Intervallo di un array in base a un parametro -

In questa pagina vedrai come calcolare il rango di una tabella in base a un parametro. Troverai anche esempi passo passo ed esercizi risolti su come trovare l’intervallo di una matrice in base a un parametro.

Per comprendere appieno la procedura per studiare il rango delle matrici con parametri, è importante sapere già come calcolare il rango di una matrice in base ai determinanti . Quindi ti consigliamo di imparare queste due cose prima di continuare a leggere.

Come calcolare l’intervallo di un array in base a un parametro. Esempio:

Determina l’intervallo della matrice A in base a diversi valori dei parametri
$\displaystyle a :$

$\displaystyle A= \begin{pmatrix} a+1 & -1 & a+1 \\[1.1ex] 0 & -1 & 0 \\[1.1ex] 1 & -2 & a \end{pmatrix}$

La matrice A avrà al massimo rango 3, perché è una matrice di ordine 3. Pertanto, la prima cosa da fare è risolvere il determinante dell’intera matrice 3×3 con la regola di Sarrus , per vedere se può essere di rango 3:

$\displaystyle \begin{aligned} \begin{vmatrix} a+1 & -1 & a+1 \\[1.1ex] 0 & -1 & 0 \\[1.1ex] 1 & -2 & a \end{vmatrix} & =-a(a+1)+0+0+a+1-0-0 \\ & =-a^2-a+a+1 \\[1.5ex] & =-a^2+1 \end{aligned}$

Il risultato del determinante è una funzione del parametro

$\displaystyle a$

. Impostiamo quindi il risultato uguale a 0 per vedere quando la tabella sarà di rango 2 e quando sarà di rango 3:

$\displaystyle -a^2+1 = 0$

E risolviamo l’equazione risultante:

$\displaystyle a^2 = 1$

$\displaystyle \sqrt{a^2} = \sqrt{1}$

$\displaystyle \bm{a = \pm 1}$

Pertanto, quando

$\displaystyle a$

che sia +1 o -1, il determinante 3×3 sarà 0 e, quindi, il rango della matrice non sarà 3. Invece, quando

$\displaystyle a$

è diverso da +1 e -1, il determinante sarà diverso da 0 e, quindi, la matrice sarà di rango 3.

$\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\[-2ex] \color{black}\phantom{33} \bm{a \neq +1,-1 \ \longrightarrow \ Rg(A)=3} \phantom{33} \\[-2ex] & \end{array} }$

Ora vediamo cosa succede quando

$\displaystyle \bm{a=+1} :$

$\displaystyle a = +1 \longrightarrow A= \begin{pmatrix} 2 & -1 & 2 \\[1.1ex] 0 & -1 & 0 \\[1.1ex] 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}$

Come abbiamo visto in precedenza, quando

$\displaystyle a$

è 1 il determinante della matrice è 0. Non può quindi essere di rango 3. Proviamo ora a calcolare un determinante 2×2 diverso da 0 all’interno della matrice, ad esempio quello dell’angolo in alto a sinistra:

$\displaystyle \begin{vmatrix} 2 & -1 \\[1.1ex] 0 & -1 \end{vmatrix} =-2-0= -2 \neq 0$

Il determinante di ordine 2 è diverso da 0. Pertanto, quando il parametro

$\displaystyle a$

o +1, il rango della matrice sarà 2:

$\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\[-2ex] \color{black} \phantom{33} \bm{a = +1 \ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \phantom{33} \\[-2ex] & \end{array} }$

Una volta che vediamo l’intervallo della matrice quando

$\displaystyle a \neq +1,-1$

e quando

$\displaystyle a=+1$

Vediamo cosa succede quando

$\displaystyle \bm{a = -1} :$

$\displaystyle a = -1 \longrightarrow A= \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\[1.1ex] 0 & -1 & 0 \\[1.1ex] 1 & -2 & -1 \end{pmatrix}$

Come abbiamo visto all’inizio, quando

$\displaystyle a$

es -1 e il determinante della matrice è 0. Pertanto, non può essere impostato al rango 3. Pertanto, dovremmo cercare di incontrare nella matrice un determinante di 2×2 diverso da 0, ad esempio il più basso parte della matrice. SINISTRA:

$\displaystyle \begin{vmatrix} 0 & -1 \\[1.1ex] 1 & -2 \end{vmatrix} = 0-(-1)= 1\neq 0$

Il determinante della dimensione 2 è diverso da 0. Pertanto, quando il parametro

$\displaystyle a$

o -1, il rango della tabella sarà 2:

$\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\[-2ex] \color{black} \phantom{33} \bm{a = -1 \ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \phantom{33} \\[-2ex] & \end{array} }$

