Equazione implicita o generale (o cartesiana) della retta

In questa pagina troverai come viene calcolata l’equazione implicita della retta, detta anche equazione generale o cartesiana della retta. Inoltre, potrai vedere vari esempi e potrai anche esercitarti con esercizi in linea retta risolti passo dopo passo.

Qual è l’equazione implicita, generale o cartesiana della retta?

Ricorda che la definizione matematica di linea è un insieme di punti consecutivi rappresentati nella stessa direzione senza curve o angoli.

Pertanto, l’ equazione implicita della linea , nota anche come equazione generale o cartesiana , è un modo per esprimere matematicamente qualsiasi linea. Per fare ciò, tutto ciò di cui hai bisogno è il vettore direzione della linea e un punto appartenente alla linea.

Formula per l’equazione implicita, generale o cartesiana della retta

Sì

$\vv{\text{v}}$

è il vettore direzione della linea e

$P$

un punto che appartiene a destra:

$\vv{\text{v}}= (\text{v}_1,\text{v}_2) \qquad P(P}_1,P_2)$

La formula per l’ equazione implicita, generale o cartesiana della retta è:

$Ax+By+C=0$

Oro:

$x$

E

$y$

sono le coordinate cartesiane di ogni punto della retta.
il coefficiente
$A$

è la seconda componente del vettore direzione:

$A=\text{v}_2}$
il coefficiente
$B$

è la prima componente del vettore di direzione cambiato segno:

$B=-\text{v}_1}$
il coefficiente
$C$

viene calcolato sostituendo il punto noto

$P$

nell’equazione della retta.

equazione implicita generale o cartesiana della retta nello spazio (in R3)

D’altra parte, tieni presente che oltre all’equazione implicita (o generale), ci sono altri modi per esprimere analiticamente una retta: l’equazione vettoriale, le equazioni parametriche, l’equazione continua, l’equazione esplicita e l’equazione punto-pendenza di Aline. Puoi controllare cosa è ciascuno di essi sul nostro sito web.

Esempio di calcolo dell’equazione implicita, generale o cartesiana della retta

Solo guardando la formula, può sembrare che questo tipo di equazione della retta sia un po’ difficile da trovare. Ma affinché tu possa vedere che è esattamente il contrario, vedremo come trovare l’equazione generale (o implicita) della retta attraverso un esempio:

Trova l’equazione implicita della retta che passa per il punto
$P$

e ha

$\vv{\text{v}}$

come vettore guida:

$\vv{\text{v}}= (2,3) \qquad P(5,-1)$

Come abbiamo visto nella sezione precedente, la formula per l’equazione implicita della retta è:

$Ax+By+C=0$

Dobbiamo quindi trovare i coefficienti A, B e C. Le incognite A e B si ottengono dalle coordinate del vettore direzione della retta, poiché è sempre verificata la seguente uguaglianza:

$\vv{\text{v}}= (-B,A)$

Di conseguenza, il coefficiente A è la seconda coordinata del vettore, e il coefficiente B è la prima coordinata del vettore cambiato segno:

$\left.\begin{array}{c}\vv{\text{v}}= (-B,A) \\[2ex] \vv{\text{v}}= (2,3) \end{array} \right\}\longrightarrow \begin{array}{l}A=3 \\[2ex] B=-2 \end{array}$

L’equazione implicita della retta sarà quindi la seguente:

$Ax+By+C=0 \ \xrightarrow{A=3 \ ; \ B=-2} \ 3x-2y+C=0$

Dobbiamo quindi trovare solo il coefficiente C. Per fare ciò, dobbiamo sostituire nella sua equazione il punto che sappiamo appartenere alla retta:

$P(5,-1)$

$3x-2y+C=0 \ \xrightarrow{x=5 \ ; \ y=-1} \ 3\cdot 5-2\cdot (-1)+C=0$

E ora risolviamo l’equazione risultante:

$3\cdot 5-2\cdot (-1)+C=0$

$15+2+C=0$

$17+C=0$

$C=-17$

Quindi l’equazione implicita, generale o cartesiana della retta è:

$\bm{3x-2y-17=0}$

Trova l’equazione implicita (generale o cartesiana) dall’equazione continua

Abbiamo appena visto un modo per trovare l’equazione generale di una retta. Tuttavia, esiste un altro metodo che deriva dalla sua equazione continua. Vediamo come si fa con un esempio:

