Derivati - Mathority

Qui spieghiamo come derivare tutti i tipi di funzioni. Troverai le formule di tutte le derivate accompagnate da esempi ed esercizi di derivazione passo passo.

Cosa sono i prodotti derivati?

Le derivate sono regole matematiche utilizzate per studiare le funzioni. In particolare, la derivata di una funzione in un punto è il risultato di un limite e indica il comportamento della funzione in quel punto.

La derivata di una funzione si esprime con il segno primo ‘ , vale a dire che la funzione f'(x) è la derivata della funzione f(x) .

Dal punto di vista geometrico, il significato della derivata di una funzione in un punto è la pendenza della tangente alla funzione in quel punto.

La definizione matematica della derivata di una funzione è la seguente:

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Tuttavia, la derivata di una funzione non viene solitamente calcolata utilizzando la formula sopra, ma si applicano regole di differenziazione a seconda del tipo di funzione che si tratta. Tutte le formule di derivazione sono spiegate di seguito.

formule derivate

Dopo aver visto la definizione di derivati, vedremo come sono realizzati, spiegando con un esempio ogni tipologia di derivato. L’obiettivo di questo post è farti comprendere bene il concetto di derivata, quindi se alla fine hai qualche dubbio su come viene derivata una funzione, puoi chiedercelo nei commenti.

derivato da una costante

La derivata di una costante è sempre zero, indipendentemente dal valore della costante.

Pertanto, per trovare la derivata di una funzione costante, non è necessario fare alcun calcolo, semplicemente la derivata è zero.

Dai un’occhiata ai seguenti esempi pratici di derivate di costanti:

$\begin{array}{c}f(x)=3 \qquad \longrightarrow\qquad f'(x)=0\\[3ex]g(x)=-5 \qquad \longrightarrow\qquad g'(x)=0\\[3ex]h(x)=291 \qquad \longrightarrow\qquad h'(x)=0\end{array}$

Derivata di una funzione lineare

La derivata di una funzione lineare è il coefficiente del termine di primo grado, cioè la derivata di una funzione lineare f(x)=Ax+B è uguale ad A

Dai un’occhiata ai seguenti esempi di come è stato derivato questo tipo di funzione:

$\begin{array}{c}f(x)=3x-1\quad\longrightarrow\quad f'(x)=3\\[3ex]f(x)=5x\quad\longrightarrow\quad f'(x)=5\\[3ex] f(x)=-2x+9\quad\longrightarrow\quad f'(x)=-2\end{array}$

derivato da una potenza

La derivata di una potenza , o funzione potenziale, è il prodotto dell’esponente della potenza per la base elevata all’esponente meno 1.

Pertanto, per ricavare una potenza, è sufficiente moltiplicare la funzione per l’esponente e sottrarre un’unità dall’esponente.

Ad esempio, la derivata della potenza x al cubo è:

$f(x)=x^3 \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=3\cdot x^{3-1}=3x^2$

Puoi esercitarti a fare esercizi (e quelli più difficili) di questo tipo di derivata qui:

➤ Vedi: esercizi risolti per la derivata di una potenza

derivato da una radice

La derivata di una radice, o funzione irrazionale, è uguale a uno diviso per il prodotto dell’indice della radice per la radice stessa sottraendo 1 all’esponente del radicando.

Ad esempio, qui sotto puoi vedere la derivata della radice quadrata di x risolta:

$f(x)=\sqrt{x}\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=\cfrac{1}{2\sqrt{x^{2-1}}}=\cfrac{1}{2\sqrt{x}}$

➤ Vedi: esercizi risolti per la derivata di una radice

Derivata di una funzione esponenziale

La derivata di una funzione esponenziale dipende dal fatto che la base sia il numero e o un altro numero. Esistono quindi due formule per ricavare questo tipo di funzione e bisogna utilizzare quella che corrisponde in base alla base di potenza:

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1pt, boxsep=1.8mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \begin{array}{l}f(x)=a^x \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=a^x\cdot \ln(a)\\[3ex] f(x)=e^x \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=e^x \end{array} \end{empheq}$

Di seguito puoi vedere due derivate risolte di questo tipo di funzioni:

$f(x)=7^{x} \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=7^x\cdot \ln(7)$

$f(x)=e^{x} \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=e^x$

➤ Vedi: esercizi risolti per la derivata di una funzione esponenziale

Derivata di una funzione logaritmica

La derivata di una funzione logaritmica dipende dalla base del logaritmo, perché se il logaritmo è naturale bisogna applicare una formula per trovare la derivata e se il logaritmo ha come base un altro numero bisogna usare un’altra regola.

