Abbiamo già un punto a destra, ma ci manca il suo vettore di direzione. Quindi prima dobbiamo calcolare il vettore direzione della retta e poi le equazioni parametriche .

Per trovare il vettore direzione della retta è sufficiente calcolare il vettore definito dai due punti indicati nell’espressione:

$\vv{AB} = B - A = (5,-3) - (2,4) = (3,-7)$

E una volta conosciuto anche il vettore direzione della retta, per trovarne le equazioni parametriche basta applicare la formula:

$\displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases} x=2+t\cdot 3 \\[1.7ex] y=4+t\cdot(-7) \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases} x=2+3t \\[1.7ex] y=4-7t \end{cases}$

In questo caso abbiamo preso il punto A per definire le equazioni parametriche, ma è corretto scriverle anche con l’altro punto che ci danno nell’enunciato:

$\displaystyle \begin{cases} x=5+3t \\[1.7ex] y=-3-7t \end{cases}$

Risolti problemi di equazioni parametriche della retta

Esercizio 1

Trova l’equazione parametrica della retta il cui vettore direzione è

$\vv{\text{v}}$

e passa per il punto

$P:$

$\vv{\text{v}}= (-1,-2) \qquad P(5,0)$

vedi soluzione

Per trovare le equazioni parametriche della retta basta applicare la sua formula:

$\displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases} x=5+t\cdot (-1) \\[1.7ex] y=0+t\cdot(-2) \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases} x=5-t \\[1.7ex] y=-2t \end{cases}$

Esercizio 2

Calcola due punti diversi della seguente retta definita dalle equazioni parametriche:

$\displaystyle \begin{cases} x=1+5t \\[1.7ex] y=-4-3t \end{cases}$

vedi soluzione

Per ottenere punti da una retta espressa con equazioni parametriche è necessario dare dei valori al parametro

$t.$

Pertanto, per calcolare un primo punto, sostituiamo l’incognita

$t$

per esempio da

$t=0:$

$\displaystyle \begin{cases} x=1+5\cdot 0 = 1 \\[1.7ex] y=-4-3\cdot 0 = -4 \end{cases}$

$\bm{A(1,-4)}$

E per trovare un secondo punto sulla linea diamo

$t$

ad esempio il valore di

$t=1:$

$\displaystyle \begin{cases} x=1+5\cdot 1 = 6 \\[1.7ex] y=-4-3\cdot 1 = -7 \end{cases}$

$\bm{B(6,-7)}$

Potresti aver ottenuto punti diversi, perché dipende dai valori che dai al parametro

$t.$

Ma se hai seguito la stessa procedura, va tutto bene.

Esercizio 3

Considerato il seguente punto:

$P(3,-1)$

Determina se questo punto appartiene o meno alla seguente riga:

$\displaystyle \begin{cases} x=-3+2t \\[1.7ex] y=1+2t \end{cases}$

vedi soluzione

Per verificare se il punto appartiene alla retta, bisogna sostituire le sue coordinate nelle equazioni della retta e vedere se in ciascuna equazione troviamo lo stesso valore del parametro

$t.$

In tal caso significherà che il punto fa parte della retta, altrimenti implicherà che la retta non passa per questo punto.

Pertanto, sostituiamo le coordinate del punto nelle equazioni parametriche della retta:

$\displaystyle \begin{cases} 3=-3+2t \\[1.7ex] -1=1+2t \end{cases}$

E risolviamo le due equazioni risultanti:

Coordinate X

$3 = -3 +2t$

$3+3 = 2t$

$6=2t$

$\cfrac{6}{2}=t$

$3=t$

Coordinate Y

$-1 = 1 +2t$

$-1-1 = 2t$

$-2=2t$

$\cfrac{-2}{2}=t$

$-1=t$

Abbiamo ottenuto due valori di

$t$

diverso, quindi il punto non è sulla linea.

Esercizio 4

Calcola le equazioni parametriche della retta passante per i seguenti due punti:

$A(-1,4) \qquad B(-2,4)$

vedi soluzione

Per calcolare le equazioni parametriche di una retta, dobbiamo conoscere il suo vettore direzione e uno dei suoi punti. In questo caso abbiamo già un punto sulla retta, ma ci manca il suo vettore di direzione. Dobbiamo quindi prima calcolare il vettore direzione della retta poi le equazioni parametriche.

Per trovare il vettore direzione della retta è sufficiente calcolare il vettore definito dai due punti indicati nell’espressione:

$\vv{AB} = B - A = (-2,4) - (-1,4) = (-1,0)$

E una volta che conosciamo già il vettore direzione della retta, per trovare le sue equazioni parametriche applichiamo semplicemente la formula:

$\displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases} x=-1+t\cdot (-1) \\[1.7ex] y=4+t\cdot 0 \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases} x=-1-t\\[1.7ex] y=4 \end{cases}$

In questo caso abbiamo scelto il punto A per definire le equazioni parametriche, ma è valido anche scriverle con l’altro punto che ci danno nell’enunciato:

$\displaystyle \begin{cases} x=-2-t\\[1.7ex] y=4 \end{cases}$

Applicazioni delle equazioni parametriche

Ovviamente, l’uso principale delle equazioni parametriche è quello di definire linee, come abbiamo visto. Tuttavia, le equazioni parametriche vengono utilizzate anche per descrivere altri tipi di elementi geometrici.

Ad esempio, qualsiasi circonferenza può essere espressa mediante equazioni parametriche. Sì

$r$

è il raggio del cerchio e

$C(x_0,y_0)$

sono le coordinate del suo centro, la parametrizzazione di una circonferenza è:

$\displaystyle \begin{cases} x=x_0+r\cdot \text{cos}(t) \\[1.7ex] y=y_0+r\cdot\text{sen}(t) \end{cases}$

Allo stesso modo è possibile configurare anche un’ellisse . Sì

$C(x_0,y_0)$

sono le coordinate del centro dell’ellisse,

$a$

il suo raggio orizzontale e

$b$

il suo raggio verticale, le equazioni parametriche di un’ellisse sono:

$\displaystyle \begin{cases} x=x_0+a\cdot \text{cos}(t) \\[1.7ex] y=y_0+b\cdot\text{sen}(t) \end{cases}$

Allo stesso modo, è possibile realizzare una rappresentazione parametrica di altre curve, come una parabola o anche un’iperbole. Anche se non li mostriamo in questo articolo perché sono molto più complicati.

Infine, un piano può anche essere definito da un’espressione parametrica. Infatti le equazioni parametriche di un piano sono:

$\displaystyle \begin{cases} x=x_0+\lambda\cdot \text{u}_1 + \mu \cdot \text{v}_1 \\[1.7ex] y=y_0+\lambda\cdot \text{u}_2 + \mu \cdot \text{v}_2 \\[1.7ex] z=z_0+\lambda\cdot \text{u}_3 + \mu \cdot \text{v}_3 \end{cases}$