In questa pagina scoprirai come dividere i polinomi, sia la divisione di un polinomio per un monomio che la divisione di un polinomio per un altro polinomio. Potrai anche vedere esempi di divisione di polinomi ed esercitarti con esercizi risolti passo dopo passo. Inoltre troverai le proprietà di questa operazione polinomiale.
Divisione polinomiale (o polinomiale).
Prima di vedere esattamente come si dividono due polinomi, ripasseremo brevemente i concetti di divisione polinomiale, in modo che sia poi più semplice comprendere il metodo che utilizzeremo.
In una divisione polinomiale sono coinvolti quattro polinomi:
- Dividendo : il polinomio diviso.
- Divisore : il polinomio che divide il dividendo.
- Quoziente : risultato della divisione del dividendo per il divisore.
- Resto (o residuo): il polinomio che rimane durante la divisione tra i due polinomi.
D’altra parte, dovresti anche sapere che esistono due tipi di divisione tra i polinomi:
- Divisione esatta di polinomi : una divisione tra polinomi è esatta quando il resto è zero. In questo caso il dividendo polinomiale è uguale al divisore moltiplicato per il quoziente.
Inoltre, in questo caso, il dividendo
è un multiplo del divisore
e il quoziente
Allo stesso modo, il divisore polinomiale e il quoziente polinomiale sono entrambi divisori del dividendo.
- Divisione intera di polinomi : in una divisione intera (o inesatta) di polinomi il resto è diverso da zero (0). Allora è soddisfatta la proprietà fondamentale della divisione polinomiale:
Ora che abbiamo visto cos’è la divisione dei polinomi, vediamo come dividerli tra loro. Più precisamente spiegheremo prima la divisione tra un polinomio e un monomio poi la divisione tra 2 polinomi.
Divisione di un polinomio per un monomio
Prima di vedere come dividere un polinomio per un monomio, ricordiamo innanzitutto come si dividono tra loro i monomi, poiché è necessario conoscerlo per poter fare questo tipo di operazione polinomiale.
Dividere due monomi significa dividere tra loro i coefficienti e tra loro le parti letterali, cioè si dividono i coefficienti dei monomi e si sottraggono gli esponenti delle variabili che hanno la stessa base. Guarda il seguente esempio:
Vediamo ora cosa comporta la divisione di un polinomio per un monomio:
In matematica, per risolvere la divisione di un polinomio per un monomio, ogni termine del polinomio viene diviso per il monomio.
Nota nell’esempio di divisione precedente che quando dividi monomi o polinomi devi tenere conto anche della regola dei segni. Infatti un errore molto comune nelle divisioni tra polinomi e monomi è quello di sbagliare il segno di un termine.
Divisione di un polinomio per un altro polinomio
Per dividere due polinomi è necessario seguire una procedura, vediamo quindi come si presenta il metodo di divisione dei polinomi, detto anche divisione lunga dei polinomi, risolvendo passo passo un esempio:
- Calcolare il risultato della divisione del polinomio
tra il polinomio
Essendo i due polinomi:
La prima cosa da fare è mettere i polinomi sotto forma di divisione. A sinistra scriviamo il numeratore della frazione (polinomio dividendo) e a destra mettiamo il denominatore della frazione (polinomio divisore):
Attenzione: se un polinomio non ha un monomio di un certo grado, dobbiamo lasciare uno spazio al suo posto. Ad esempio, il polinomio
Non esiste un semestre per il primo anno, quindi c’è uno spazio vuoto.
Una volta che abbiamo i polinomi, troveremo il quoziente. E per trovare il primo termine del quoziente dobbiamo dividere il primo termine del dividendo per il primo termine del divisore:
E al posto del quoziente mettiamo il risultato della divisione:
Ora moltiplichiamo il termine trovato per ciascun elemento del divisore, e mettiamo ciascun risultato sotto il dividendo nella colonna corrispondente , cambiandone il segno :
Come in tutte le operazioni con i polinomi, è importante ordinare i polinomi dal grado più alto a quello più basso in modo che tutti i termini dello stesso grado siano nella stessa colonna.
Una volta posizionati i risultati della moltiplicazione con il segno opposto, dobbiamo sommare i termini allineati verticalmente:
Si noti che eseguendo questa somma, il coefficiente con il grado più alto si annulla e, quindi, abbiamo un termine in meno nel dividendo.
Ora dobbiamo ripetere la stessa procedura finché il dividendo del polinomio non sarà di un grado inferiore al divisore del polinomio.
Dividiamo quindi il primo termine del dividendo per il primo termine del divisore:
Poniamo il risultato nel quoziente:
Come prima, moltiplichiamo il nuovo termine del quoziente per ciascun elemento del divisore e mettiamo i risultati di segno opposto nelle corrispondenti colonne del dividendo:
E aggiungiamo verticalmente:
Il polinomio del dividendo non è ancora di un grado inferiore al polinomio del divisore, quindi dobbiamo continuare a fare lo stesso processo.
