Equazione esplicita della retta

In questa pagina troverai tutto sull’equazione esplicita di una retta: cos’è, qual è la sua formula, esempi di calcolo, ecc. Troverai anche una spiegazione dettagliata di cosa significa pendenza e l’intercetta dell’equazione esplicita. Inoltre, vedrai diversi esempi e potrai esercitarti con esercizi risolti passo dopo passo.

Qual è l’equazione esplicita della retta?

Ricorda che la definizione matematica di linea è un insieme di punti consecutivi rappresentati nella stessa direzione senza curve o angoli.

Quindi, l’ equazione esplicita della linea è un modo per esprimere matematicamente qualsiasi linea. Per fare ciò basta conoscere la pendenza della retta e il punto in cui questa interseca l’asse Y.

Formula per l’equazione esplicita della retta

La formula per l’ equazione esplicita della retta è:

$y=mx+n$

Oro

$m$

è la pendenza della retta e

$n$

la sua intercetta y, cioè l’altezza alla quale interseca l’asse Y.

Vediamo come viene calcolata l’equazione esplicita della retta attraverso un esempio:

Scrivi l’equazione esplicita della retta passante per il punto
$P(3,1)$

e pendenza m=2.

La formula per l’equazione esplicita della retta è:

$y= mx+n$

In questo caso, l’affermazione ci dice che la pendenza della retta è m=2, quindi l’equazione della retta sarà la seguente:

$y= 2x+n$

È quindi sufficiente calcolare il coefficiente n. Per fare ciò dobbiamo sostituire nella sua equazione un punto che appartiene alla retta. E in questo caso l’enunciato ci dice che la retta passa per il punto

$P(3,1),$

Ancora:

$P(3,1)$

$y= 2x+n \ \xrightarrow{x=3 \ ; \ y=1} \ 1=2\cdot 3 +n$

E risolviamo l’equazione risultante per trovare il valore di n:

$1=2\cdot 3 +n$

$1=6 +n$

$1-6=n$

$-5 = n$

L’equazione esplicita della retta è quindi:

$\bm{y= 2x-5}$

Tieni presente che oltre all’equazione esplicita, ci sono altri modi per esprimere analiticamente una linea. Ad esempio, l’ equazione vettoriale , che è un tipo di equazione della linea diversa da tutte le altre perché il vettore direzione e un punto sulla linea sono espressi con le proprie coordinate. Nel link potete vedere di cosa si tratta e perché è così speciale.

Significato dei parametri m e n

Come abbiamo visto nella definizione dell’equazione esplicita della retta, il parametro

$m$

è la pendenza della retta e

$n$

la sua intercetta y. Ma cosa significa? Vediamolo dalla rappresentazione grafica di una linea:

Qual è l'equazione esplicita della retta y=mx+b

Il termine indipendente

$\bm{n}$

è il punto di intersezione della linea con l’asse del computer (asse OY). Nel grafico sopra

$n$

è uguale a 1 perché la linea interseca l’asse y in y=1.

D’altra parte, il termine

$\bm{m}$

indica la pendenza della retta , cioè la sua inclinazione. Come vedi nel grafico,

$m$

è uguale a 2 poiché la linea sale di 2 unità verticali per 1 unità orizzontale.

Ovviamente se la pendenza è positiva la funzione è crescente (sale), invece se la pendenza è negativa la funzione è decrescente (scende).

Calcolare la pendenza di una retta

Inoltre, ci sono 3 modi diversi per determinare numericamente la pendenza di una linea:

Dati due punti diversi sulla retta
$P_1(x_1,y_1)$

E

$P_2(x_2,y_2),$

La pendenza della retta è pari a:

$m = \cfrac{\Delta y}{\Delta x} = \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

Sì
$\vv{\text{v}}= (\text{v}_1,\text{v}_2)$

è il vettore direzione della retta, la sua pendenza è:

$m = \cfrac{\text{v}_2}{\text{v}_1}$

Sì
$\alpha$

è l’angolo formato dalla retta con l’asse delle ascisse (asse X), la pendenza della retta è equivalente alla tangente di detto angolo:

$m = \text{tg}(\alpha )$

formula per l'equazione esplicita della retta

Posizione relativa delle linee

Infine, la pendenza di una linea viene utilizzata anche per conoscere la relazione tra più linee. Poiché due rette parallele hanno la stessa pendenza e, d’altra parte, se la pendenza di una retta è l’inverso negativo della pendenza di un’altra retta, ciò significa che queste due rette sono perpendicolari .

