Differenza (o sottrazione) di quadrati

In questa pagina troverai la formula per la differenza (o sottrazione) di due quadrati perfetti. Spieghiamo anche come vengono scomposte le differenze dei quadrati e, inoltre, potrai vedere diversi esempi ed esercizi risolti passo dopo passo.

Qual è la differenza tra i quadrati?

In matematica, il concetto di differenza di quadrati , o sottrazione di quadrati , si riferisce a due termini la cui radice quadrata è esatta e, inoltre, vengono sottratti. In altre parole, l’espressione algebrica per una differenza di quadrati è a ² -b ² .

Inoltre, la differenza tra due quadrati corrisponde a uno dei prodotti notevoli (o identità notevoli), motivo per cui è così importante.

Formula della differenza dei quadrati

La formula per l’identità notevole di una differenza di due quadrati perfetti è la seguente:

Pertanto, la differenza dei quadrati di due quantità è uguale al prodotto della somma per la differenza di queste due quantità.

Quindi la formula per sottrarre due quadrati perfetti ha diverse applicazioni in algebra. Innanzitutto, può essere utilizzato per semplificare le espressioni polinomiali. Ma serve soprattutto per fattorizzare alcune tipologie di binomi, nella sezione seguente spieghiamo passo dopo passo come farlo.

Sebbene abbiano nomi simili, non dovresti confondere la differenza dei quadrati con il quadrato di una differenza , poiché sono identità notevoli diverse. Se hai domande, ti consigliamo di vedere questi esempi del quadrato di una differenza , qui vedrai la formula per questa notevole identità, come viene applicata e quali sono le differenze rispetto alla differenza dei quadrati.

Fattorizzazione di una differenza di quadrati

Le differenze dei quadrati possono essere facilmente calcolate dalla formula.

Ma, ovviamente, per comprendere appieno il procedimento, è necessario sapere cosa sono i polinomi di fattorizzazione . Nel caso in cui non sapessi ancora cosa significa fattorizzare un polinomio, prima di continuare a leggere, è meglio dare un’occhiata alla pagina collegata, dove viene spiegato in dettaglio.

Pertanto, per fattorizzare una differenza di 2 quadrati, è necessario seguire il seguente processo:

Si calcola la radice quadrata dei due termini.
Moltiplica la somma sottraendo le due radici trovate nel passaggio precedente.

Vediamo meglio come fattorizzare una sottrazione di quadrati attraverso un esempio:

Fattorizza la seguente differenza di quadrati:

$x^2 - 9$

Logicamente, prima di applicare il procedimento che abbiamo visto, dobbiamo accertarci che si tratti effettivamente di una differenza di quadrati. In questo caso entrambi

$x^2$

Poiché 9 sono quadrati perfetti (hanno radici esatte) e uno ha un segno negativo, in realtà è costituito da una differenza di quadrati.

Dobbiamo ora calcolare la radice quadrata di ciascun elemento:

$\sqrt{x^2} = x$

$\sqrt{9} = 3$

Infine, forma semplicemente due binomi con le radici calcolate: un binomio in cui le radici si sommano e un altro binomio in cui si sottraggono. E poi moltiplichiamo questi due binomi:

$(x+3)\cdot (x-3)$

In questo modo abbiamo già preso in considerazione la differenza dei quadrati nel problema nel prodotto di una somma per una differenza.

$x^2-9=(x+3)\cdot (x-3)$

Esempi di differenze di quadrati

Affinché tu possa capire chiaramente come vengono scomposte le differenze dei quadrati, ecco alcuni esempi pratici:

Esempio 1

$4x^2-25$

In questo esercizio, le radici quadrate dei due termini del binomio sono:

$\sqrt{4x^2} = 2x$

$\sqrt{25} = 5$

È quindi sufficiente moltiplicare la somma per la differenza delle due radici trovate:

$(2x+5)\cdot (2x-5)$

Esempio 2

$x^4- 16x^2$

Per prima cosa calcoliamo le radici quadrate dei due elementi:

$\sqrt{x^4} = x^2$

$\sqrt{16x^2} = 4x$

Il polinomio fattorizzato è quindi:

$(x^2+4x)\cdot (x^2-4x)$

Ora che hai visto diversi esempi di sottrazione di quadrati, ti proponiamo diversi esercizi risolti passo dopo passo. Vediamo se riesci a fare tutto bene! 😉