Discussione dei sistemi di equazioni utilizzando il metodo gaussiano -

In questa sezione vedremo come discutere e risolvere un sistema di equazioni con il metodo di Gauss-Jordan . Cioè, determinare se si tratta di un sistema compatibile determinato (DCS), un sistema compatibile indeterminato (ICS) o un sistema incompatibile. Inoltre, troverai esempi ed esercizi risolti per poter praticare e assimilare perfettamente i concetti.

Per capire cosa spiegheremo dopo, è importante che tu sappia già come risolvere un sistema utilizzando il metodo di Gauss , quindi ti consigliamo di dare un’occhiata prima di continuare.

Sistemi compatibili determinati con il metodo di Gauss

Finché lo è l’ultima riga della matrice gaussiana

$\bm{(0 \ 0 \ n \ | \ m)}$

, Essere

$n$

$m$

due numeri qualsiasi, questo è un SCD (System compatibile determinato). Pertanto, il sistema ha una soluzione unica .

La stragrande maggioranza dei sistemi sono SCD.

Esempio:

Ad esempio, abbiamo questo sistema:

$\left. \begin{array}{r} 3x+2y-z=1 \\[2ex] 3x+8y+z=1\\[2ex] 6x+4y-z=-1 \end{array} \right\}$

La cui matrice espansa è:

$\left. \begin{array}{r} 3x+2y-z=1 \\[2ex] 3x+8y+z=1\\[2ex] 6x+4y-z=-1 \end{array} \right\}} \ \longrightarrow \ \left( \begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & -1 & 1 \\[2ex] 3 & 8 & 1 & 1 \\[2ex] 6 & 4 & -1 & -1 \end{array} \right)$

Per risolvere il sistema dobbiamo operare sulle righe della matrice e convertire a 0 tutti gli elementi sotto la diagonale principale. Quindi dalla seconda riga sottraiamo la prima riga e dalla terza riga sottraiamo la prima riga moltiplicata per 2:

$\left( \begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & -1 & 1 \\[2ex] 3 & 8 & 1 & 1 \\[2ex] 6 & 4 & -1 & -1 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \xrightarrow{f_2 -f_1} \\[2ex] \xrightarrow{f_3 -2f_1} & \end{array} \left( \begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & -1 & 1 \\[2ex] 0 & 6 & 2 & 0 \\[2ex] 0 & 0 & 1 & -3 \end{array} \right)$

Una volta che tutti i numeri sotto la diagonale principale sono 0, torniamo a trasformare il sistema in forma di equazione:

$\left( \begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & -1 & 1 \\[2ex] 0 & 6 & 2 & 0 \\[2ex] 0 & 0 & 1 & -3 \end{array} \right) \ \longrightarrow \ \left. \begin{array}{r} 3x+2y-z=1 \\[2ex] 6y+2z=0\\[2ex] 1z=-3 \end{array} \right\}$

Quindi questo sistema è SCD , poiché la matrice è spostata e l’ultima riga è del tipo

$(0 \ 0 \ n \ | \ m)$

. Pertanto lo risolviamo come sempre: eliminando le incognite dalle equazioni dal basso verso l’alto.

$1z=-3$

$z = \cfrac{-3}{1}$

$\bm{z=-3}$

Ora che conosciamo z, inseriamo il suo valore nella seconda equazione per trovare il valore di

$y$

$6y+2z=0\ \xrightarrow{z \ = \ -3} \ 6y+2(-3)=0$

$6y-6=0$

$6y=6$

$y=\cfrac{6}{6}$

$\bm{y=1}$

E infine facciamo lo stesso con la prima equazione: sostituiamo i valori delle altre incognite e risolviamo

$x$

$3x+2y-z=1 \ \xrightarrow{y \ = \ 1 \ ; \ z \ = \ -3} \ 3x+2(1)-(-3)=1$

$3x+2+3=1$

$3x=1-2-3$

$3x=-4$

$x=\cfrac{-4}{3}$

$\bm{x= -}\cfrac{\bm{4}}{\bm{3}}$

La soluzione del sistema di equazioni è quindi:

$\bm{x= -}\cfrac{\bm{4}}{\bm{3}} \qquad \bm{y=1} \qquad \bm{z=-3}$

Sistemi incompatibili secondo il metodo di Gauss

Quando nella matrice di Gauss abbiamo una riga con tre 0 di seguito e un numero

$\bm{(0 \ 0 \ 0 \ | \ n)}$

, è un IS (Sistema Incompatibile) e, pertanto, il sistema non ha soluzione .

