Equazione vettoriale della retta

In questa pagina troverai come calcolare l’equazione vettoriale della retta. Inoltre, potrai vedere diversi esempi ed esercitarti con esercizi risolti. E scoprirai anche come si ottengono i punti di una retta dalla sua equazione vettoriale.

Qual è l’equazione vettoriale della retta?

Ricorda che la definizione matematica di linea è un insieme di punti consecutivi rappresentati nella stessa direzione senza curve o angoli.

Quindi, l’ equazione del vettore linea è un modo per esprimere matematicamente qualsiasi linea. E per questo basta un punto che appartenga alla retta e il vettore direzione della retta.

Come si calcola l’equazione vettoriale della retta?

Sì

$\vv{\text{v}}$

è il vettore direzione della linea e

$P$

un punto che appartiene a destra:

$\vv{\text{v}}= (\text{v}_1,\text{v}_2) \qquad P(P_1,P_2)$

La formula per l’ equazione vettoriale della retta è:

$(x,y)=(P_1,P_2)+t\cdot (\text{v}_1,\text{v}_2)$

Oro:

$x$

E

$y$

sono le coordinate cartesiane di ogni punto della retta.
$P_1$

E

$P_2$

sono le coordinate di un punto noto che fa parte della linea.
$\text{v}_1$

E

$\text{v}_2$

sono le componenti del vettore direzione della linea.
$t$

è uno scalare (un numero reale) il cui valore dipende da ciascun punto della linea.

È l’equazione vettoriale della retta nel piano, cioè quando si lavora con punti e vettori di 2 coordinate (in R2). Tuttavia, se eseguissimo i calcoli nello spazio (in R3), dovremmo aggiungere un’ulteriore componente all’equazione della retta:

$(x,y,z)=(P_1,P_2,P_3)+t\cdot (\text{v}_1,\text{v}_2,\text{v}_3)$

D’altra parte, tieni presente che oltre all’equazione vettoriale, ci sono altri modi per esprimere analiticamente una linea: equazioni parametriche, equazione continua, equazione implicita (o generale), equazione esplicita e equazione punto-pendenza di una linea . Puoi vedere tutti i tipi di equazioni nella riga in questo link.

Esempio di come trovare l’equazione vettoriale della retta

Vediamo come viene determinata l’equazione vettoriale della retta utilizzando un esempio:

Scrivi l’equazione vettoriale della retta passante per il punto
$P$

e ha

$\vv{\text{v}}$

come vettore guida:

$\vv{\text{v}}= (1,2) \qquad P(3,0)$

Per trovare l’equazione vettoriale della retta, applica semplicemente la sua formula:

$(x,y)=(P_1,P_2)+t\cdot (\text{v}_1,\text{v}_2)$

$(x,y)=(3,0)+t\cdot (1,2)$

Ottenere punti dall’equazione vettoriale della retta

Una volta trovata l’equazione vettoriale della retta, è molto semplice calcolare i punti attraverso i quali passa la retta. Per determinare un punto su una linea , basta dare un valore al parametro

$\bm{t}$

dell’equazione vettoriale della retta.

Ad esempio, data la seguente equazione vettoriale della retta:

$(x,y)=(1,-1)+t\cdot (2,3)$

Un punto viene segnato sostituendo

$t$

da qualsiasi numero, ad esempio

$t=1:$

$\begin{aligned}(x,y)& =(1,-1)+1\cdot (2,3)\\[2ex] & =(1,-1)+(2,3) \\[2ex] & = (1+2 \ , -1+3) \\[2ex] & = \bm{(3,2)} \end{aligned}$

E possiamo calcolare un altro punto sulla retta dando l’incognita

$t$

un numero diverso, ad esempio

$t=2:$

$\begin{aligned}(x,y)& =(1,-1)+2\cdot (2,3)\\[2ex] & =(1,-1)+(4,6) \\[2ex] & = (1+4 \ , -1+6) \\[2ex] & = \bm{(5,5)} \end{aligned}$

Pertanto, possiamo ottenere infiniti punti sulla linea, perché la variabile

$t$

può assumere infiniti valori.

Problemi risolti dell’equazione vettoriale della retta

Esercizio 1

Trova l’equazione vettoriale della retta che passa per il punto

$P$

e il cui vettore di direzione è

$\vv{\text{v}}:$

$P(-1,3) \qquad \vv{\text{v}}=(4,-2)$

vedi soluzione

Per calcolare l’equazione vettoriale della retta, applica semplicemente la sua formula:

$(x,y)=(P_1,P_2)+t\cdot (\text{v}_1,\text{v}_2)$

$(x,y)=(-1,3)+t\cdot (4,-2)$

Esercizio 2

Calcola tre punti che si trovano sulla retta del problema precedente.

vedi soluzione

Per ottenere punti da una retta descritta con l’equazione vettoriale è necessario dare dei valori al parametro

$t.$

L’equazione vettoriale calcolata nel problema precedente è:

$(x,y)=(-1,3)+t\cdot (4,-2)$

Per calcolare un punto sostituiamo l’incognita

$t$

per esempio da

$t=1:$

$\begin{aligned}(x,y)& =(-1,3)+1\cdot (4,-2)\\[2ex] & =(-1,3)+ (4,-2) \\[2ex] & = (-1+4 \ , 3-2) \\[2ex] & = \bm{(3,1)} \end{aligned}$

Per trovare un secondo punto diamo

$t$

ad esempio il valore di

$t=2:$

$\begin{aligned}(x,y)& =(-1,3)+2\cdot (4,-2)\\[2ex] & =(-1,3)+ (8,-4) \\[2ex] & = (-1+8 \ , 3-4) \\[2ex] & = \bm{(7,-1)} \end{aligned}$

E, infine, otteniamo il terzo punto assegnando

$t$

il valore di

$t=3:$

$\begin{aligned}(x,y)& =(-1,3)+3\cdot (4,-2)\\[2ex] & =(-1,3)+ (12,-6) \\[2ex] & = (-1+12 \ , 3-6) \\[2ex] & = \bm{(11,-3)} \end{aligned}$

Potresti aver ottenuto punti diversi, perché dipende dai valori che dai al parametro

$t.$

Ma se hai seguito la stessa procedura, va tutto bene.

Esercizio 3

Oppure due punti:

$A(5,1) \qquad B(3,-2)$

Trova l’equazione vettoriale della retta che passa per questi due punti.

vedi soluzione

In questo caso non abbiamo il vettore direzione della retta, dobbiamo prima trovare il suo vettore direzione e poi l’equazione della retta.

Quindi per trovare il vettore direzione della retta dobbiamo calcolare il vettore definito dai due punti dati:

$\vv{AB}=B-A= (3,-2)- (5,1) = (-2,-3)$

E una volta che conosciamo già il vettore direzione della linea, possiamo determinare la sua equazione vettoriale da uno dei punti dati e dalla formula:

$(x,y)=(P_1,P_2)+t\cdot (\text{v}_1,\text{v}_2)$

$(x,y)=(5,1)+t\cdot (-2,-3)$

Vale anche l’equazione che si trova inserendo nella formula l’altro punto dato:

$(x,y)=(3,-2)+t\cdot (-2,-3)$

Qual è l’equazione vettoriale della retta?

Come si calcola l’equazione vettoriale della retta?

Esempio di come trovare l’equazione vettoriale della retta

Ottenere punti dall’equazione vettoriale della retta

Problemi risolti dell’equazione vettoriale della retta

Esercizio 1

Esercizio 2

Esercizio 3

Lascia un commento Annulla risposta