Equazione vettoriale del piano

In questa pagina troverai l’equazione del vettore piano (formula) ed esempi di calcolo. Inoltre, potrai esercitarti con esercizi e problemi risolti dell’equazione vettoriale del piano.

Qual è l’equazione vettoriale di un piano?

Nella geometria analitica, l’ equazione vettoriale di un piano è un’equazione che consente di esprimere matematicamente qualsiasi piano. Per trovare l’equazione vettoriale di un piano abbiamo solo bisogno di un punto e di due vettori linearmente indipendenti appartenenti a quel piano.

Formula dell’equazione vettoriale del piano

Consideriamo un punto e due vettori di direzione di un piano:

$\begin{array}{c} P(P_x,P_y,P_z) \\[2ex] \vv{\text{u}}=(\text{u}_x,\text{u}_y,\text{u}_z)\\[2ex] \vv{\text{v}}=(\text{v}_x,\text{v}_y,\text{v}_z)\end{array}$

La formula per l’equazione vettoriale di un piano è:

$(x,y,z)=P+\lambda \vv{\text{u}} + \mu \vv{\text{v}}$

$(x,y,z)=(P_x,P_y,P_z)+\lambda (\text{u}_x,\text{u}_y,\text{u}_z) + \mu (\text{v}_x,\text{v}_y,\text{v}_z)$

Oro

$\lambda$

$\mu$

sono due scalari, cioè due numeri reali.

Pertanto, ciò significa che qualsiasi punto in un piano può essere espresso come una combinazione lineare di 1 punto e 2 vettori.

equazione vettoriale del piano xy online

Inoltre, condizione necessaria affinché l’equazione precedente corrisponda ad un piano è che i due vettori del piano abbiano indipendenza lineare, cioè i due vettori non possano essere paralleli tra loro. altro.

D’altra parte, tieni presente che oltre all’equazione vettoriale, ci sono altri modi per esprimere analiticamente un piano, come l’ equazione parametrica del piano e l’ equazione implicita del piano . Puoi controllare qual è ogni tipo di equazione nei collegamenti.

Esempio di come trovare l’equazione vettoriale di un piano

Una volta vista la spiegazione del concetto di equazione vettoriale del piano, vediamo come si calcola attraverso un esempio:

Trova l’equazione vettoriale del piano che passa per il punto
$P(2,0,4)$

e contiene i vettori

$\vv{\text{u}}=(1,3,-2)$

E

$\vv{\text{v}}=(5,0,1).$

Per determinare l’equazione vettoriale del piano, applica semplicemente la sua formula:

$(x,y,z)=P+\lambda \vv{\text{u}} + \mu \vv{\text{v}}$

E ora sostituiamo il punto e ciascun vettore nell’equazione:

$\bm{(x,y,z)=(2,0,4)+\lambda (1,3,-2) + \mu (5,0,1)}$

Come puoi vedere nell’esempio, trovare l’equazione vettoriale di un piano è relativamente semplice. Tuttavia, i problemi possono diventare un po’ complicati, quindi di seguito sono riportati diversi esercizi risolti di diversa difficoltà in modo da poter esercitarsi.

Problemi risolti dell’equazione vettoriale del piano

Esercizio 1

Determinare l’equazione vettoriale del piano che contiene il vettore

$\vv{\text{u}}=(0,-2,3)$

e passa attraverso i seguenti due punti:

$A(1,3,-1)$

$B(2,-1,5).$

vedi soluzione

Per conoscere l’equazione di un piano occorrono un punto e due vettori e in questo caso abbiamo un solo vettore, dobbiamo quindi trovare un altro vettore direttore del piano. Per fare ciò possiamo calcolare il vettore che definisce i due punti del piano:

$\vv{AB} = B - A = (2,-1,5) - (1,3,-1) = (1,-4,6)$

Ora che conosciamo già due vettori di direzione del piano e un punto, utilizziamo quindi la formula per l’equazione vettoriale del piano:

$(x,y,z)=P+\lambda \vv{\text{u}} + \mu \vv{\text{v}}$

E sostituiamo nell’equazione i due vettori e uno dei due punti del piano:

$\bm{(x,y,z)=(1,3,-1)+\lambda (0,-2,3) + \mu (1,-4,6)}$

Esercizio 2

Trova l’equazione vettoriale del piano che contiene i seguenti tre punti:

$A(2,-2,1) \qquad B(1,0,4) \qquad C(-1,3,-2)$

vedi soluzione

Per trovare l’equazione vettoriale del piano, dobbiamo trovare due vettori linearmente indipendenti che si legano nel piano. E, per questo, possiamo calcolare due vettori definiti dai 3 punti:

$\vv{AB} = B - A = (1,0,4) - (2,-2,1) = (-1,2,3)$

$\vv{AC} = C - A = (-1,3,-2) - (2,-2,1) = (-3,5,-3)$

Le coordinate dei due vettori trovati non sono proporzionali, quindi sono linearmente indipendenti tra loro.

Ora che conosciamo già due vettori di direzione e un punto del piano, applichiamo quindi la formula per l’equazione vettoriale del piano:

$(x,y,z)=P+\lambda \vv{\text{u}} + \mu \vv{\text{v}}$

E sostituiamo nell’equazione i due vettori e uno dei tre punti del piano:

$\bm{(x,y,z)=(2,-2,1)+\lambda (-1,2,3) + \mu (-3,5,-3)}$

Esercizio 3

Calcola 4 punti nello spazio che appartengono al piano definito dalla seguente equazione vettoriale:

$(x,y,z)=(0,2,1)+\lambda (2,-1,4) + \mu (-1,3,0)$

vedi soluzione

Per calcolare un punto su un piano è sufficiente assegnare un valore qualsiasi ai parametri

$\lambda$

$\mu .$

Ancora:

$\left. \begin{array}{c} \lambda =0 \\[2ex] \mu =0 \end{array} \right\} \longrightarrow \ (0,2,1)+0\cdot (2,-1,4) + 0\cdot (-1,3,0)= \bm{(0,2,1)}$

$\left. \begin{array}{c} \lambda =1 \\[2ex] \mu =0 \end{array} \right\} \longrightarrow \ (0,2,1)+1\cdot (2,-1,4) + 0\cdot (-1,3,0)= \bm{(2,1,5)}$

$\left. \begin{array}{c} \lambda =0 \\[2ex] \mu =1 \end{array} \right\} \longrightarrow \ (0,2,1)+0\cdot (2,-1,4) + 1\cdot (-1,3,0)= \bm{(-1,5,1)}$

$\left. \begin{array}{c} \lambda =1 \\[2ex] \mu =1 \end{array} \right\} \longrightarrow \ (0,2,1)+1\cdot (2,-1,4) + 1\cdot (-1,3,0)= \bm{(1,4,5)}$

Esercizio 4

Trova l’equazione vettoriale del piano che contiene la retta

$r$

ed è parallelo a destra

$s.$

essendo le linee:

$\displaystyle r: \ \begin{cases} x=4+2t \\[1.7ex] y=-1+t\\[1.7ex] z=5-4t \end{cases} \qquad \qquad s: \ \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{4}= \frac{z+1}{-3}$

vedi soluzione

Per trovare l’equazione vettoriale del piano, dobbiamo conoscere due vettori di direzione e un punto di detto piano. L’istruzione ci dice che contiene la riga

$r$

Pertanto, possiamo prendere il vettore direzione e un punto su questa linea per definire il piano. Inoltre l’affermazione ci dice che il piano è parallelo alla retta

$s,$