Esempio:

Ad esempio, immagina che dopo aver operato con la matrice gaussiana di un sistema, ci ritroviamo:

$\left( \begin{array}{ccc|c} 4 & 1 & -1 & 0 \\[2ex] 0 & 3 & 1 & -1 \\[2ex] 0 & 0 & 0 & 2 \end{array} \right)$

Come l’ultima riga

$(0 \ 0 \ 0 \ | \ 2)$

, cioè tre 0 seguiti da un numero finale, è un IF (Sistema Incompatibile) e quindi il sistema non ha soluzione .

Sebbene non sia necessario saperlo, di seguito vedrai perché non ha una soluzione.

Se prendiamo l’ultima riga, avremmo questa equazione:

$(0 \ 0 \ 0 \ | \ 2) \ \longrightarrow \ 0z = 2$

Questa equazione non sarà mai soddisfatta, perché qualunque valore assuma z , moltiplicandolo per 0 non darà mai 2 (qualsiasi numero moltiplicato per 0 dà sempre 0). E poiché questa equazione non sarà mai soddisfatta, il sistema non ha soluzione.

Sistemi compatibili indeterminati dal metodo gaussiano

Ogni volta che una riga della matrice gaussiana è riempita con 0

$\bm{(0 \ 0 \ 0 \ | \ 0)}$

, è un SCI (Sistema Compatibile Indeterminato), e, quindi, il sistema ha infinite soluzioni .

Vediamo un esempio di come risolvere un ICS:

Esempio:

$\left. \begin{array}{r} x+y+2z=6 \\[2ex] 2x+3y-1z=-2 \\[2ex] 3x+4y+z=4 \end{array} \right\}$

Come sempre, realizziamo prima la matrice espansa del sistema :

$\left. \begin{array}{r} x+y+2z=6 \\[2ex] 2x+3y-1z=-2 \\[2ex] 3x+4y+z=4 \end{array} \right\} \ \longrightarrow \ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 6 \\[2ex] 2 & 3 & -1 & -2 \\[2ex] 3 & 4 & 1 & 4 \end{array} \right)$

Ora vogliamo che tutti i numeri sotto la diagonale principale siano 0. Quindi, alla seconda riga aggiungiamo la prima riga moltiplicata per -2:

$\begin{array}{lrrr|r} &2 & 3 & -1 & -2 \\ + & -2 & -2 & -4 & -12 \\ \hline & 0 & 1 & -5 & -14 \end{array} \begin{array}{l} \color{blue}\bm{\leftarrow f_2} \\ \color{blue}\bm{\leftarrow -2f_1} \\ \phantom{hline} \\ \end{array}$

$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 6 \\[2ex] 2 & 3 & -1 & -2 \\[2ex] 3 & 4 & 1 & 4\end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \xrightarrow{f_2 -2f_1} \\[2ex] & \end{array} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 6 \\[2ex] 0 & 1 & -5 & -14 \\[2ex] 3 & 4 & 1 & 4 \end{array} \right)$

Per convertire 3 in 0, nella terza riga aggiungiamo la prima riga moltiplicata per -3:

$\begin{array}{lrrr|r} & 3 & 4 & 1 & 4 \\ + & -3 & -3 & -6 & -18 \\ \hline & 0 & 1 & -5 & -14 \end{array} \begin{array}{l} \color{blue}\bm{\leftarrow f_3} \\ \color{blue}\bm{\leftarrow -3f_1} \\ \phantom{hline} \\ \end{array}$

