Distanza tra due piani (formula)

In questa pagina troverai come trovare la distanza tra due piani. Vedrai in particolare i due metodi che esistono e quando è meglio utilizzare l’uno o l’altro. Inoltre, hai esempi ed esercizi risolti sulla distanza tra due piani in modo che tu possa capirlo bene.

Come si calcola la distanza tra due piani?

La distanza tra due piani nello spazio dipende dalla posizione relativa tra questi due piani:

Se i due piani si intersecano o coincidono , la distanza tra loro è zero perché si intersecano in un punto.
Se i due piani sono paralleli , la distanza tra i due piani viene calcolata prendendo un punto su uno dei due piani e calcolando la distanza tra quel punto e l’altro piano.

Ricorda che i piani perpendicolari sono un tipo di piani che si intersecano, quindi anche la distanza tra due piani perpendicolari è zero.

Quindi, per calcolare la distanza tra due piani, devi prima determinare qual è la posizione relativa tra loro e, quindi, è essenziale che tu sappia come trovare la posizione relativa di due piani . Se non ti è del tutto chiaro come fare, ti consigliamo di dare un’occhiata al link, dove troverai una spiegazione molto dettagliata oltre ad esempi ed esercizi risolti.

Come calcolare la distanza tra due piani paralleli

Due piani paralleli sono sempre alla stessa distanza l’uno dall’altro. Pertanto, per trovare la distanza tra due piani paralleli, possiamo prendere un punto su uno dei due piani e calcolare la distanza da quel punto all’altro piano.

Quindi la formula per calcolare la distanza tra due piani paralleli è:

Consideriamo due piani paralleli, dato un punto su uno dei piani e l’equazione generale (o implicita) dell’altro piano:

$P(x_0,y_0,z_0) \qquad \qquad \pi: \ Ax+By+Cz+D=0$

La formula per trovare la distanza tra due piani paralleli passanti per il punto di un piano e l’equazione generale dell’altro piano è:

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert A\cdot x_0+B\cdot y_0+C\cdot z_0+D\rvert}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

Questa è una formula utilizzata per trovare la distanza tra due piani paralleli. Tuttavia, a volte possiamo utilizzare un altro metodo, ancora più semplice:

I coefficienti A, B e C delle equazioni implicite (o generali) di due piani devono essere proporzionali. Ebbene, se in un problema troviamo due piani i cui coefficienti A, B e C sono esattamente gli stessi, possiamo usare un’altra formula senza bisogno di conoscere alcun punto di nessun piano:

Consideriamo le equazioni generali (o implicite) di due piani paralleli con identici coefficienti A, B e C :

$\pi_1 : \ Ax+By+Cz+D_1=0 \qquad \qquad \pi_2 : \ Ax+By+Cz+D_2=0$

La formula per trovare la distanza tra i due piani paralleli dalle equazioni generali dei due piani è:

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert D_2-D_1\rvert}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

In definitiva, ci sono due modi per trovare la distanza tra due piani paralleli. La prima è più utile quando conosciamo un punto su uno dei due piani. Se però conosciamo l’equazione generale dei due piani, è meglio calcolare la distanza con la seconda formula.

Esempio di calcolo della distanza tra due piani paralleli

Ad esempio, calcoleremo la distanza tra i seguenti due piani:

$\pi_1 : \ 4x-2y-4z+7=0 \qquad \qquad \pi_2 : \ 8x-4y-8z+2=0$

Dobbiamo innanzitutto verificare che abbiamo a che fare con due piani paralleli. Pertanto, tutti i coefficienti delle equazioni piane sono proporzionali tranne i termini indipendenti, quindi sono effettivamente due piani paralleli.

