Equazione continua della retta

In questa pagina troverai tutto sull’equazione continua di una retta: cosa significa, come si calcola a partire dal suo punto e dal suo vettore e come si determina con due soli punti. Inoltre, potrai vedere diversi esempi e potrai anche esercitarti con esercizi e problemi risolti passo dopo passo.

Qual è l’equazione continua della retta?

Ricorda che la definizione matematica di linea è un insieme di punti consecutivi rappresentati nella stessa direzione senza curve o angoli.

Quindi, l’ equazione della linea continua è un modo per esprimere matematicamente qualsiasi linea. E per questo basta conoscere un punto che appartiene alla retta e il vettore direzione della retta.

Come si calcola l’equazione continua della retta?

Sì

$\vv{\text{v}}$

è il vettore direzione della linea e

$P$

un punto che appartiene a destra:

$\vv{\text{v}}= (\text{v}_1,\text{v}_2) \qquad P(P}_1,P_2)$

La formula per l’ equazione continua della retta è:

$\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}$

Oro:

$x$

E

$y$

sono le coordinate cartesiane di ogni punto della retta.
$P_1$

E

$P_2$

sono le coordinate di un punto noto che fa parte della linea.
$\text{v}_1$

E

$\text{v}_2$

sono le componenti del vettore direzione della linea.

definizione dell'equazione continua della riga 4

Questa formula vale per l’equazione continua della retta nel piano, cioè quando si lavora con punti e vettori di 2 coordinate (in R2). Ma se facessimo i calcoli nello spazio (in R3), dovremmo aggiungere una componente aggiuntiva all’equazione della retta:

$\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}= \cfrac{z-P_3}{\text{v}_3}$

D’altra parte, tieni presente che oltre all’equazione continua, ci sono altri modi per esprimere analiticamente una retta: l’equazione vettoriale, le equazioni parametriche, l’equazione implicita (o generale), l’equazione esplicita e l’equazione punto-pendenza di Aline. Puoi controllare di cosa si tratta sul nostro sito web.

Infatti l’equazione continua di una retta si ottiene dalle sue equazioni parametriche. Osserva la formula per le equazioni parametriche sulla riga :

$\displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases}$

Se cancelliamo l’impostazione

$t$

da ciascuna equazione parametrica si ottiene:

$t =\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}}$

$t =\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}}$

Uguagliando le due equazioni risultanti, otteniamo l’equazione continua della retta:

$t= t$

$\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}$

Esempio di come trovare l’equazione continua della retta

Vediamo come si determina l’equazione continua della retta utilizzando un esempio:

Scrivi l’equazione continua della retta passante per il punto
$P$

e ha

$\vv{\text{v}}$

come vettore guida:

$\vv{\text{v}}= (4,-2) \qquad P(-1,3)$

Per trovare l’equazione continua della retta basta applicare la sua formula:

$\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}$

$\cfrac{x-(-1)}{4}=\cfrac{y-3}{-2}$

$\cfrac{x+1}{4}=\cfrac{y-3}{-2}$

Come trovare l’equazione continua della retta che parte da due punti

Un problema comune con l’equazione continua è che ci danno 2 punti che appartengono alla retta e da questi dobbiamo calcolare l’equazione continua. Vediamo come si risolve mediante un esempio:

Trova l’equazione continua della retta passante per i seguenti due punti:

$A(1,5) \qquad B(3,-4)$

Come abbiamo visto nelle sezioni precedenti, per calcolare l’equazione continua di una retta, dobbiamo conoscere il suo vettore direzione e un punto su di essa. Abbiamo già un punto a destra, ma ci manca il suo vettore di direzione. Dobbiamo quindi calcolare prima il vettore direzione della retta e poi l’equazione continua .

Per determinare il vettore direzione della retta è sufficiente calcolare il vettore definito dai due punti indicati nell’espressione:

$\vv{AB} = B - A = (3,-4) - (1,5) = (2,-9)$

E una volta che conosciamo già il vettore direzione della retta, per trovare l’equazione continua della retta basta applicare la formula:

$\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}$

$\cfrac{x-1}{2}=\cfrac{y-5}{-9}$

In questo caso abbiamo preso il punto A per definire l’equazione continua della retta, ma è corretto scriverlo anche con l’altro punto che ci danno nell’enunciato:

$\cfrac{x-3}{2}=\cfrac{y+4}{-9}$

Problemi risolti dell’equazione continua della retta

Esercizio 1

Trova l’equazione continua della retta il cui vettore direzione è

$\vv{\text{v}}$

e passa per il punto

$P:$

$\vv{\text{v}}= (5,-4) \qquad P(2,-1)$

vedi soluzione

Per trovare l’equazione continua della retta basta applicare la sua formula:

$\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}$

$\cfrac{x-2}{5}=\cfrac{y-(-1)}{-4}$

$\cfrac{x-2}{5}=\cfrac{y+1}{-4}$

Esercizio 2

Determinare il vettore direzione e un punto sulla retta seguente:

$\cfrac{x-1}{6}=\cfrac{y+4}{-5}$

vedi soluzione

La riga nella dichiarazione è espressa sotto forma di un’equazione continua, la cui formula è:

$\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}$

In modo che le componenti del vettore direzione della linea corrispondano ai denominatori delle frazioni:

$\vv{\text{v}} = (6,-5)$

E le coordinate cartesiane di un punto sulla retta sono i numeri dei numeratori con segno cambiato :

$P(1,-4)$

Esercizio 3

Trova l’equazione continua della retta passante per i seguenti due punti:

$A(2,-2) \qquad B(8,3)$

vedi soluzione

Per calcolare l’equazione continua di una retta è necessario conoscere il suo vettore direzione e uno dei suoi punti. In questo caso abbiamo già un punto sulla retta, ma ci manca il suo vettore di direzione. Dobbiamo quindi calcolare prima il vettore direzione della retta e poi l’equazione continua.

Per trovare il vettore direzione della retta è sufficiente calcolare il vettore definito dai due punti indicati nell’espressione:

$\vv{AB} = B - A = (8,3) - (2,-2) = (6,5)$

E una volta che conosciamo già il vettore direzione della retta, per trovare la sua equazione continua applichiamo semplicemente la formula:

$\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}$

$\cfrac{x-2}{6}=\cfrac{y+2}{5}$

In questo caso abbiamo scelto il punto A per definire l’equazione continua, ma è valido anche scriverla con l’altro punto che ci danno nell’enunciato:

$\cfrac{x-8}{6}=\cfrac{y-3}{5}$

Esercizio 4

Considerato il seguente punto:

$P(0,3)$

Determina se appartiene o meno alla linea definita dalla seguente equazione continua:

$\cfrac{x+2}{2}=\cfrac{y-3}{-4}$

vedi soluzione

Per verificare se il punto appartiene alla retta, devi sostituire le coordinate del punto nell’equazione della retta. Se il punto soddisfa l’equazione vorrà dire che appartiene effettivamente alla retta, se invece l’equazione non è soddisfatta vorrà dire che il punto non fa parte della retta.

Pertanto, sostituiamo le coordinate del punto nell’equazione della linea data:

$\cfrac{0+2}{2}=\cfrac{3-3}{-4}$