$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 6 \\[2ex] 0 & 1 & -5 & -14 \\[2ex] 3 & 4 & 1 & 4 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \\[2ex] \xrightarrow{f_3 -3f_1} & \end{array} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 6 \\[2ex] 0 & 1 & -5 & -14 \\[2ex] 0 & 1 & -5 & -14 \end{array} \right)$

Per convertire l’1 nell’ultima riga in 0, nella terza riga aggiungiamo la seconda riga moltiplicata per -1:

$\begin{array}{lrrr|r} & 0 & 1 & -5 & -14 \\ + & 0 & -1 & 5 & 14 \\ \hline & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \begin{array}{l} \color{blue}\bm{\leftarrow f_3} \\ \color{blue}\bm{\leftarrow -1f_2} \\ \phantom{hline} \\ \end{array}$

$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 6 \\[2ex] 0 & 1 & -5 & -14 \\[2ex] 0 & 1 & -5 & -14 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \\[2ex] \xrightarrow{f_3 -1f_2} & \end{array} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 6 \\[2ex] 0 & 1 & -5 & -14 \\[2ex] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)$

Poiché l’ultima riga è tutta 0 , possiamo rimuoverla:

$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 6 \\[2ex] 0 & 1 & -5 & -14 \\[2ex] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \ \longrightarrow \ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 6 \\[2ex] 0 & 1 & -5 & -14 \end{array} \right)$

E poiché abbiamo un’intera riga piena di 0, questo è uno SCI.

Ci ritroviamo quindi con il seguente sistema:

$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 6 \\[2ex] 0 & 1 & -5 & -14 \end{array} \right) \ \longrightarrow \ \left. \begin{array}{r} x+y+2z=6 \\[2ex] y-5z=-14 \end{array} \right\}$

Quando il sistema è uno SCI è necessario prendere il valore del parametro da un’incognita

$\lambda$

. E dobbiamo risolvere il sistema in base a questo parametro

$\bm{\lambda}$

Pertanto assegniamo il valore di

$\lambda$

alla z :

$z = \lambda$

Anche se avremmo potuto scegliere anche qualsiasi altra incognita di cui apprezzare il valore

$\lambda$

Ora isoliamo y dalla seconda equazione e lasciamo che sia una funzione di

$\lambda$

$y-5z=-14 \ \xrightarrow{z \ = \ \lambda} \ y-5(\lambda )= -14$

$y-5\lambda=-14$

$y =-14+ 5\lambda$

E infine eliminiamo x dalla prima equazione e la lasciamo anche in funzione di

$\lambda$

$x+y+2z=6 \ \xrightarrow{ y \ = \ -14 + 5\lambda \ ; \ z \ = \ \lambda } \ x+ (-14+ 5\lambda )+2(\lambda ) = 6$

$x-14 +5\lambda +2\lambda = 6$

$x=14- 5\lambda -2\lambda + 6$

$x=20- 7\lambda$

Le soluzioni del sistema sono quindi:

$\bm{z = \lambda} \qquad \bm{y =-14+ 5\lambda } \qquad \bm{x=20 - 7\lambda}$

Come puoi vedere, quando il sistema è SCI lasciamo le soluzioni a seconda del parametro

$\lambda$

. E ricorda che ha infinite soluzioni, perché a seconda del valore che assume

$\lambda$

, la soluzione sarà l’una o l’altra.

Prima di passare agli esercizi risolti, devi sapere che sebbene in questo articolo utilizziamo il metodo di Gauss, un altro modo per discutere e risolvere sistemi di equazioni lineari è il teorema di Rouche . In effetti, probabilmente è più usato.