$\cfrac{4}{8}=\cfrac{-2}{-4}=\cfrac{-4}{-8}\neq \cfrac{7}{2} \quad \longrightarrow \quad \pi_1 \parallel \pi_2$

In questo caso i termini A, B e C delle equazioni dei due piani non coincidono, ma possiamo ottenere questo risultato dividendo per due l’intera equazione del secondo piano:

$\pi_2 : \ \cfrac{8x-4y-8z+2}{2}=\cfrac{0}{2}$

$\pi_2 : \ 4x-2y-4z+1=0$

Quindi le equazioni dei due piani ora hanno già gli stessi coefficienti A, B e C. Pertanto possiamo facilmente calcolare la distanza tra i due piani con la seguente formula per la distanza tra 2 piani paralleli:

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert D_2-D_1\rvert}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

Sostituiamo i valori e risolviamo le operazioni:

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert 1-7\rvert}{\sqrt{4^2+(-2)^2+(-4)^2}}= \cfrac{\lvert -6\rvert}{\sqrt{36}} = \cfrac{6}{6} = \bm{1}$

Cosicché la distanza tra un piano e l’altro piano è uguale all’unità.

Risoluzione dei problemi di distanza tra due piani

Esercizio 1

Trova la distanza tra i due piani seguenti:

$\pi_1 : \ 2x-y+5z-3=0 \qquad \qquad \pi_2 : \ 2x-y+5z-7=0$

vedi soluzione

Dobbiamo innanzitutto verificare che abbiamo a che fare con due piani paralleli. Tutti i coefficienti delle equazioni dei due piani sono proporzionali ad eccezione dei termini indipendenti, quindi si tratta effettivamente di due piani paralleli.

$\cfrac{2}{2}=\cfrac{-1}{-1}=\cfrac{5}{5} \neq \cfrac{-3}{-7} \quad \longrightarrow \quad \pi_1 \parallel \pi_2$

In questo caso calcoleremo la distanza tra i due piani con la formula diretta, poiché i loro coefficienti A, B e C sono uguali:

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert D_2-D_1\rvert}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

Quindi, sostituiamo i valori nella formula ed eseguiamo le operazioni:

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert -7-3\rvert}{\sqrt{2^2+(-1)^2+5^2}}= \cfrac{\lvert -10\rvert}{\sqrt{30}} = \cfrac{\bm{10}}{\bm{\sqrt{30}}}$

Esercizio 2

Calcola la distanza tra i seguenti due piani:

$\pi_1 : \ 3x-2y+6z+4=0 \qquad \qquad \pi_2 : \ 6x-4y+3z+1=0$

vedi soluzione

Innanzitutto bisogna verificare che si tratti di due piani paralleli per poter determinare la distanza che li separa. Per fare ciò controlliamo la proporzionalità tra i coefficienti dei due piani:

$\cfrac{3}{6}=\cfrac{-2}{-4}\neq\cfrac{6}{3} \neq \cfrac{4}{1} \quad \longrightarrow \quad \pi_1 \ \cancel{\parallel} \ \pi_2$

Ma i coefficienti A, B e C dei due piani non sono proporzionali, solo i parametri A e B. Pertanto i due piani non sono paralleli ma si intersecano e, quindi, la distanza tra loro è pari a 0:

$\bm{d(\pi_1,\pi_2)=0}$

Esercizio 3

Trova la distanza tra i seguenti due piani paralleli:

$\pi_1 : \ \begin{cases} x=3+4\lambda-2 \mu \\[1.7ex]y=-2+\lambda+6 \mu \\[1.7ex]z=5-\lambda+3 \mu \end{cases}\qquad \qquad \pi_2 : \ 3x+2y-2z-9=0$

vedi soluzione

Il piano in primo piano è definito sotto forma di equazioni parametriche, quindi per applicare la formula diretta per la distanza tra due piani paralleli dobbiamo prima convertirla sotto forma di un’equazione generale e questo richiede molti calcoli e tempo. Pertanto, è più veloce se prendiamo un punto su quel piano e calcoliamo la distanza da quel punto all’altro piano.

Pertanto, le coordinate di un punto appartenente al piano π ₁ corrispondono ai termini indipendenti di ciascuna equazione parametrica:

$P(3,-2,5)$