Come calcolare il determinante di una matrice 4×4 mediante complementi o cofattori

In questa pagina vedremo come risolvere un determinante mediante addizioni o cofattori e anche come calcolare il determinante di una matrice di dimensione 4×4 . Tuttavia, per risolvere il determinante di una matrice di ordine 4, devi prima sapere come calcolare un determinante utilizzando gli aggiunti di una riga o di una colonna. Vedremo quindi prima come trovare un determinante mediante aggiunti o cofattori, poi come realizzare un determinante di ordine 4 .

Come calcolare un determinante tramite addizioni o cofattori?

Un determinante può essere calcolato sommando i prodotti degli elementi in qualsiasi riga o colonna per i rispettivi complementi (o cofattori) .

Questo metodo è chiamato risoluzione di un determinante mediante aggiunti o cofattori, oppure ci sono anche matematici che ti spiegano anche la regola di Laplace (o il teorema di Laplace).

Esempio di risoluzione di un determinante da parte dei deputati:

Vediamo un esempio pratico di risoluzione del determinante di una matrice 3×3 mediante additivi. Facciamo il seguente determinante:

$\begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\[1.1ex] 0 & -2 & 5 \\[1.1ex] 3 & 7 & -4 \end{vmatrix}$

Per prima cosa dobbiamo scegliere una colonna o una riga del determinante. In questo caso scegliamo la prima colonna , poiché ha uno 0 e sarà quindi più semplice da risolvere.

Dobbiamo ora moltiplicare gli elementi della prima colonna per i rispettivi deputati :

$\begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\[1.1ex] 0 & -2 & 5 \\[1.1ex] 3 & 7 & -4 \end{vmatrix} \displaystyle = 2\bm{\cdot} \text{Adj(2)} + 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} + 3 \bm{\cdot} \text{Adj(3)}$

Non è necessario calcolare il complemento di 0 perché moltiplicandolo per 0 lo annullerà. Possiamo quindi semplificare:

$\displaystyle = 2\bm{\cdot} \text{Adj(2)} + \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} + 3 \bm{\cdot} \text{Adj(3)}$

$\displaystyle = 2\bm{\cdot} \text{Adj(2)} + 3 \bm{\cdot} \text{Adj(3)}$

Procediamo ora al calcolo dei complementi :

$\displaystyle = 2\cdot (-1)^{1+1} \cdot \begin{vmatrix} -2 & 5 \\[1.1ex] 7 & -4 \end{vmatrix} + 3 \cdot (-1)^{3+1} \cdot \begin{vmatrix} 3 & 1 \\[1.1ex] -2 & 5 \end{vmatrix}$

Ricordatevi che per calcolare il deputato

$a_{ij}$

, ovvero l’elemento pubblicitario

$i$

e la colonna

$j$

, deve essere applicata la seguente formula:

$\text{Adjunto de } a_{ij} = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } a_{ij}$

dove il minore complementare di

$a_{ij}$

è il determinante della matrice rimuovendo la riga

$i$

e la colonna

$j$

Risolviamo le potenze e i determinanti:

$= 2 \cdot 1 \cdot (8-35) + 3 \cdot 1 \cdot \bigl(15-(-2)\bigr)$

$= 2 \cdot 1 \cdot (-27) + 3 \cdot 1 \cdot 17$

E operiamo con la calcolatrice:

$= -54 + 51$

$= \bm{-3}$

Pertanto, il risultato del determinante è -3.

Notiamo che se calcoliamo il determinante con la regola di Sarrus, otteniamo lo stesso risultato:

$\begin{aligned} \begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\[1.1ex] 0 & -2 & 5 \\[1.1ex] 3 & 7 & -4 \end{vmatrix} & = 2 \cdot (-2) \cdot (-4) + 3 \cdot 5 \cdot 3 + 0 \cdot 7 \cdot 1 - 3 \cdot (-2) \cdot 1 - 7 \cdot 5 \cdot 2- 0 \cdot 3 \cdot (-4) \\ & = 16 +45 + 0 +6 - 70 -0 \\[2ex] & = \bm{-3} \end{aligned}$

Una volta che sappiamo come viene calcolato un determinante dai deputati, possiamo ora vedere come trovare il risultato di un determinante di ordine 4:

Come calcolare un determinante 4×4?

Per risolvere il determinante di una matrice di ordine 4 dobbiamo applicare il procedimento che abbiamo appena visto per i deputati. Scegliamo cioè una riga o una colonna qualsiasi e aggiungiamo i prodotti dei suoi elementi mediante i rispettivi complementi.