Esercizi risolti per la discussione di sistemi di equazioni utilizzando il metodo Gauss-Jordan

Esercizio 1

Determina quale tipo di sistema è coinvolto e risolvi il seguente sistema di equazioni utilizzando il metodo di Gauss:

$\left. \begin{array}{r} x+y+2z=6 \\[2ex] 2x+3y+5z=8 \\[2ex] 3x+3y+6z=9 \end{array} \right\}$

vedi soluzione

La prima cosa che dobbiamo fare è la matrice estesa del sistema:

$\left. \begin{array}{r} x+y+2z=6 \\[2ex] 2x+3y+5z=8 \\[2ex] 3x+3y+6z=9 \end{array} \right\} \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 6 \\[2ex] 2 & 3 & 5 & 8 \\[2ex] 3 & 3 & 6 & 9 \end{array} \right)$

Ora dobbiamo rendere 0 tutti i numeri sotto l’array principale.

Eseguiamo quindi operazioni sulle righe per cancellare gli ultimi due termini della prima colonna:

$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 6 \\[2ex] 2 & 3 & 5 & 8 \\[2ex]3 & 3 & 6 & 9 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \xrightarrow{f_2 - 2f_1} \\[2ex] \xrightarrow{f_3 - 3f_1}& \end{array} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 6 \\[2ex] 0 & 1 & 1 & -4 \\[2ex] 0 & 0 & 0 & -9 \end{array} \right)$

Abbiamo ottenuto una riga della matrice composta da tre 0 seguiti da un numero. Si tratta quindi di un IS (Sistema Incompatibile) e il sistema non ha soluzione.

Esercizio 2

Determina di che tipo di sistema si tratta e trova la soluzione del seguente sistema di equazioni utilizzando il metodo di Gauss:

$\left. \begin{array}{r} x-2y+3z=1 \\[2ex] -2x+5y-z=5 \\[2ex] -x+3y+2z=6 \end{array} \right\}$

vedi soluzione

La prima cosa che dobbiamo fare è la matrice estesa del sistema:

$\left. \begin{array}{r} x-2y+3z=1 \\[2ex] -2x+5y-z=5 \\[2ex] -x+3y+2z=6 \end{array} \right\} \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 3 & 1 \\[2ex] -2 & 5 & -1 & 5 \\[2ex] -1 & 3 & 2 & 6 \end{array} \right)$

Ora dobbiamo rendere 0 tutti i numeri sotto l’array principale.

Eseguiamo quindi operazioni sulle righe per cancellare gli ultimi due termini della prima colonna:

$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 3 & 1 \\[2ex] -2 & 5 & -1 & 5 \\[2ex] -1 & 3 & 2 & 6 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \xrightarrow{f_2 + 2f_1} \\[2ex] \xrightarrow{f_3 + f_1} \end{array} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 3 & 1 \\[2ex] 0 & 1 & 5 & 7 \\[2ex] 0 & 1 & 5 & 7 \end{array} \right)$

Ora proviamo a rimuovere l’ultimo elemento dalla seconda colonna:

$\left( \begin{array}{ccc|c}1 & -2 & 3 & 1 \\[2ex] 0 & 1 & 5 & 7 \\[2ex] 0 & 1 & 5 & 7 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \\[2ex] \xrightarrow{f_3 -f_2} \end{array} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 3 & 1 \\[2ex] 0 & 1 & 5 & 7 \\[2ex] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)$

Ma otteniamo un’intera riga di 0. Quindi questo è uno SCI e il sistema ha infinite soluzioni.

Ma poiché si tratta di un ICS, possiamo risolvere il sistema in base a

$\lambda$

. Eliminiamo quindi la riga 0:

$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 3 & 1 \\[2ex] 0 & 1 & 5 & 7 \\[2ex] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \ \longrightarrow \ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 3 & 1 \\[2ex] 0 & 1 & 5 & 7 \end{array} \right)$

Esprimiamo ora la matrice sotto forma di un sistema di equazioni in incognite:

$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 3 & 1 \\[2ex] 0 & 1 & 5 & 7 \end{array} \right) \ \longrightarrow \ \left. \begin{array}{r} 1x-2y+3z=1 \\[2ex] 1y+5z=7 \end{array} \right\}$