Abbiamo quindi trovato 3 casi diversi in cui il rango della matrice A dipende dal valore che assume il parametro

$\displaystyle a.$

Ecco il riepilogo :

$\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\ \color{black} \phantom{33} \bm{a \neq +1,-1 \ \longrightarrow \ Rg(A)=3} \phantom{33} \\[3ex] \color{black} \bm{a = +1 \ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \\[3ex] \color{black} \bm{a = -1 \ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \\ & \end{array} }$

Ora che sai come discutere la gamma di matrici dipendenti dai parametri, puoi esercitarti a svolgere gli esercizi passo passo riportati di seguito. Per risolverli, le proprietà dei determinanti ti aiuteranno sicuramente, quindi se non ti sono molto chiare su di esse, ti consiglio di dare prima un’occhiata alla pagina collegata, dove ognuno di essi è spiegato con degli esempi.

Risolti i problemi relativi all’intervallo della matrice basata su parametri

Esercizio 1

Studiare l’intervallo della tabella seguente in base al valore del parametro

$\displaystyle a :$

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 3 & 1 & a \\[1.1ex] 2 & 2 & -4 \\[1.1ex] 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

vedi soluzione

La matrice A avrà al massimo rango 3, perché è una matrice 3×3. Pertanto, la prima cosa da fare è risolvere il determinante dell’intera matrice (con la regola di Sarrus), per vedere se può essere di rango 3:

$\displaystyle \begin{vmatrix} 3 & 1 & a \\[1.1ex] 2 & 2 & -4 \\[1.1ex] 2 & 1 & 0 \end{vmatrix} =0-8+2a-4a+12-0 =-2a+4$

Impostiamo il risultato uguale a 0 per vedere quando l’array sarà di rango 2 e quando di rango 3:

$\displaystyle -2a+4=0$

$\displaystyle -2a=-4$

$\displaystyle a=\cfrac{-4}{-2} = 2$

Pertanto, quando

$\displaystyle a$

è diverso da 2, il determinante 3×3 sarà diverso da 0 e, quindi, il rango della matrice sarà 3.

$\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\[-2ex] \color{black}\phantom{33} \bm{a \neq 2 \ \longrightarrow \ Rg(A)=3} \phantom{33} \\[-2ex] & \end{array} }$

Ora vediamo cosa succede quando

$\displaystyle a=2 :$

$\displaystyle a = 2 \longrightarrow A= \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\[1.1ex] 2 & 2 & -4 \\[1.1ex] 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 3 & 1 & 2 \\[1.1ex] 2 & 2 & -4 \\[1.1ex] 2 & 1 & 0 \end{vmatrix}= 0$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 3 & 1 \\[1.1ex] 2 & 2 \end{vmatrix} = 6-2 = 4 \neq 0$

$\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\[-2ex] \color{black} \phantom{33} \bm{a = 2 \ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \phantom{33} \\[-2ex] & \end{array} }$

Abbiamo quindi trovato 2 casi in cui l’intervallo della matrice A varia con il valore che assume il parametro:

$\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\ \color{black} \phantom{33} \bm{a \neq 2 \longrightarrow \ Rg(A)=3} \phantom{33} \\[3ex] \color{black} \bm{a = 2\ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \\ & \end{array} }$

Esercizio 2

Trovare l’intervallo della tabella seguente in base al valore del parametro

$\displaystyle a :$

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 \\[1.1ex] a & 1 & 3 \\[1.1ex] -2 & -2 & a \end{pmatrix}$

vedi soluzione

$\displaystyle \begin{aligned} \begin{vmatrix} 2 & 2 & 1 \\[1.1ex] a & 1 & 3 \\[1.1ex] -2 & -2 & a \end{vmatrix} & =2a-12-2a+2+12-2a^2 \\ &=2-2a^2\end{aligned}$

Impostiamo il risultato uguale a 0 per vedere quando l’array sarà di rango 2 e quando di rango 3:

$\displaystyle 2-2a^2=0$

$\displaystyle -2a^2=-2$

$\displaystyle a^2=\cfrac{-2}{-2}$

$\displaystyle a^2=1$

$\displaystyle a=\pm 1$

Pertanto, quando

$\displaystyle a$

è diverso da +1 e -1, il determinante 3×3 sarà diverso da 0 e, quindi, il rango della matrice sarà 3.

