Prodotto della somma per la differenza (identità notevole)

In questa pagina troverai la formula del prodotto della somma per la differenza. Inoltre, potrai vedere esempi di applicazione della formula di questo straordinario tipo di identità e potrai anche esercitarti con esercizi risolti passo dopo passo.

Qual è il prodotto della somma per la differenza?

In matematica, la nozione di prodotto della somma per la differenza si riferisce a una delle uguaglianze notevoli , chiamate anche identità notevoli o prodotti notevoli.

Più precisamente, l’espressione del prodotto della somma per la differenza è della forma (a+b)·(ab) , dove (a+b) corrisponde alla somma di due termini diversi e (ab) è la differenza di questi stessi due termini.

Formula per il prodotto della somma per la differenza

Ora che conosciamo la definizione matematica del prodotto della somma per la differenza, vediamo quale formula viene utilizzata per risolvere questo notevole tipo di identità:

Pertanto, il prodotto della somma per la differenza di due termini è uguale alla differenza dei quadrati di questi termini . In altre parole, moltiplicare la somma di due termini diversi per la sottrazione degli stessi due termini equivale a elevare al quadrato ciascuno dei 2 termini e sottrarli.

Ciò implica che le differenze dei quadrati possono essere fattorizzate in prodotti di somme per differenze. Anche se adesso può sembrarti complicato, nella pagina collegata ti spieghiamo un trucco che ti permette di fattorizzare questo tipo di polinomio in due semplici passaggi. Fai clic e scopri come è fatto.

Esempi di prodotti di somme per differenze

Una volta che sappiamo qual è la formula del prodotto della somma e della differenza, vedremo diversi esempi risolti in modo che tu possa capire meglio come viene risolto questo straordinario tipo di uguaglianza.

Esempio 1

Calcola, applicando la formula, il seguente prodotto della somma per la differenza di due termini diversi:

$(x+2)\cdot (x-2)$

La formula per il prodotto della somma per la differenza è la seguente:

$(a+b)\cdot (a-b) =a^2-b^2$

Quindi la prima cosa che dobbiamo fare è identificare i valori dei parametri

$a$

$b$

della formula. In questo caso

$a$

corrispondono alla variabile

$x$

$b$

corrisponde al numero 2.

$\left. \begin{array}{l} (a+b)\cdot (a-b) \\[2ex] (x+2)\cdot (x-2) \end{array} \color{red} \right\} \quad \color{red}\bm{\longrightarrow}\quad \color{black} \begin{array}{c} a=x \\[2ex] b=2 \end{array}$

E ora che sappiamo quali valori assumono i parametri

$a$

$b,$

Possiamo applicare la formula del prodotto della somma per la differenza:

Come puoi vedere, il prodotto di una somma per una differenza darà sempre un termine negativo. Tuttavia, ciò non deve essere confuso con la notevole identità del quadrato di una sottrazione. Se hai dei dubbi, ti consigliamo di dare un’occhiata a qual è la formula del quadrato di una differenza , dove scoprirai anche quali sono le differenze tra queste due straordinarie identità

Esempio 2

Trova, utilizzando la formula, il seguente prodotto della somma per la differenza di due binomi:

$(3x+5)\cdot (3x-5)$

La formula per il prodotto della somma per la differenza è la seguente:

$(a+b)\cdot (a-b) =a^2-b^2$

Pertanto, in questo caso

$a=3x$

$b=5$

. Quindi se applichiamo la formula somma per differenza otteniamo la seguente espressione algebrica:

$(3x+5)\cdot (3x-5) = (3x)^2-5^2 = 9x^2-25$

Esempio 3

Risolvi con la formula il seguente prodotto della somma per la differenza di due monomi:

$(4x-2y)\cdot (4x+2y)$

Poiché la moltiplicazione ha proprietà commutativa, moltiplicare prima la differenza e poi la somma di due quantità equivale a moltiplicare le stesse parentesi all’inverso.

$(4x-2y)\cdot (4x+2y) = (4x+2y)\cdot (4x-2y)$

Pertanto, anche se in questo caso il prodotto viene invertito, cioè prima dell’addizione avviene la sottrazione, il risultato rimane lo stesso della formula:

$(a+b)\cdot (a-b) =a^2-b^2$

$(a-b)\cdot (a+b) =a^2-b^2$

Quindi in questo problema

$a=4x$

$b=2y$

. E una volta individuato il valore di ciascuna incognita possiamo utilizzare la formula per calcolare il prodotto notevole:

$(4x-2y)\cdot (4x+2y)= (4x)^2-(2y)^2 = 16x^2-4y^2$

Dimostrazione della formula della somma per differenza

La formula somma per differenza che abbiamo appena studiato può essere facilmente dimostrata.

Se partiamo dal prodotto di una somma per sottrazione di due termini qualsiasi:

$(a+b)\cdot (a-b)$

Moltiplica semplicemente la prima parentesi per la seconda parentesi utilizzando la proprietà distributiva:

$\begin{array}{l}(a+b)\cdot (a-b)= \\[2ex] = a\cdot a +a\cdot (-b) +b \cdot a +b\cdot (-b) =\\[2ex] = a^2 -ab+ba-b^2\end{array}$

E raggruppando insieme termini simili, arriviamo alla seguente espressione:

$a^2 -ab+ba-b^2=a^2-b^2$

Pertanto, si ricava la formula per il prodotto somma per differenza notevole:

$(a+b)\cdot (a-b) =a^2-b^2$

Esercizi risolti per il prodotto della somma per differenza

Di seguito abbiamo preparato diversi esercizi di addizione per differenze risolti passo dopo passo in modo che tu possa esercitarti. Gli esercizi sono ordinati dal meno al più difficile, quindi ti consigliamo di iniziare con 1, proseguire con 2 e infine fare 3, che è il più difficile.

