Differenziabilità di una funzione

Settembre 17, 2023

In questo articolo imparerai come studiare la differenziabilità di una funzione, cioè se una funzione è differenziabile o meno. Inoltre, vedremo la relazione tra differenziabilità e continuità di una funzione. Infine studieremo la differenziabilità di una funzione a tratti.

Differenziabilità e continuità di una funzione

La continuità e la differenziabilità di una funzione in un punto sono correlate come segue:

Se una funzione è differenziabile in un punto, in quel punto la funzione è continua.
Se una funzione non è continua in un punto, in quel punto non è nemmeno differenziabile.

Tuttavia, il contrario di questo teorema è falso: solo perché una funzione è continua in un punto non significa che sia sempre differenziabile in quel punto.

Puoi anche vedere se una funzione è differenziabile o meno in un punto dalla sua rappresentazione grafica:

Se è un punto liscio, la funzione a questo punto è differenziabile.
Se è un punto angolare, la funzione è continua ma non differenziabile in questo punto.

Punto di livellamento a x=0:
funzione continua e differenziabile in questa fase.

Punto angolare in x=2:
funzione continua ma non differenziabile in questa fase.

Differenziabilità di una funzione a tratti

Una volta conosciuta la relazione tra continuità e differenziabilità di una funzione, vedremo come studiare la differenziabilità di una funzione definita a tratti.

Puoi capire se una funzione a tratti è differenziabile in un punto calcolando le derivate laterali in quel punto:

Se le derivate laterali in un punto non sono uguali, la funzione in quel punto non è differenziabile:

$f'(x_o^-) \neq f'(x_o^+) \ \longrightarrow$

Non è deducibile

$x_o$

Se le derivate laterali in un punto coincidono, la funzione in quel punto è differenziabile:

$f'(x_o^-) = f'(x_o^+) \ \longrightarrow$

Sì, è differenziabile in

$x_o$

Nota: affinché una funzione sia differenziabile in un punto, la funzione deve essere continua in quel punto. Pertanto, prima di calcolare le derivate laterali, dobbiamo assicurarci che la funzione sia continua in quel punto. Se non sai come si studia la continuità in un punto, puoi vedere come si fa nel seguente link:

➤ Vedi: continuità di una funzione in un punto

Vediamo ora un esempio di come calcolare la derivata di una funzione definita a tratti in un punto:

Studia la continuità e la differenziabilità della seguente funzione definita a tratti nel punto x=2:

$\displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} 3x^2-6x & \text{si} & x<2 \\[2ex] 6\ln (x-1) & \text{si} & x\geq 2 \end{array} \right.$

Le funzioni delle due parti sono continue nei rispettivi intervalli, occorre però vedere se la funzione è continua nel punto critico x=2. Per fare ciò risolviamo i limiti laterali della funzione nel punto:

$\lim\limits_{x\to 2^-} f(x) = \lim\limits_{x\to 2^-} \bigl(3x^2-6x\bigr) = 3\cdot2^2-6\cdot2=12-12=\bm{0}$

$\lim\limits_{x\to 2^+} f(x) = \lim\limits_{x\to 2^+} 6\ln (x-1) = 6\ln (2-1)=6 \ln 1=6 \cdot 0= \bm{0}$

I limiti laterali nel punto critico ci hanno dato lo stesso risultato, quindi la funzione è continua nel punto x=2.

Una volta che sappiamo che la funzione è continua in x=2, studieremo la differenziabilità della funzione in quel punto. Per fare ciò, calcoliamo le derivate laterali della funzione definita in pezzi:

$\displaystyle f'(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} 6x-6 & \text{si} & x<2 \\[2ex] \cfrac{6}{x-1} & \text{si} & x\geq 2 \end{array} \right.$

Valutiamo ora ciascuna derivata laterale nel punto critico:

$f'(2^-)=6\cdot2-6=12-6 = \bm{6}$

$f'(2^+)=\cfrac{6}{2-1} = \cfrac{6}{1} = \bm{6}$

Le due derivate laterali ci hanno dato lo stesso risultato, quindi la funzione è differenziabile in x=2 e il valore della derivata è 6:

$f'(2^-) = f'(2^+) = 6 \ \longrightarrow \ \bm{f'(2) = 6}$

D’altra parte, se le derivate laterali ci avessero dato un risultato diverso, ciò significherebbe che la funzione non è differenziabile in x=2. In altre parole, a questo punto la derivata non esisterebbe.