Tuttavia, utilizzando questa procedura con un determinante 4 × 4, è necessario calcolare molti determinanti 3 × 3 e questi tendono a richiedere molto tempo. Pertanto, prima di calcolare gli aggiunti , vengono eseguite delle trasformazioni sulle linee , simili al metodo gaussiano. Poiché una riga di un determinante può essere sostituita dalla somma della stessa riga più un’altra riga moltiplicata per un numero.

Pertanto, per calcolare un determinante di ordine 4 per deputati, è necessario scegliere la colonna che contiene il maggior numero di zeri , poiché ciò faciliterà i calcoli. E poi eseguiamo operazioni interne sulle righe, in modo che tutti gli elementi nella colonna siano nulli tranne uno.

Vediamo come viene realizzato un determinante 4×4 con un esempio:

Esempio di risoluzione di un determinante 4×4:

Risolveremo questo determinante della seguente matrice quadrata 4×4:

$\begin{vmatrix} 1 & 4 & 2 & 1 \\[1.1ex] -1 & -1 & 3 & 2 \\[1.1ex] 0 & 5 & 7 & -4 \\[1.1ex] 2 & 1 & -3 & 2 \end{vmatrix}$

In questo caso, la colonna con il maggior numero di zeri è la prima colonna. Pertanto, scegliamo la prima colonna.

E approfittando del fatto che in questa colonna c’è un 1, convertiremo tutti gli altri elementi della prima colonna in 0. Poiché è più facile fare i calcoli con la riga che ha un 1.

Pertanto, per trasformare tutti gli altri elementi della colonna in 0, aggiungiamo la prima riga alla seconda riga e sottraiamo la prima riga moltiplicata per 2 dalla quarta riga . Non è necessario modificare la terza riga perché contiene già uno 0 nella prima colonna.

$\begin{vmatrix} 1 & 4 & 2 & 1 \\[1.1ex] -1 & -1 & 3 & 2 \\[1.1ex] 0 & 5 & 7 & -4 \\[1.1ex] 2 & 1 & -3 & 2 \end{vmatrix} \begin{matrix} \\[1.1ex] \xrightarrow{f_2 + f_1} \\[1.1ex] \\[1.1ex] \xrightarrow{f_4 - 2f_1} \end{matrix} \begin{vmatrix} 1 & 4 & 2 & 1 \\[1.1ex] 0 & 3 & 5 & 3 \\[1.1ex] 0 & 5 & 7 & -4 \\[1.1ex] 0 & -7 & -7 & 0 \end{vmatrix}$

Dopo aver convertito in 0 tutti gli elementi tranne uno nella colonna scelta, calcoliamo il determinante per deputati. Vale a dire , aggiungiamo i prodotti degli elementi della colonna secondo i rispettivi sostituti:

$\begin{vmatrix} 1 & 4 & 2 & 1 \\[1.1ex] 0 & 3 & 5 & 3 \\[1.1ex] 0 & 5 & 7 & -4 \\[1.1ex] 0 & -7 & -7 & 0 \end{vmatrix} \displaystyle = 1\bm{\cdot} \text{Adj(1)} + 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} + 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}$

I termini moltiplicati per 0 si annullano, quindi li semplifichiamo:

$=1\bm{\cdot} \text{Adj(1)} + \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} + \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}}$

$=1\bm{\cdot} \text{Adj(1)}$

$=\text{Adj(1)}$

È quindi sufficiente calcolare l’aggiunto di 1:

$\displaystyle = (-1)^{1+1} \cdot \begin{vmatrix} 3 & 5 & 3 \\[1.1ex] 5 & 7 & -4 \\[1.1ex] -7 & -7 & 0 \end{vmatrix}$

Calcoliamo il determinante con la regola di Sarrus e la potenza:

$\inlinestyle = 1 \cdot \bigl[ 3 \cdot 7 \cdot 0 + 5 \cdot (-4) \cdot (-7) + 5 \cdot (-7) \cdot 3 - (-7)\cdot 7 \cdot 3 - (-7) \cdot (-4) \cdot 3 - 5 \cdot 5 \cdot 0 \bigr]$

$=3 \cdot 7 \cdot 0 + 5 \cdot (-4) \cdot (-7) + 5 \cdot (-7) \cdot 3 - (-7)\cdot 7 \cdot 3 - (-7) \cdot (-4) \cdot 3 - 5 \cdot 5 \cdot 0$

E infine risolviamo le operazioni con la calcolatrice:

$\displaystyle =0+140-105 +147 - 84 - 0$

$\displaystyle =\bm{98}$

Esercizi risolti sui determinanti 4×4

Esercizio 1

Risolvi il seguente determinante di ordine 4:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 1 & 1 \\[1.1ex] 2 & 3 & 1 & -1 \\[1.1ex] 4 & 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}$

vedi soluzione

Troveremo il risultato del determinante 4×4 con il metodo dei cofattori. Ma prima facciamo delle operazioni con le righe per azzerare tutti gli elementi di una colonna tranne uno:

$\begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 1 & 1 \\[1.1ex] 2 & 3 & 1 & -1 \\[1.1ex] 4 & 1 & 2 & 0 \end{vmatrix} \begin{matrix} \\[1.1ex] \\[1.1ex] \xrightarrow{f_3 + f_2} \\[1.1ex] \ \end{matrix} \begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 1 & 1 \\[1.1ex] 2 & 4 & 2 & 0 \\[1.1ex] 4 & 1 & 2 & 0 \end{vmatrix}$

E ora risolviamo il determinante 4×4 con gli aggiunti con l’ultima colonna:

$\begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 1 & 1 \\[1.1ex] 2 & 4 & 2 & 0 \\[1.1ex] 4 & 1 & 2 & 0 \end{vmatrix} = 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +1\bm{\cdot} \text{Adj(1)} +0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} + 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}$

Semplifichiamo i termini:

$= \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +1\bm{\cdot} \text{Adj(1)} +\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} + \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}}$

$= \text{Adj(1)}$

Calcoliamo l’aggiunto di 1:

$\displaystyle = (-1)^{2+4} \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 \\[1.1ex] 2 & 4 & 2 \\[1.1ex]4 & 1 & 2 \end{vmatrix}$

E, infine, calcoliamo il determinante 3×3 con la regola di Sarrus:

$\displaystyle = (-1)^{6} \cdot \bigl[16+24-2+16-4-12 \bigr]$

$\displaystyle = 1 \cdot \bigl[38 \bigr]$

$\displaystyle = \bm{38}$

Esercizio 2

Calcolare il seguente determinante di ordine 4:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 & 2 \\[1.1ex] 2 & 0 & 1 & 4 \\[1.1ex] 1 & 1 & 2 & 3 \\[1.1ex] 5 & -1 & 3 & 1 \end{pmatrix}$

vedi soluzione

Calcoleremo il determinante 4×4 in base ai cofattori. Ma per fare ciò, eseguiamo prima delle operazioni con le righe per impostare a zero tutti gli elementi di una colonna tranne uno:

$\begin{vmatrix} 1 & 3 & -2 & 2 \\[1.1ex] 2 & 0 & 1 & 4 \\[1.1ex] 1 & 1 & 2 & 3 \\[1.1ex] 5 & -1 & 3 & 1 \end{vmatrix} \begin{matrix} \xrightarrow{f_1 - 3f_3} \\[1.1ex] \\[1.1ex] \\[1.1ex] \xrightarrow{f_4 + f_3} \end{matrix} \begin{vmatrix}-2 & 0 & -8 & -7 \\[1.1ex] 2 & 0 & 1 & 4 \\[1.1ex] 1 & 1 & 2 & 3 \\[1.1ex] 6 & 0 & 5 & 4 \end{vmatrix}$

Ora risolviamo il determinante 4×4 con gli aggiunti con la seconda colonna:

$\begin{vmatrix} -2 & 0 & -8 & -7 \\[1.1ex] 2 & 0 & 1 & 4 \\[1.1ex] 1 & 1 & 2 & 3 \\[1.1ex] 6 & 0 & 5 & 4\end{vmatrix} = 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +1\bm{\cdot} \text{Adj(1)}+ 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}$

Semplifichiamo i termini:

$= \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +1\bm{\cdot} \text{Adj(1)}+\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}}$

$= \text{Adj(1)}$

Calcoliamo l’aggiunto di 1:

$\displaystyle = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix}-2 & -8 & -7 \\[1.1ex] 2 & 1 & 4 \\[1.1ex] 6 & 5 & 4\end{vmatrix}$

E, infine, calcoliamo il determinante 3×3 con la regola di Sarrus e la calcolatrice:

$\displaystyle = (-1)^{5} \cdot \bigl[-8-192-70+42+40+64 \bigr]$

$\displaystyle = -1 \cdot \bigl[-124 \bigr]$

$\displaystyle = \bm{124}$

Esercizio 3

Trovare il risultato del seguente determinante di ordine 4:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 2 & -2 & -1 & 3 \\[1.1ex] 4 & 3 & 1 & -2 \\[1.1ex] -1 & 2 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & -2 & -4 & 5 \end{pmatrix}$

vedi soluzione

Risolveremo il determinante 4×4 dai deputati. Sebbene prima eseguiamo operazioni con le righe per convertire in zero tutti gli elementi tranne uno in una colonna:

$\begin{vmatrix}2 & -2 & -1 & 3 \\[1.1ex] 4 & 3 & 1 & -2 \\[1.1ex] -1 & 2 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & -2 & -4 & 5 \end{vmatrix} \begin{matrix} \xrightarrow{f_1 + f_2} \\[1.1ex] \\[1.1ex]\xrightarrow{f_3 - f_2} \\[1.1ex] \xrightarrow{f_4 + 4f_2} \end{matrix} \begin{vmatrix}6 & 1 & 0 & 1 \\[1.1ex] 4 & 3 & 1 & -2 \\[1.1ex] -5 & -1 & 0 & 1 \\[1.1ex] 19 & 10 & 0 & -3 \end{vmatrix}$

Ora risolviamo il determinante 4×4 deputati con la terza colonna:

$\begin{vmatrix}6 & 1 & 0 & 1 \\[1.1ex] 4 & 3 & 1 & -2 \\[1.1ex] -5 & -1 & 0 & 1 \\[1.1ex] 19 & 10 & 0 & -3 \end{vmatrix} = 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +1\bm{\cdot} \text{Adj(1)} +0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}+ 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}$

Semplifichiamo i termini:

$= \cancel{0\bm{\cdot}+ \text{Adj(0)}} +1\bm{\cdot} \text{Adj(1)}+\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}}$

$= \text{Adj(1)}$

Calcoliamo l’aggiunto di 1:

$\displaystyle = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix}6 & 1 & 1 \\[1.1ex] -5 & -1 & 1 \\[1.1ex] 19 & 10 & -3\end{vmatrix}$

E infine risolviamo il determinante 3×3 con la regola di Sarrus e la calcolatrice:

$\displaystyle = (-1)^{5} \cdot \bigl[18+19-50+19-60-15\bigr]$

$\displaystyle = -1 \cdot \bigl[-69 \bigr]$

$\displaystyle = \bm{69}$

Esercizio 4

Calcolare il risultato del seguente determinante di ordine 4:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 3 & 4 & -2 & -1 \\[1.1ex] 2 & -2 & 5 & -5 \\[1.1ex] -3 & 5 & 2 & 6 \\[1.1ex] -1 & -2 & -1 & 3 \end{pmatrix}$

vedi soluzione

Risolveremo il determinante 4×4 utilizzando la regola di Laplace. Ma devi prima eseguire operazioni con le righe per impostare a zero tutti gli elementi di una colonna tranne uno:

$\begin{vmatrix}3 & 4 & -2 & -1 \\[1.1ex] 2 & -2 & 5 & -5 \\[1.1ex] -3 & 5 & 2 & 6 \\[1.1ex] -1 & -2 & -1 & 3\end{vmatrix} \begin{matrix} \xrightarrow{f_1 + 3f_4} \\[1.1ex] \xrightarrow{f_2 +2f_4} \\[1.1ex]\xrightarrow{f_3 - 3f_4} \\[1.1ex] \ \end{matrix} \begin{vmatrix}0 & -2 & -5 & 8 \\[1.1ex]0 & -6 & 3 & 1 \\[1.1ex] 0 & 11 & 5 & -3 \\[1.1ex] -1 & -2 & -1 & 3\end{vmatrix}$

Adesso risolviamo per deputati il determinante 4×4 con la prima colonna:

$\begin{vmatrix}0 & -2 & -5 & 8 \\[1.1ex]0 & -6 & 3 & 1 \\[1.1ex] 0 & 11 & 5 & -3 \\[1.1ex] -1 & -2 & -1 & 3 \end{vmatrix} = 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} + 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}-1\bm{\cdot} \text{Adj(-1)}$

Semplifichiamo i termini:

$= \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}}-1\bm{\cdot} \text{Adj(-1)}$

$=- \text{Adj(-1)}$

Calcoliamo l’aggiunto di -1:

$\displaystyle =- (-1)^{4+1} \begin{vmatrix} -2 & -5 & 8 \\[1.1ex]-6 & 3 & 1 \\[1.1ex] 11 & 5 & -3 \end{vmatrix}$

E infine risolviamo il determinante 3×3 con la regola di Sarrus e la calcolatrice:

$\displaystyle = -(-1)^{5} \cdot \bigl[18-55-240-264+10+90\bigr]$

$\displaystyle = -(-1) \cdot \bigl[-441 \bigr]$

$\displaystyle = - \bigl[+441 \bigr]$

$\displaystyle = \bm{-441}$

Con tutta questa pratica, probabilmente saprai già come risolvere i determinanti 4×4. Fantastico! Ci auguriamo che con tutti questi esercizi ora sarai in grado di calcolare la portata di una matrice di dimensione 4×4 che costa così tante persone.

Come calcolare un determinante tramite addizioni o cofattori?

Esempio di risoluzione di un determinante da parte dei deputati:

Come calcolare un determinante 4×4?

Esempio di risoluzione di un determinante 4×4:

Esercizi risolti sui determinanti 4×4

Esercizio 1

Esercizio 2

Esercizio 3

Esercizio 4

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