Diamo il valore di

$\lambda$

Per

$z :$

$\bm{z = \lambda}$

Sostituiamo il valore di

$z$

nella seconda equazione per trovare il valore di

$y :$

$1y+5z=7 \ \xrightarrow{z \ = \ \lambda} \ 1y+5(\lambda )=7$

$y+5\lambda =7$

$\bm{y=7-5\lambda}$

E facciamo lo stesso con la prima equazione: sostituiamo i valori delle altre incognite e cancelliamo

$x :$

$1x-2y+3z=1 \ \xrightarrow{y \ = \ 7-5\lambda \ ; \ z \ = \ \lambda} \ 1x-2(7-5\lambda )+3(\lambda )=1$

$x-14+10\lambda+3\lambda=1$

$x=1+14-10\lambda-3\lambda$

$\bm{x=15-13\lambda}$

La soluzione del sistema di equazioni è quindi:

$\bm{x=15-13\lambda} \qquad \bm{y=7-5\lambda} \qquad \bm{z = \lambda}$

Esercizio 3

Trova di che tipo di sistema si tratta e risolvi il seguente sistema di equazioni con il metodo di Gauss:

$\left. \begin{array}{r} 4x-4y+z=-4 \\[2ex] x+3y+z=2 \\[2ex] x+5y+2z=6 \end{array} \right\}$

vedi soluzione

La prima cosa che dobbiamo fare è la matrice estesa del sistema:

$\left. \begin{array}{r} 4x-4y+z=-4 \\[2ex] x+3y+z=2 \\[2ex] x+5y+2z=6\end{array} \right\} \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc|c} 4 & -4 & 1 & -4 \\[2ex] 1 & 3 & 1 & 2 \\[2ex] 1 & 5 & 2 & 6 \end{array} \right)$

Per applicare il metodo di Gauss, è più semplice se il primo numero nella prima riga è 1. Cambieremo quindi l’ordine delle righe 1 e 2:

$\left( \begin{array}{ccc|c} 4 & -4 & 1 & -4 \\[2ex] 1 & 3 & 1 & 2 \\[2ex] 1 & 5 & 2 & 6 \end{array} \right) \begin{array}{c} \xrightarrow{f_1 \rightarrow f_2} \\[2ex] \xrightarrow{f_2 \rightarrow f_1} \\[2ex] & \end{array} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 1 & 2 \\[2ex] 4 & -4 & 1 & -4 \\[2ex] 1 & 5 & 2 & 6 \end{array} \right)$

Ora dobbiamo rendere 0 tutti i numeri sotto l’array principale.

Eseguiamo quindi operazioni sulle righe per cancellare gli ultimi due termini della prima colonna:

$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 1 & 2 \\[2ex] 4 & -4 & 1 & -4 \\[2ex] 1 & 5 & 2 & 6 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \xrightarrow{f_2 - 4f_1} \\[2ex] \xrightarrow{f_3 -f_1} \end{array} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 1 & 2 \\[2ex] 0 & -16 & -3 & -12 \\[2ex] 0 & 2 & 1 & 4 \end{array} \right)$

Ora convertiamo l’ultimo elemento della seconda colonna in zero:

$\left( \begin{array}{ccc|c}1 & 3 & 1 & 2 \\[2ex] 0 & -16 & -3 & -12 \\[2ex] 0 & 2 & 1 & 4 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \\[2ex] \xrightarrow{8f_3 + f_2} \end{array} \left( \begin{array}{ccc|c}1 & 3 & 1 & 2 \\[2ex] 0 & -16 & -3 & -12 \\[2ex] 0 & 0 & 5 & 20 \end{array} \right)$

Questo sistema è SCD , poiché siamo riusciti a spostare la matrice e l’ultima riga è del tipo

$(0 \ 0 \ n \ | \ m)$

. Pertanto, avrà una soluzione unica.