⬇⬇Inoltre, non dimenticare che puoi lasciarci qualsiasi domanda possa sorgere nei commenti!⬇⬇

Esercizio 1

Risolvi i seguenti prodotti di somme per differenze:

$\text{A)} \ (x+5)(x-5)$

$\text{B)} \ (2x+6)(2x-6)$

$\text{C)} \ (x+7)(x-7)$

$\text{D)} \ (x-4y)(x+4y)$

vedi soluzione

$\text{A)} \ \begin{array}{l}(x+5)(x-5) = \\[2ex] =x^2-5^2=\\[2ex] = \bm{x^2-25}\end{array}$

$\text{B)} \ \begin{array}{l}(2x+6)(2x-6) = \\[2ex] =(2x)^2-6^2=\\[2ex] = \bm{4x^2-36}\end{array}$

$\text{C)} \ \begin{array}{l}(x+7)(x-7) = \\[2ex] =x^2-7^2=\\[2ex] = \bm{x^2-49}\end{array}$

$\text{D)} \ \begin{array}{l}(x-4y)(x+4y) = \\[2ex] =(x+4y)(x-4y) =\\[2ex] =x^2-(4y)^2=\\[2ex] = \bm{x^2-16y^2}\end{array}$

Esercizio 2

Esprimi le seguenti moltiplicazioni come differenze di quadrati:

$\text{A)} \ \left(x^2+10\right)\left(x^2-10\right)$

$\text{B)} \ \left(4x-5\right)\left(4x+5\right)$

$\text{C)} \ \left(8x^3+y^2\right)\left(8x^3-y^2\right)$

$\text{D)} \ \left(2x^3y+x^4y^2\right)\left(2x^3y-x^4y^2\right)$

vedi soluzione

$\text{A)} \ \begin{array}{l}\left(x^2+10\right)\left(x^2-10\right) = \\[2ex] =\left(x^2\right)^2-10^2=\\[2ex] = \bm{x^4-100}\end{array}$

$\text{B)} \ \begin{array}{l}\left(4x-5\right)\left(4x+5\right) = \\[2ex] =(4x)^2-5^2=\\[2ex] = \bm{16x^2-25}\end{array}$

$\text{C)} \ \begin{array}{l}\left(8x^3+y^2\right)\left(8x^3-y^2\right) = \\[2ex] =\left(8x^3\right)^2-\left(y^2\right)^2=\\[2ex] = \bm{64x^6-y^4}\end{array}$

$\text{D)} \ \begin{array}{l}\left(2x^3y+x^4y^2\right)\left(2x^3y-x^4y^2\right) = \\[2ex] =\left(2x^3y\right)^2-\left(x^4y^2\right)^2 =\\[2ex] = \bm{4x^6y^2-x^8y^4}\end{array}$

Esercizio 3

Risolvi le seguenti identità importanti:

$\text{A)} \ \left(9x^3+\sqrt{5x}\right)\left(9x^3-\sqrt{5x}\right)$

$\text{B)} \ \displaystyle \left(\frac{1}{2}x^2+\frac{5}{3}x\right)\left(\frac{1}{2}x^2-\frac{5}{3}x\right)$

$\text{C)} \ \left(6x^4+x^2+1\right)\left(6x^4-x^2-1\right)$

vedi soluzione

Per risolvere la prima uguaglianza notevole, bisogna ricordare che una radice quadrata semplifica:

$\text{A)} \ \begin{array}{l}\left(9x^3+\sqrt{5x}\right)\left(9x^3-\sqrt{5x}\right) = \\[2ex] =\left(9x^3\right)^2-\left(\sqrt{5x}\right)^2=\\[2ex] = \bm{81x^6-5x}\end{array}$

I 2 monomi della seconda somma per differenza hanno coefficienti frazionari, quindi dobbiamo risolvere questo esercizio utilizzando le proprietà delle frazioni:

$\text{B)} \ \begin{array}{l}\displaystyle \left(\frac{1}{2}x^2+\frac{5}{3}x\right)\left(\frac{1}{2}x^2-\frac{5}{3}x\right) = \\[4ex] \displaystyle =\left(\frac{1}{2}x^2\right)^2-\left(\frac{5}{3}x\right)^2=\\[4ex] \displaystyle =\frac{1^2}{2^2}x^4-\frac{5^2}{3^2}x^2=\\[4ex]\displaystyle = \mathbf{\frac{1}{4}}\bm{x^4-}\mathbf{\frac{25}{9}}\bm{x^2} \end{array}$

Infine, l’ultima uguaglianza notevole è un po’ particolare perché al suo interno contiene un altro prodotto notevole (il quadrato della somma):

$\text{C)} \ \begin{array}{l}\left(6x^4+x^2+1\right)\left(6x^4-x^2-1\right) = \\[2ex] = \left(6x^4+\left(x^2+1\right)\right)\left(6x^4-\left(x^2+1\right)\right)=\\[2ex]=\left(6x^4\right)^2-\left(x^2+1\right)^2=\\[2ex] =36x^8 - \left(x^4+2x^2+1\right)=\\[2ex] = \bm{36x^8 - x^4-2x^2-1}\end{array}$

Qual è il prodotto della somma per la differenza?

Formula per il prodotto della somma per la differenza

Esempi di prodotti di somme per differenze

Esempio 1

Esempio 2

Esempio 3

Dimostrazione della formula della somma per differenza

Esercizi risolti per il prodotto della somma per differenza

Esercizio 1

Esercizio 2

Esercizio 3

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