Calcola l’equazione esplicita della retta che passa per due punti

Un problema molto tipico è trovare l’equazione esplicita di una retta dati due punti per i quali passa. Vediamo come si risolve attraverso un esempio:

Determinare l’equazione esplicita della retta che passa per i seguenti due punti:

$P_1(4,-1) \qquad P_2(2,5)$

Per trovare l’equazione esplicita della retta, devi sapere quanto valgono i parametri m e n. Quindi calcoliamo prima la pendenza della linea usando la formula dei due punti:

$m =\cfrac{\Delta y}{\Delta x}=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \cfrac{5-(-1)}{2-4} = \cfrac{6}{-2}= -3$

$y=-3x+n$

E poi possiamo trovare l’intercetta y sostituendo un punto sulla linea nell’equazione:

$P_1(4,-1)$

$y= -3x+n \ \xrightarrow{x=4 \ ; \ y=-1} \ -1=-3\cdot 4 +n$

$-1 =-12+ n$

$-1 +12= n$

$11= n$

Quindi l’equazione esplicita della retta è:

$\bm{y=-3x+11}$

Trovare l’equazione esplicita dall’equazione implicita

Infine, un altro tipo di problema che incontriamo spesso è trovare l’equazione esplicita della retta a partire dalla sua equazione implicita (chiamata anche equazione generale o cartesiana). Ovviamente, per comprendere il seguente metodo è necessario sapere esattamente qual è l’ equazione implicita e come è; ma se non lo ricordi affatto, puoi verificarlo nel link.

Quindi, se conosci già l’equazione implicita (o generale) di una linea, vediamo come funziona questa procedura:

Trova l’equazione esplicita della seguente riga:

$3x-2y+8 =0$

Tutto quello che dobbiamo fare per trovare l’equazione esplicita della retta è risolvere la variabile

$\bm{y}.$

Quindi passiamo i termini senza

$y$

dall’altra parte dell’equazione:

$-2y=-3x-8$

Ora cancelliamo la variabile

$y:$

$\displaystyle y=\frac{-3x-8}{-2}$

Ed infine semplifichiamo:

$\displaystyle y=\frac{-3x}{-2} -\cfrac{8}{-2}$

$\displaystyle y=\frac{3x}{2} -(-4)$

$\displaystyle \bm{y=}\frac{\bm{3}}{\bm{2}}\bm{x +4}$

La pendenza di questa retta è quindi

$\displaystyle \frac{3}{2}$

e la sua intercetta y è 4.

Risolti problemi di equazioni esplicite

Esercizio 1

Indica la pendenza e l’intercetta y delle seguenti rette:

$\begin{array}{lll} A) \ y= 3x-1 & \qquad & B) \ y=5x+2 \\[2ex] C) \ y=-x+3 & \qquad & D) \ 4x+2y-6=0 \end{array}$

vedi soluzione

L’equazione esplicita di una retta segue la seguente formula:

$y=mx+n$

Oro

$m$

è la pendenza e

$n$

il computer all’origine. Ancora:

$\bm{A)} \ y= 3x-1 \ \begin{cases} m = 3 \\[2ex] n=-1\end{cases}$

$\bm{B)} \ y= 5x+2 \ \begin{cases} m = 5 \\[2ex] n=2 \end{cases}$

$\bm{C)} \ y= -x+3 \ \begin{cases} m = -1 \\[2ex] n=3\end{cases}$

L’ultima riga è espressa dalla sua equazione implicita, quindi dobbiamo prima passarla a un’equazione esplicita (solve for

$y$

) allora possiamo identificare i parametri:

$\bm{D)} \ 4x+2y-6=0$

$2y =-4x+6$

$y =\cfrac{-4x+6}{2}$

$y =-2x+3$

$\begin{cases} m = -2 \\[2ex] n=3 \end{cases}$

Esercizio 2

Trova l’equazione esplicita della retta passante per il punto

$P(2,-3)$

e ha la pendenza

$m=-2.$

vedi soluzione

La formula per l’equazione esplicita della retta è:

$y= mx+n$

In questo caso la pendenza della retta deve essere -2, quindi l’equazione della retta avrà la seguente forma:

$y= -2x+n$

È quindi sufficiente calcolare il coefficiente n. Per fare ciò, devi sostituire un punto che appartiene alla linea nella sua equazione e risolvere l’equazione risultante:

$P(2,-3)$

$y= -2x+n \ \xrightarrow{x=2 \ ; \ y=-3} \ -3=-2\cdot 2 +n$

$-3=-4 +n$

$-3+4= n$

$1= n$

In breve, l’equazione esplicita della retta è:

$\bm{y= -2x+1}$

Esercizio 3

Trova l’equazione esplicita della retta che passa per i seguenti due punti:

$P_1(6,-1) \qquad P_2(3,2)$

vedi soluzione

Per trovare l’equazione esplicita della retta, devi sapere quanto valgono i parametri m e n. Calcoliamo quindi prima la pendenza della retta dalle coordinate dei due punti:

$m = \cfrac{\Delta y}{\Delta x}=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \cfrac{2-(-1)}{3-6} = \cfrac{3}{-3}= -1$

$y=-x+n$

E poi determiniamo l’intercetta sostituendo un punto sulla linea nell’equazione:

$P_1(6,-1)$

$y= -x+n \ \xrightarrow{x=6 \ ; \ y=-1} \ -1=-6 +n$

$-1 +6= n$

$5= n$

Quindi l’equazione esplicita della retta è:

$\bm{y=-x+5}$

Esercizio 4

Calcola l’equazione esplicita della retta che forma un angolo di 45º con l’asse X e passa per l’origine delle coordinate.

vedi soluzione

Se la retta forma un angolo di 45 gradi con l’asse OX, la sua pendenza sarà:

$m = \text{tg}(45º) = 1$

$y=x+n$

E una volta che conosciamo la pendenza della retta, possiamo calcolare l’intercetta y sostituendo un punto sulla retta nell’equazione. Inoltre, l’affermazione ci dice che la linea passa attraverso l’origine delle coordinate, il che significa che passa attraverso il punto (0,0). Ancora:

$P(0,0)$

$y= x+n \ \xrightarrow{x=0 \ ; \ y=0} \ 0=0 +n$

$0= n$

Quindi l’equazione esplicita della retta è:

$\bm{y=x}$

Esercizio 5

Trova l’equazione esplicita della retta parallela alla retta

$r$

e cosa succede oltre questo punto

$P(-2,4).$

essere sincero

$r:$

$r: \; y=3x+4$

vedi soluzione

In modo che la linea sia parallela alla linea

$r,$

entrambi devono avere la stessa pendenza, quindi:

$m = 3$

$y=3x+n$

E una volta che conosciamo la pendenza della linea, possiamo calcolare l’intercetta y sostituendo il punto che appartiene alla linea nell’equazione:

$P(-2,4)$

$y= 3x+n \ \xrightarrow{x=-2 \ ; \ y=4} \ 4=3\cdot (-2) +n$

$4=-6+ n$

$4+6= n$

$10= n$

Quindi l’equazione esplicita della retta è:

$\bm{y=3x+10}$

Esercizio 6

Qual è l’equazione esplicita di ciascuna linea graficata?

Equazione esplicita dell'esercizio della retta risolto passo dopo passo

vedi soluzione

blu a destra

La linea blu aumenta di una Y per ciascuno

$y =x+2$

verde giusto

La linea verde aumenta di 3 Y per ogni X, quindi la sua pendenza è 3. Inoltre, la linea interseca l’asse Y a -4, quindi la sua intercetta y è -4.

$y =3x-4$

linea rossa

La linea rossa diminuisce di due Y per ogni X, quindi la sua pendenza è -2. E la linea interseca l’asse y in y=-2, quindi anche la sua intercetta y è -2.

$y =-2x-2$

Qual è l’equazione esplicita della retta?

Formula per l’equazione esplicita della retta

Significato dei parametri m e n

Calcolare la pendenza di una retta

Posizione relativa delle linee

Calcola l’equazione esplicita della retta che passa per due punti

Trovare l’equazione esplicita dall’equazione implicita

Risolti problemi di equazioni esplicite

Esercizio 1

Esercizio 2

Esercizio 3

Esercizio 4

Esercizio 5

Esercizio 6

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