Una volta che tutti i numeri sotto la diagonale principale sono 0, possiamo risolvere il sistema di equazioni. Per fare ciò, esprimiamo nuovamente la matrice sotto forma di un sistema di equazioni in incognite:

$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 1 & 2 \\[2ex] 0 & -16 & -3 & -12 \\[2ex] 0 & 0 & 5 & 20 \end{array} \right) \ \longrightarrow \ \left. \begin{array}{r} x+3y+1z=2 \\[2ex] -16y-3z=-12 \\[2ex] 5z=20 \end{array} \right\}$

E risolviamo le incognite delle equazioni dal basso verso l’alto. Risolviamo prima l’ultima equazione:

$5z=20$

$\bm{z}=\cfrac{20}{5} = \bm{4}$

Ora sostituiamo il valore di z nella seconda equazione per trovare il valore di y:

$-16y-3z=-12 \ \xrightarrow{z \ = \ 4} \ -16y-3(4)=-12$

$-16y-12=-12$

$-16y=-12+12$

$-16y=0$

$\bm{y}=\cfrac{0}{-16}= \bm{0}$

E facciamo lo stesso con la prima equazione: sostituiamo i valori delle altre incognite e risolviamo per x:

$x+3y+1z=2 \ \xrightarrow{y \ = \ 0 \ ; \ z \ = \ 4} \ x+3(0)+1(4)=2$

$x+0+4=2$

$x=2-4$

$\bm{x=-2}$

La soluzione del sistema di equazioni è quindi:

$\bm{x=-2} \qquad \bm{y=0} \qquad \bm{z=4}$

Esercizio 4

Determina di che tipo di sistema si tratta e risolvi il seguente sistema di equazioni con il metodo di Gauss:

$\left. \begin{array}{r} x-y+4z=2 \\[2ex] -3x-3y+3z=7 \\[2ex] -2x-4y+7z=9 \end{array} \right\}$

vedi soluzione

La prima cosa che dobbiamo fare è la matrice estesa del sistema:

$\left. \begin{array}{r} x-y+4z=2 \\[2ex] -3x-3y+3z=7 \\[2ex] -2x-4y+7z=9 \end{array} \right\} \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc|c}1 & -1 & 4 & 2 \\[2ex] -3 & -3 & 3 & 7 \\[2ex] -2 & -4 & 7 & 9\end{array} \right)$

Ora dobbiamo rendere 0 tutti i numeri sotto l’array principale.

Eseguiamo quindi operazioni sulle righe per cancellare gli ultimi due termini della prima colonna:

$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 4 & 2 \\[2ex] -3 & -3 & 3 & 7 \\[2ex] -2 & -4 & 7 & 9\end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \xrightarrow{f_2 + 3f_1} \\[2ex] \xrightarrow{f_3 + 2f_1} \end{array} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 4 & 2 \\[2ex] 0 & -6 & 15 & 13\\[2ex] 0 & -6 & 15 & 13\end{array} \right)$

Ora proviamo a rimuovere l’ultimo elemento dalla seconda colonna:

$\left( \begin{array}{ccc|c}1 & -1 & 4 & 2 \\[2ex] 0 & -6 & 15 & 13\\[2ex] 0 & -6 & 15 & 13\end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \\[2ex] \xrightarrow{f_3 -1f_2} \end{array} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 4 & 2 \\[2ex] 0 & -6 & 15 & 13\\[2ex] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)$

Ma otteniamo un’intera riga di 0. Quindi questo è uno SCI e il sistema ha infinite soluzioni.

Ma poiché si tratta di un ICS, possiamo risolvere il sistema in base a

$\lambda$

. Eliminiamo quindi la riga 0:

$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 4 & 2 \\[2ex] 0 & -6 & 15 & 13\\[2ex] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \ \longrightarrow \ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 4 & 2 \\[2ex] 0 & -6 & 15 & 13 \end{array} \right)$

Esprimiamo ora la matrice sotto forma di un sistema di equazioni in incognite:

$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 4 & 2 \\[2ex] 0 & -6 & 15 & 13 \end{array} \right) \ \longrightarrow \ \left. \begin{array}{r} 1x-1y+4z=2 \\[2ex] -6y+15z=13 \end{array} \right\}$