$\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\[-2ex] \color{black}\phantom{33} \bm{a \neq +1, -1 \ \longrightarrow \ Rg(A)=3} \phantom{33} \\[-2ex] & \end{array} }$

Ora vediamo cosa succede quando

$\displaystyle a=+1 :$

$\displaystyle a = +1 \longrightarrow A= \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 \\[1.1ex] 1 & 1 & 3 \\[1.1ex] -2 & -2 & 1 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2 & 2 & 1 \\[1.1ex] 1 & 1 & 3 \\[1.1ex] -2 & -2 & 1 \end{vmatrix}= 0$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 2 & 1 \\[1.1ex] 1 & 3 \end{vmatrix} = 6-1 = 5 \neq 0$

$\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\[-2ex] \color{black} \phantom{33} \bm{a = +1 \ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \phantom{33} \\[-2ex] & \end{array} }$

Ora vediamo cosa succede quando

$\displaystyle a=-1 :$

$\displaystyle a = -1 \longrightarrow A= \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 \\[1.1ex] -1 & 1 & 3 \\[1.1ex] -2 & -2 & -1 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2 & 2 & 1 \\[1.1ex] -1 & 1 & 3 \\[1.1ex] -2 & -2 & -1 \end{vmatrix}= 0$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 2 & 2 \\[1.1ex] -1 & 1 \end{vmatrix} =2-(-2) = 4 \neq 0$

$\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\[-2ex] \color{black} \phantom{33} \bm{a = -1 \ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \phantom{33} \\[-2ex] & \end{array} }$

Abbiamo quindi trovato 3 casi in cui il range della matrice A varia a seconda del valore che assume il parametro:

$\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\ \color{black} \phantom{33} \bm{a \neq +1,-1 \longrightarrow \ Rg(A)=3} \phantom{33} \\[3ex] \color{black} \bm{a = +1\ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \\[3ex] \color{black} \bm{a = -1\ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \\ & \end{array} }$

Esercizio 3

Calcola l’intervallo della tabella seguente in base al valore del parametro

$\displaystyle a :$

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} a+1 & 1 & -5 \\[1.1ex] 0 & 1 & -2 \\[1.1ex] -1 & 3 & a-3 \end{pmatrix}$

vedi soluzione

$\displaystyle \begin{aligned} \begin{vmatrix} a+1 & 1 & -5 \\[1.1ex] 0 & 1 & -2 \\[1.1ex] -1 & 3 & a-3 \end{vmatrix} & =(a+1)(a-3) +2+0-5+6(a+1)-0 \\ & = a^2-3a+a-3 +2-5+6a+6 \\[1.5ex] & =a^2+4a\end{aligned}$

Impostiamo il risultato uguale a 0 per vedere quando l’array sarà di rango 2 e quando di rango 3:

$\displaystyle a^2+4a=0$

Questa è un’equazione quadratica incompleta, quindi estraiamo un fattore comune:

$\displaystyle a(a+4)=0$

E impostiamo ogni termine uguale a 0:

$\displaystyle a(a+4)=0 \longrightarrow \begin{cases} \bm{a = 0} \\[2ex] a+4=0 \ \longrightarrow \ \bm{a=-4}\end{cases}$

Abbiamo ottenuto 0 e -4 come soluzioni. Pertanto, quando

$\displaystyle a$

è diverso da 0 e -4, il determinante 3×3 sarà diverso da 0 e, quindi, il rango della matrice sarà 3.

$\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\[-2ex] \color{black}\phantom{33} \bm{a \neq 0, -4 \ \longrightarrow \ Rg(A)=3} \phantom{33} \\[-2ex] & \end{array} }$

Ora vediamo cosa succede quando

$\displaystyle a=0 :$

$\displaystyle a = 0 \longrightarrow A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & -5 \\[1.1ex] 0 & 1 & -2 \\[1.1ex] -1 & 3 & -3 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -5 \\[1.1ex] 0 & 1 & -2 \\[1.1ex] -1 & 3 & -3 \end{vmatrix}= 0$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 1 \\[1.1ex] 0 & 1 \end{vmatrix} = 1-0 = 1 \neq 0$

$\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\[-2ex] \color{black} \phantom{33} \bm{a = 0 \ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \phantom{33} \\[-2ex] & \end{array} }$

Ora vediamo cosa succede quando

$\displaystyle a=-4 :$

$\displaystyle a = -4 \longrightarrow A= \begin{pmatrix} -3 & 1 & -5 \\[1.1ex] 0 & 1 & -2 \\[1.1ex] -1 & 3 & -7 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} -3 & 1 & -5 \\[1.1ex] 0 & 1 & -2 \\[1.1ex] -1 & 3 & -7 \end{vmatrix}= 0$

$\displaystyle \begin{vmatrix} -3 & 1 \\[1.1ex] 0 & 1\end{vmatrix} =-3-0 = -3 \neq 0$

$\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\[-2ex] \color{black} \phantom{33} \bm{a = -4 \ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \phantom{33} \\[-2ex] & \end{array} }$

