Polinomio omogeneo

Questa pagina spiega cosa sono i polinomi omogenei. Vedrai anche esempi di polinomi omogenei e le proprietà di questo tipo di polinomio. E, inoltre, troverai la differenza tra polinomi omogenei e polinomi eterogenei.

Cos’è un polinomio omogeneo?

La definizione di polinomio omogeneo è la seguente:

In matematica un polinomio omogeneo è un polinomio in cui tutti i termini hanno lo stesso grado.

Un esempio di polinomio omogeneo sarebbe:

$P(x,y,z)=x^3+5x^2y-4xyz$

In questo caso si tratta di un polinomio omogeneo di grado 3, poiché tutti i monomi che fanno parte del polinomio sono di terzo grado.

Se hai dubbi su come si calcola il grado di un termine di un polinomio omogeneo, puoi consultare la nostra pagina su quali sono le parti di un monomio , dove troverai non solo come trovare il grado di un monomio, ma anche la spiegazione di tutte le parti di un monomio e come identificarle. Inoltre, potrai vedere esempi ed esercitarti con esercizi risolti passo dopo passo.

Esempi di polinomi omogenei

Una volta visto cosa significa per un polinomio essere omogeneo, vediamo alcuni esempi di polinomi omogenei per completare la comprensione del concetto:

Esempio di polinomio omogeneo di grado 5:

$P(x,y)=x^5+3x^2y^3-6x^4y+10xy^4$

Esempio di polinomio omogeneo di grado 7:

$P(x,y,z)=x^3y^4+2x^5y^2+4x^2y^2z^3-x^2y^4z$

Esempio di polinomio omogeneo di grado 13:

$P(a,b,c)=7a^6b^4c^3+2a^8b^3c^2+5a^4b^8c$

Polinomio omogeneo e polinomio eterogeneo

Va notato che un altro polinomio molto simile al polinomio omogeneo è il polinomio eterogeneo, sebbene vi sia una differenza fondamentale tra loro:

Un polinomio eterogeneo è un polinomio in cui tutti i termini non hanno lo stesso grado.

Pertanto, solo quando un monomio del polinomio ha grado diverso dal resto degli elementi, detto polinomio sarà eterogeneo.

Ad esempio, il seguente polinomio è eterogeneo:

$P(x,y)=x^4+2x^3y+8x^2$

Sebbene due dei termini del polinomio siano di grado 4 (x ⁴ , 2x ³ y), in realtà si tratta di un polinomio eterogeneo perché ha un altro termine di grado diverso (8x ² è di grado 2).

Come puoi vedere, i polinomi omogenei ed eterogenei sono molto simili tra loro e facilmente confusi, quindi bisogna fare attenzione.

Proprietà dei polinomi omogenei

I polinomi omogenei hanno le seguenti caratteristiche

Il numero di diversi monomi omogenei di grado M in un polinomio di N variabili può essere calcolato utilizzando la seguente formula:

$\cfrac{(M+N-1)!}{M!(N-1)!}$

Forse il “ ! ”» ti sembra strano che venga usato in algebra. Ebbene, devi sapere che viene utilizzato per indicare una particolare operazione matematica, detta fattoriale di un numero . Puoi vedere in cosa consiste questa operazione e a cosa serve nel link precedente.

L’espressione per la serie di Taylor che corrisponde ad un polinomio omogeneo esteso nel punto x è la seguente:

$P(x+y)= \sum_{j=0}^n {n \choose j} \check{P} (\underbrace{x,x,\dots ,x}_{j} & \underbrace{y,y,\dots ,y}_{n-j})$

Tuttavia, per poter applicare (e comprendere) questa proprietà, è necessario sapere come viene calcolata l’espressione

$\begin{pmatrix} n \\ j \end{pmatrix} ,$

chiamato numero combinatorio. Pertanto, se non capisci la proprietà precedente, ti consiglio di vedere qual è la formula del numero combinatorio .

Cos’è un polinomio omogeneo?

Esempi di polinomi omogenei

Polinomio omogeneo e polinomio eterogeneo

Proprietà dei polinomi omogenei

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