Calcola l’equazione generale (o implicita) della seguente retta definita dalla sua equazione continua:

$\cfrac{x-1}{-2}=\cfrac{y+4}{6}$

Innanzitutto, incrociamo le frazioni moltiplicative:

$(x-1)\cdot 6 = (y+4) \cdot (-2)$

In secondo luogo, risolviamo le parentesi utilizzando la proprietà distributiva:

$6x-6=-2y-8$

Successivamente, spostiamo tutti i termini sul lato sinistro dell’equazione:

$6x-6+2y+8=0$

E, infine, raggruppiamo i termini e otteniamo così l’equazione generale della retta:

$\bm{6x+2y+2=0}$

Problemi risolti dell’equazione implicita o generale (o cartesiana).

Esercizio 1

Scrivi l’equazione generale della retta che passa per il punto

$P$

e ha

$\vv{\text{v}}$

come vettore guida:

$\vv{\text{v}}= (-1,2) \qquad P(4,0)$

vedi soluzione

La formula per l’equazione generale della retta è:

$Ax+By+C=0$

Dobbiamo quindi trovare A, B e C. Le variabili A e B si ottengono dalle coordinate del vettore direzione della retta, poiché è sempre verificata la seguente uguaglianza:

$\vv{\text{v}}= (-B,A)$

Di conseguenza, il coefficiente A è la seconda coordinata del vettore, e il coefficiente B è la prima coordinata del vettore cambiato segno:

$\left.\begin{array}{c}\vv{\text{v}}= (-B,A) \\[2ex] \vv{\text{v}}= (-1,2) \end{array} \right\}\longrightarrow \begin{array}{l}A=2 \\[2ex] B=1 \end{array}$

L’equazione implicita della retta sarà quindi la seguente:

$Ax+By+C=0 \ \xrightarrow{A=2 \ ; \ B=1} \ 2x+y+C=0$

Dobbiamo quindi trovare solo il coefficiente C. Per fare ciò, dobbiamo sostituire il punto che sappiamo appartenere alla retta nell’equazione della retta e risolvere l’equazione risultante:

$P(4,0)$

$2x+y+C=0 \ \xrightarrow{x=4 \ ; \ y=0} \ 2\cdot 4+0+C=0$

$8+C=0$

$C=-8$

In breve l’equazione implicita, generale o cartesiana della retta è:

$\bm{2x+y-8=0}$

Esercizio 2

Calcolare l’equazione cartesiana della seguente riga:

$\cfrac{x+3}{4}=\cfrac{y-2}{5}$

vedi soluzione

L’equazione è espressa come un’equazione continua, quindi per trovare la sua equazione implicita dobbiamo incrociare le frazioni e mettere tutti i termini in un lato dell’equazione:

$\cfrac{x+3}{4}=\cfrac{y-2}{5}$

$(x+3)\cdot 5 = (y-2) \cdot 4$

$5x+15=4y-8$

$5x+15-4y+8=0$

$\bm{5x-4y+23=0}$

Esercizio 3

Determina un punto sulla retta seguente e il suo vettore direzione. La retta è espressa dalla sua equazione generale:

$-x-3y+6= 0$

vedi soluzione

Le componenti del vettore direzione della retta si ottengono dai coefficienti A e B dell’equazione generale della retta: la prima componente del vettore corrisponde al coefficiente B cambiato segno e la seconda componente del vettore è pari al coefficiente A. COSÌ:

$\vv{\text{v}}= (-B,A)$

$\vv{\mathbf{v}}=\bm{(3,-1)}$

D’altra parte, per calcolare un punto sulla linea, è necessario assegnare un valore a una variabile. Ad esempio, lo facciamo

$x=0$

e risolviamo l’equazione risultante:

$-x-3y+6= 0 \ \xrightarrow{x \ = \ 0} \ -0 -3y+6=0$

$-3y +6 =0$

$-3y =-6$

$y =\cfrac{-6}{-3}$

$y =2$

Quindi il punto della linea è:

$\bm{P(0,2)}$

Potresti aver ottenuto un punto diverso perché dipende dal valore che dai alla variabile X (o alla variabile Y), ma se hai seguito la stessa procedura è anche corretto. Il vettore direzione della linea, invece, deve essere identico a quello calcolato.

Esercizio 4

Trova l’equazione implicita della retta che passa per i seguenti due punti:

$A(4,-1) \qquad B(-2,3)$

vedi soluzione

In questo caso non conosciamo il vettore direzione della retta, quindi dobbiamo prima trovare il suo vettore direzione e poi l’equazione della retta.