Quindi prima dividiamo il primo termine del dividendo per il primo termine del divisore, poi moltiplichiamo il risultato per ciascun termine del divisore, poi mettiamo il risultato modificato con segno nel dividendo e, infine, aggiungiamo verticalmente:
Quindi abbiamo già ottenuto che il polinomio del dividendo è di grado inferiore al grado del divisore, perché il dividendo è di grado 0 e il divisore è di grado 1. Pertanto la divisione è completa.
Il risultato della divisione è quindi:
Possiamo invece verificare di aver eseguito correttamente la divisione dei polinomi in base alla condizione fondamentale per la divisione dei polinomi:
✅
L’equazione è soddisfatta, quindi la divisione polinomiale è stata eseguita correttamente.
Affinché abbiamo finito di dividere i polinomi, speriamo di essere stati in grado di aiutarti con questa spiegazione. Cosa ne pensi del metodo di divisione dei polinomi? Hai un dubbio? Ti piace? O preferiresti che le divisioni polinomiali non esistessero? 😂 Vi leggiamo nei commenti! 👇👇👇
Proprietà dei polinomi di divisione
Qualsiasi divisione di polinomi soddisfa le seguenti caratteristiche:
✓ Il grado del dividendo polinomiale deve essere sempre maggiore del grado del divisore polinomiale.
✓ Il grado del dividendo polinomiale è equivalente alla somma dei gradi del divisore e del quoziente.
✓ Il grado del resto è sempre inferiore al grado del divisore (e quindi anche del dividendo).
✓ Il dividendo è uguale al prodotto del divisore per il quoziente più il resto. Questa condizione è posta anche nella divisione dei numeri.
Esercizi risolti sulla divisione dei polinomi
Esercizio 1
Determina il risultato della seguente divisione di un polinomio per un monomio:
Per dividere un polinomio per un monomio devi risolvere la divisione di ciascun termine del polinomio per detto monomio:
![\begin{aligned} \left(15x^5+9x^3 \right) : \left(3x^2\right) & = \cfrac{15x^{5}}{3x^2}+ \cfrac{9x^3}{3x^2} \\[2ex] & = \bm{5x^3+3x} \end{aligned}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ffa558b26adc36e2ac45a842a6cf33df_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Ricorda che nella divisione tra monomi i coefficienti si dividono tra loro e si sottraggono gli esponenti delle potenze aventi la stessa base.
Esercizio 2
Calcolare la seguente divisione di un polinomio per un monomio:
Per dividere un polinomio per un monomio bisogna dividere ogni termine del polinomio per detto monomio:
![\begin{aligned} \left( 16x^5-4x^3-20x^2 \right) : \left(4x^2\right) & = \cfrac{16x^5}{4x^2}+ \cfrac{-4x^3}{4x^2} + \cfrac{-20x^2}{4x^2} \\[2ex] & = \bm{4x^3-x-5} \end{aligned}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-868da1546d3e4d33e8226774020cbb2d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Ricordiamo che nella divisione monomiale i coefficienti si dividono tra loro e si sottraggono gli esponenti delle potenze con base equivalente.
Esercizio 3
Risolvi la seguente divisione di un polinomio per un monomio:
Per dividere un polinomio per un monomio devi risolvere la divisione di ciascun termine del polinomio per detto monomio:
![\begin{aligned} \left(12x^{10}-30x^7-18x^6+54x^4 \right) : \left(-6x^3\right) & = \cfrac{12x^{10}}{-6x^3}+ \cfrac{-30x^{7}}{-6x^3} + \cfrac{-18x^6}{-6x^3} + \cfrac{54x^4}{-6x^3} \\[2ex] & = \bm{-2x^7+5x^4+3x^3-9x} \end{aligned}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a8d5fe46b397f2f531a865e7cb0df3cf_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Tieni presente che il monomio divisore è negativo e quindi i segni di tutte le divisioni cambiano.
Esercizio 4
Esegui la seguente divisione dei polinomi:
Per dividere i polinomi è necessario applicare il metodo spiegato sopra:
Il risultato della divisione tra i due polinomi è quindi:
Quoziente:
Riposo:
Esercizio 5
Calcolare la seguente divisione dei polinomi:
Per risolvere la divisione del polinomio per il binomio dobbiamo applicare il metodo che abbiamo visto sopra:
Il risultato della divisione polinomiale è quindi:
Quoziente:
Riposo:
Esercizio 6
Risolvi la seguente divisione di polinomi:
Per calcolare la divisione dei polinomi dobbiamo applicare il metodo spiegato:
Il risultato della divisione tra i due polinomi è quindi:
Quoziente:
Riposo:
Esercizio 7
Trova il risultato della seguente divisione tra 2 polinomi:
Per calcolare la divisione del polinomio per il trinomio bisogna applicare il metodo spiegato:
Il risultato della divisione tra i due polinomi è quindi:
Quoziente:
Riposo:
👉👉👉Se sei arrivato fin qui, significa che sai già come sono divisi i polinomi. Luminoso! Ora che hai imparato la divisione dei polinomi, sappi che esiste un metodo che ti permette di risolvere alcune divisioni tra polinomi molto più rapidamente . Questa è una divisione sintetica o regola di Ruffini , puoi vedere come si applica questo trucco e quando può essere utilizzato cliccando il link.😉