Abbiamo quindi trovato 3 casi in cui il range della matrice A varia a seconda del valore che assume il parametro:

$\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\ \color{black} \phantom{33} \bm{a \neq 0,-4 \longrightarrow \ Rg(A)=3} \phantom{33} \\[3ex] \color{black} \bm{a = 0\ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \\[3ex] \color{black} \bm{a = -4\ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \\ & \end{array} }$

Esercizio 4

Trova l’estensione della seguente matrice di dimensione 3×4 in base al valore del parametro

$\displaystyle a :$

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} -1&-3&-2&1\\[1.1ex] 4&12&8&-4\\[1.1ex] 2&6&4&a \end{pmatrix}$

vedi soluzione

La matrice A avrà al massimo rango 3, poiché non possiamo calcolare alcun determinante 4×4 . Pertanto, la prima cosa che dobbiamo fare è risolvere tutti i possibili determinanti di ordine 3 (con la regola di Sarrus), per vedere se può essere di ordine 3:

$\displaystyle \begin{aligned} \begin{vmatrix} -1&-3&-2\\[1.1ex] 4&12&8\\[1.1ex] 2&6&4 \end{vmatrix} & =-48-48-48+48+48+48 =\bm{0}\end{aligned}$

$\displaystyle \begin{aligned} \begin{vmatrix} -1&-3&1\\[1.1ex] 4&12&-4\\[1.1ex] 2&6&a \end{vmatrix} & =-12a+24+24-24-24+12a=\bm{0}\end{aligned}$

$\displaystyle \begin{aligned} \begin{vmatrix} -1&-2&1\\[1.1ex] 4&8&-4\\[1.1ex] 2&4&a \end{vmatrix} & =-8a+16+16-16-16+8a=\bm{0}\end{aligned}$

$\displaystyle \begin{aligned} \begin{vmatrix} -3&-2&1\\[1.1ex] 12&8&-4\\[1.1ex] 6&4&a \end{vmatrix} & =-24a+48+48-48-48+24a=\bm{0}\end{aligned}$

I risultati di tutti i possibili determinanti di ordine 3 sono 0, qualunque sia il valore di

$\displaystyle a$

. Quindi la matrice non sarà mai di rango 3, poiché non importa quale valore assuma

$\displaystyle a$

che non ci sarà mai un determinante 3×3 diverso da 0.

Quindi ora proviamo i determinanti di dimensione 2 × 2. Tuttavia, anche tutti i determinanti di ordine 2 danno 0 tranne i seguenti:

$\displaystyle \begin{aligned} \begin{vmatrix} 8&-4\\[1.1ex] 4&a \end{vmatrix} & =8a+16 \end{aligned}$

Ora impostiamo il risultato uguale a 0 e risolviamo l’equazione:

$\displaystyle 8a+16=0$

$\displaystyle 8a=-16$

$\displaystyle a=\cfrac{-16}{8} =-2$

Pertanto, quando

$\displaystyle a$

è diverso da -2, il determinante 2×2 sarà diverso da 0 e, quindi, il rango della matrice sarà 2.

$\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\[-2ex] \color{black}\phantom{33} \bm{a \neq -2 \ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \phantom{33} \\[-2ex] & \end{array} }$

Ora vediamo cosa succede quando

$\displaystyle a=-2 :$

$\displaystyle a = -2 \longrightarrow A= \begin{pmatrix} -1&-3&-2&1\\[1.1ex] 4&12&8&-4\\[1.1ex] 2&6&4&-2 \end{pmatrix}$

Come abbiamo visto in precedenza, quando

$\displaystyle a$

è -2, tutti i determinanti di ordine 2 sono 0. Non può quindi essere di rango 2. E poiché esiste almeno un determinante 1×1 diverso da 0, in questo caso il rango della matrice è 1:

$\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\[-2ex] \color{black} \phantom{33} \bm{a = -2 \ \longrightarrow \ Rg(A)=1} \phantom{33} \\[-2ex] & \end{array} }$

Abbiamo quindi trovato 2 casi in cui l’intervallo della matrice A varia con il valore che assume il parametro:

$\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\ \color{black} \phantom{33} \bm{a \neq -2 \longrightarrow \ Rg(A)=2} \phantom{33} \\[3ex] \color{black} \bm{a = -2\ \longrightarrow \ Rg(A)=1} \\ & \end{array} }$

Intervallo di un array basato su un parametro

Come calcolare l’intervallo di un array in base a un parametro. Esempio:

Risolti i problemi relativi all’intervallo della matrice basata su parametri

Esercizio 1

Esercizio 2

Esercizio 3

Esercizio 4

Lascia un commento Annulla risposta