Per trovare il vettore direzione della linea, calcola semplicemente il vettore definito dai due punti dati:

$\vv{AB}=B-A= (-2,3)- (4,-1) = (-6,4)$

E una volta che conosciamo il vettore direzione della linea, possiamo determinare la sua equazione implicita (o generale o cartesiana) dalla sua formula:

$Ax+By+C=0$

Le incognite A e B si ottengono dalle coordinate del vettore direzione della linea, poiché il coefficiente A è la seconda coordinata del vettore, e il coefficiente B è la prima coordinata del vettore cambiato segno:

$\left.\begin{array}{c}\vv{\text{v}}= (-B,A) \\[2ex] \vv{\text{v}}= (-6,4) \end{array} \right\}\longrightarrow \begin{array}{l}A=4 \\[2ex] B=6 \end{array}$

L’equazione implicita della retta sarà quindi la seguente:

$Ax+By+C=0 \ \xrightarrow{A=4 \ ; \ B=6} \ 4x+6y+C=0$

Basta quindi trovare il coefficiente C. Per fare ciò dobbiamo sostituire nell’equazione della retta un punto che sappiamo appartenere alla retta e risolvere l’equazione risultante:

$A(4,-1)$

$4x+6y+C=0\ \xrightarrow{x=4 \ ; \ y=-1} \ 4\cdot 4+6\cdot (-1)+C=0$

$16-6+C=0$

$10+C=0$

$C=-10$

Infine l’equazione implicita, generale o cartesiana della retta è:

$\bm{4x+6y-10=0}$

Esercizio 5

Trova l’equazione implicita della retta perpendicolare alla retta

$r$

e cosa succede oltre questo punto

$P(2,2).$

$r: \; 3x-2y+4=0$

vedi soluzione

Due linee perpendicolari hanno vettori di direzione ortogonali tra loro, quindi dobbiamo trovare il vettore di direzione della linea

$r$

quindi un vettore ad esso perpendicolare.

Le componenti del vettore direzione della retta

$r$

Si ottengono dai coefficienti A e B dell’equazione generale della retta: la prima componente del vettore corrisponde al coefficiente B cambiato segno e la seconda componente del vettore è pari al coefficiente A.

$r: \; 3x-2y+4=0$

$\vv{\text{v}}= (-B,A)$

$\vv{\text{v}}_r=(2,3)$

Ora dobbiamo trovare un vettore perpendicolare. Per fare ciò è sufficiente inserire le coordinate del vettore e cambiare il segno di uno di essi:

$\vv{\text{v}}_\perp=(-3,2)$

Questo sarà quindi il vettore direzione della retta perpendicolare a

$r.$

E una volta che conosciamo il vettore direzione della linea, possiamo determinare la sua equazione implicita (o generale o cartesiana) dalla sua formula:

$Ax+By+C=0$

$\left.\begin{array}{c}\vv{\text{v}}= (-B,A) \\[2ex] \vv{\text{v}}_\perp= (-3,2) \end{array} \right\}\longrightarrow \begin{array}{l}A=2 \\[2ex] B=3 \end{array}$

L’equazione implicita della retta sarà quindi la seguente:

$Ax+By+C=0 \ \xrightarrow{A=2 \ ; \ B=3} \ 2x+3y+C=0$

Basta quindi trovare il coefficiente C. Per fare ciò dobbiamo sostituire nell’equazione della retta un punto che sappiamo appartenere alla retta e risolvere l’equazione risultante:

$P(2,2)$

$2x+3y+C=0\ \xrightarrow{x=2 \ ; \ y=2} \ 2\cdot 2+3\cdot 2+C=0$

$4+6+C=0$

$10+C=0$

$C=-10$

Quindi l’equazione implicita, generale o cartesiana della retta è:

$\bm{2x+3y-10=0}$

Qual è l’equazione implicita, generale o cartesiana della retta?

Formula per l’equazione implicita, generale o cartesiana della retta

Esempio di calcolo dell’equazione implicita, generale o cartesiana della retta

Trova l’equazione implicita (generale o cartesiana) dall’equazione continua

Problemi risolti dell’equazione implicita o generale (o cartesiana).

Esercizio 1

Esercizio 2

Esercizio 3

Esercizio 4

Esercizio 5

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