Matrice trasposta (o trasposizione)

In questa pagina vedremo come calcolare la matrice di trasposizione (o trasposizione) . Vedrai anche esercizi risolti in modo da non avere dubbi su come trasporre una matrice.

Come calcolare la matrice trasposta (o trasposizione)?

La matrice trasposta , detta anche matrice trasposta, è la matrice ottenuta trasformando le righe in colonne . La matrice trasposta è rappresentata ponendo una “t” in alto a destra della matrice (A ^t ).

Ad esempio , trasponiamo la seguente matrice:

$\displaystyle A= \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\[1.1ex] 4 & 5 & 0 \end{pmatrix}$

Per trasporre la matrice A, basta semplicemente sostituire le righe con le colonne . In altre parole, la prima riga della matrice diventa la prima colonna della matrice e la seconda riga della matrice diventa la seconda colonna della matrice:

$\displaystyle A^t= \begin{pmatrix} 2 & 4 \\[1.1ex] 3 & 5 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix}$

Ecco alcuni esempi pratici su come trovare la matrice trasposta:

Esempi di matrici trasposte

Esempio 1

$\displaystyle B= \begin{pmatrix} 1 & 5\\[1.1ex] 7 & 2 \end{pmatrix}$

vedi soluzione

$\displaystyle B^t= \begin{pmatrix} 1 & 7\\[1.1ex] 5 & 2 \end{pmatrix}$

Esempio 2

$\displaystyle C= \begin{pmatrix} -1 & 4 & 3 \\[1.1ex] 5 & 3 & 2 \\[1.1ex] 6 & 0 & 9 \end{pmatrix}$

vedi soluzione

$\displaystyle C^t= \begin{pmatrix} -1 & 5 & 6 \\[1.1ex] 4 & 3 & 0 \\[1.1ex] 3 & 2 & 9 \end{pmatrix}$

Esempio 3

$\displaystyle D= \begin{pmatrix} 2 & 6 & -1 \end{pmatrix}$

vedi soluzione

$\displaystyle D^t= \begin{pmatrix}2 \\[1.1ex] 6 \\[1.1ex] -1 \end{pmatrix}$

Esempio 4

$\displaystyle E= \begin{pmatrix} 9 & 0 \\[1.1ex] 2 & -1 \\[1.1ex] 5 & 3 \end{pmatrix}$

vedi soluzione

$\displaystyle E^t= \begin{pmatrix} 9 & 2 & 5 \\[1.1ex] 0 & -1 & 3 \end{pmatrix}$

Uno degli usi della trasposizione di matrice è calcolare la matrice inversa con la formula di matrice allegata o tramite determinanti . Anche se per utilizzare questo metodo è necessario anche sapere come risolvere i determinanti, nella pagina collegata troverai la spiegazione di tutta la procedura e potrai anche vedere esempi ed esercizi risolti passo dopo passo.

Proprietà della matrice trasposta

La matrice trasposta ha le seguenti caratteristiche:

Proprietà involutiva: la trasposizione di una matrice trasposta è uguale alla matrice originale.

$\left(A^t\right)^t = A$

Proprietà distributiva: sommare due matrici e poi trasporre il risultato equivale a trasporre prima ciascuna matrice e poi sommarle:

$\left(A+B\right)^t = A^t+B^t$

Proprietà lineare (prodotto di matrici): Moltiplicare due matrici e poi trasporre il risultato equivale a trasporre prima ciascuna matrice e poi moltiplicarle ma alternando il loro ordine di moltiplicazione:

$\left(A\cdot B\right)^t = B^t\cdot A^t$

Proprietà lineare (costante): trasporre il risultato del prodotto di una matrice per una costante equivale a moltiplicare la matrice già trasposta per la costante.

$\left(c\cdot A\right)^t = c\cdot A^t$

Matrice simmetrica: se la trasposta di una matrice è uguale alla matrice senza trasposizione, diciamo che è una matrice simmetrica:

$\left.\begin{pmatrix} 7 & 1 & 3 \\[1.1ex] 1 & 4 & 2 \\[1.1ex] 3 & 2 & 5 \end{pmatrix} \right.^t = \begin{pmatrix} 7 & 1 & 3 \\[1.1ex] 1 & 4 & 2 \\[1.1ex] 3 & 2 & 5 \end{pmatrix}$

Proprietà antisimmetrica: Se trasponendo una matrice matematica, otteniamo la stessa matrice ma con tutti gli elementi cambiati segno, si tratta di una matrice antisimmetrica:

$\left.\begin{pmatrix} 0 & 2 & 4 \\[1.1ex] -2 & 0 & 6 \\[1.1ex] -4 & -6 & 0 \end{pmatrix}\right.^t = \begin{pmatrix} 0 & -2 & -4 \\[1.1ex] 2 & 0 & -6 \\[1.1ex] 4 & 6 & 0 \end{pmatrix}$

Matrice di trasposizione (o trasposizione)

Come calcolare la matrice trasposta (o trasposizione)?

Esempi di matrici trasposte

Esempio 1

Esempio 2

Esempio 3

Esempio 4

Proprietà della matrice trasposta

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