Ricordiamo infine che questa procedura è valida anche per studiare la differenziabilità di una funzione a valore assoluto, poiché le funzioni a valore assoluto possono essere definite anche a tratti. Puoi vedere come convertire una funzione di valore assoluto in blocchi qui:

➤ Vedi: come definire a tratti una funzione con valore assoluto

Esercizi risolti sulla differenziabilità di una funzione

Esercizio 1

Studiare la continuità e la differenziabilità della seguente funzione a tratti:

$\displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} x^3-4x^2 + 5 & \text{si} & x<1 \\[2ex] -x^2+3x & \text{si} & x\geq 1 \end{array} \right.$

Vedi la soluzione

Le funzioni delle due parti sono continue, ma dobbiamo vedere se la funzione è continua nel punto critico x=1. Per fare questo risolviamo i limiti laterali della funzione nel punto:

$\lim\limits_{x\to 1^-} f(x) = \lim\limits_{x\to 1^-} \bigl(x^3-4x^2 + 5\bigr)=1^3-4\cdot 1^2 + 5=2$

$\lim\limits_{x\to 1^+} f(x) = \lim\limits_{x\to 1^+} \bigl( -x^2+3x \bigr)=-1^2+3\cdot 1=2$

I due limiti laterali nel punto critico danno lo stesso risultato, quindi la funzione è continua in x=1.

Una volta che sappiamo che la funzione è continua nel punto critico, studieremo se è differenziabile nello stesso punto. Calcoliamo quindi le derivate laterali:

$\displaystyle f'(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} 3x^2-8x & \text{si} & x<1 \\[2ex] -2x+3 & \text{si} & x\geq 1 \end{array} \right.$

E valutiamo le due derivate laterali in x=1;

$f'(1^-)=3\cdot1^2-8\cdot 1=3-8=-5$

$f'(1^+)=-2\cdot 1+3=-2+3 =1$

Le derivate laterali non coincidono nel punto x=1 quindi la funzione non è differenziabile in questo punto.

$f'(1^-) \neq f'(1^+) \ \longrightarrow \ \cancel{\exists} \ f'(1)$

Esercizio 2

Analizzare la differenziabilità e la continuità della seguente funzione definita nelle sezioni:

$\displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} \sqrt{4x} & \text{si} & x\leq 1 \\[2ex] 2+\ln x & \text{si} & x> 1 \end{array} \right.” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”65″ width=”226″ style=”vertical-align: 0px;”></p> </p> <div class=$

Vedi la soluzione

Le funzioni delle due sezioni sono continue nei loro intervalli, ma occorre sapere anche se la funzione è continua nel punto critico di cambio di definizione x=1. Definiamo quindi a questo punto i limiti laterali della funzione:

$\lim\limits_{x\to 1^-} f(x) = \lim\limits_{x\to 1^-} \sqrt{4x} = \sqrt{4\cdot 1} = \sqrt{4}=2$

$\lim\limits_{x\to 1^+} f(x) = \lim\limits_{x\to 1^+} \bigl( 2+\ln x \bigr) = 2 + \ln (1) = 2+0 =2$

I due limiti laterali nel punto critico danno lo stesso risultato, quindi la funzione è continua in x=1.

E ora studiamo se la funzione a questo punto è differenziabile calcolando le derivate laterali:

$\displaystyle f'(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} \cfrac{4}{2\sqrt{4x}} & \text{si} & x<1 \\[4ex] \cfrac{1}{x} & \text{si} & x\geq 1 \end{array} \right.$

Valutiamo le due derivate laterali in x=1:

$f'(1^-)=\cfrac{4}{2\sqrt{4\cdot1}}=\cfrac{4}{2\sqrt{4}}=\cfrac{4}{2\cdot 2}=\cfrac{4}{4}=1$

$f'(1^+)=\cfrac{1}{1}=1$

Le derivate laterali sono uguali, quindi la funzione è differenziabile in x=1 e il valore della derivata è 1.

$f'(1^-) = f'(1^+) = 1 \ \longrightarrow \ \bm{f'(1) = 1}$

Esercizio 3

Determina se la seguente funzione a tratti è continua e differenziabile nel suo intero dominio:

 *** QuickLaTeX cannot compile formula:
\displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} x^2+2x+1 & \text{si} & x\leq -1 \\[2ex] 2x+2 & \text{ si} & -1<div class="wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E6F9EF" role="button" tabindex="0" aria- expanded="false" data-otfm-spc="#E6F9EF" style="text-align:center"><div class="otfm-sp__title"> <strong>View solution</strong></div>< /div> The functions of all three parts are continuous, but we still need to check if the function is continuous at critical points. We therefore first check the continuity of the function at the point x=-1 by solving the lateral limits at this point:

*** Error message:
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Missing { inserted.
leading text: ...e="text-align:center"><div class="otfm-sp__
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...g></div></div> The functions of the three parts
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...are continuous, but we still need to see

\lim\limits_{x\to -1^-} f(x) = \lim\limits_{x\to -1^-} \bigl(x^2+2x+1\bigr) = (-1)^ 2+2(-1)+1 =0 \lim\limits_{x\to -1^+} f(x) = \lim\limits_{x\to -1^+} \bigl(2x+2\bigr ) = 2(-1)+2=0

$Les deux limites latérales au point x=-1 donnent le même résultat, donc la fonction est continue en x=-1. Nous allons maintenant vérifier si la fonction est continue ou non au point x=2 :$

\lim\limits_{x\to 2^-} f(x) = \lim\limits_{x\to 2^-} \bigl(2x+2\bigr) = 2\cdot 2+2=4+2= 6 \lim\limits_{x\to 2^+} f(x) = \lim\limits_{x\to 2^+} \bigl( -x^2+8x\bigr) = -2^2+8\ cpunto 2 = -4+16=12

$En revanche, les limites latérales au point x=2 ne donnent pas le même résultat, donc la fonction n'est pas continue en x=2. De plus, comme il n'est pas continu à ce stade, il ne sera pas non plus dérivable à x=2. Une fois que l'on a étudié la continuité de la fonction, on passe à la différentiabilité. On calcule donc les dérivées latérales :$

\displaystyle f'(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} 2x+2 & \text{si} & x\leq -1 \\[2ex] 2 & \text{si} & -1

Sappiamo già che la funzione non è differenziabile in x=2, quindi dobbiamo solo studiare se la funzione è differenziabile in x=-1. Per fare ciò valutiamo le due derivate laterali nel punto:

$f'(-1^-)=2(-1)+2 = -2+2=0$

$f'(-1^+)=2$

Le derivate laterali non coincidono nel punto x=-1, quindi la funzione in quel punto non è differenziabile.

$f'(-1^-) \neq f'(-1^+) \ \longrightarrow \ \cancel{\exists} \ f'(-1)$

Esercizio 4

Calcola il valore dei parametri a e b in modo che la seguente funzione a tratti sia continua e differenziabile in tutto il suo dominio:

$\displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} 2e^{x-3} + a & \text{si} & x< 3 \\[2ex](x-b)^2 & \text{si} & x\geq 3 \end{array} \right.$

Vedi la soluzione

Qualunque siano i valori delle incognite, la funzione è continua e differenziabile in tutti i punti tranne che in x=3, dove occorre verificarne la continuità e la differenziabilità.

Perché la funzione sia continua in un punto è necessario che i due limiti laterali in quel punto coincidano. Pertanto, valutiamo i limiti laterali nel punto critico:

$\lim\limits_{x\to 3^-} f(x) = \lim\limits_{x\to 3^-} \bigl(2e^{x-3}+a\bigr) = 2e^{3-3}+a = 2 \cdot e^0+a =2\cdot 1 +a = 2+a$

$\lim\limits_{x\to 3^+} f(x) = \lim\limits_{x\to 3^+} (x-b)^2 = (3-b)^2$

I due valori ottenuti dai limiti laterali devono quindi essere uguali affinché la funzione sia continua:

$2+a = (3-b)^2$

Analizzeremo ora la differenziabilità nel punto x=3. Troviamo le derivate laterali:

$\displaystyle f'(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} 2e^{x-3} & \text{si} & x< 3 \\[2ex]2(x-b) & \text{si} & x\geq 3 \end{array} \right.$

E valutiamo le due derivate laterali nel punto critico:

$f'(3^-)= 2e^{3-3} = 2e^0 = 2\cdot 1 = 2$

$f'(3^+)=2(3-b) = 6 - 2b$

Pertanto, affinché la funzione sia differenziabile in x=3, i valori ottenuti dalle derivate laterali devono essere uguali:

$2=6-2b$

E risolvendo questa equazione possiamo trovare il valore di b:

$2b=6-2$

$2b=4$

$b=\cfrac{4}{2} =\bm{2}$

Infine, una volta noto il valore del parametro b, possiamo calcolare il valore del parametro a risolvendo l’equazione che abbiamo ottenuto in precedenza nei limiti laterali:

$2+a = (3-b)^2$

$2+a = (3-2)^2$

$2+a =1$

$a =1-2$

$\bm{a =-1}$

Differenziabilità e continuità di una funzione

Differenziabilità di una funzione a tratti

Esercizi risolti sulla differenziabilità di una funzione

Esercizio 1

Esercizio 2

Esercizio 3

Esercizio 4

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