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1pt, boxsep=1.8mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \begin{array}{l}f(x)=\ln(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{x}\\[3ex] f(x)=\log_a(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{x\cdot\ln(a)}\end{array} \end{empheq}$

Ad esempio, la derivata del logaritmo in base tre di x è:

$f(x)=\log_3(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{x\cdot\ln(3)}$

➤ Vedi: esercizi risolti per la derivata di una funzione logaritmica

Derivate trigonometriche

Le tre principali derivate trigonometriche sono la derivata della funzione seno, della funzione coseno e della funzione tangente, le cui formule sono le seguenti:

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1pt, boxsep=1.8mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \begin{array}{l}f(x)=\text{sen}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(x)\\[2.5ex] f(x)=\text{cos}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\text{sen}(x)\\[1.1ex]f(x)=\text{tan}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{\text{cos}^2(x)}\end{array} \end{empheq}$

Logicamente, esistono diversi tipi di funzioni trigonometriche, come secante, cosecante, cotangente, funzioni trigonometriche iperboliche, funzioni trigonometriche inverse, ecc. Ma le regole più utilizzate per il drifting sono le tre sopra.

regole di rinvio

Quando abbiamo operazioni con funzioni, le derivate vengono risolte diversamente. Per fare ciò, dobbiamo utilizzare le regole di differenziazione , che ci permettono di derivare addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione di funzioni.

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \begin{array}{l}z(x)=f(x)\pm g(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} z'(x)=f'(x)\pm g'(x)\\[4ex] z(x)=f(x)\cdot g(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} z'(x)=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)\\[4ex]z(x)=\cfrac{f(x)}{g(x)} \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} z'(x)=\cfrac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{\bigl(g(x)\bigr)^2}\end{array} \end{empheq}$

Pertanto, per risolvere le derivate con le operazioni, non dobbiamo solo applicare le regole delle derivate, ma dobbiamo anche utilizzare la formula per ciascun tipo di derivata.

Affinché tu possa vedere come trovare questo tipo di derivato, risolveremo diversi esercizi di seguito:

Derivata di una somma:

$f(x)=3x^2+5x$

$f'(x)=6x+5$

Come puoi vedere, per risolvere la derivata dell’intera funzione, è stata applicata la formula della derivata di una potenza a ciascun termine della somma.

Derivato da un prodotto:

$f(x)=4^{x}\cdot \text{sen}(x)$

La derivata del primo termine del prodotto è 4 ^x ln(4), e la derivata del seno è il coseno. Quindi la derivata della moltiplicazione è:

$f'(x)=4^{x}\cdot \ln (4) \cdot \text{sen}(x) +4^{x}\cdot \text{cos}(x)$

Derivata di un quoziente:

$f(x)=\cfrac{x^3+4x^2}{5x^2-8}$

Al numeratore e al denominatore della frazione abbiamo un polinomio, quindi per ottenere la derivata dobbiamo utilizzare la formula per la derivata di un quoziente, la formula per la derivata di un’addizione (o sottrazione) e la formula per la derivata di ha potere:

$\begin{aligned}f'(x)&=\cfrac{(3x^2+8x)\cdot (5x^2-8)-(x^3+4x^2)\cdot 10x}{\left(5x^2-8\right)^2}\\[2ex]&=\cfrac{15x^4-24x^2+40x^3-64x-10x^4-40x^3}{25x^4+64-80x^2}\\[2ex]&=\cfrac{5x^4-24x^2-64x}{25x^4-80x^2+64}\end{aligned}$

Regola di derivazione

La regola della catena è una formula utilizzata per derivare funzioni composte. La regola della catena afferma che la derivata di una funzione composta f(g(x)) è uguale alla derivata f'(g(x)) moltiplicata per la derivata g'(x) .

Questa nozione di derivati è generalmente più difficile da assimilare, quindi risolveremo passo dopo passo un esercizio a titolo di esempio:

$f(x)=\text{sen}(x^3)$

In effetti è una composizione di funzioni perché abbiamo la funzione x ³ all’interno della funzione seno, quindi dobbiamo usare la regola della catena per trovare la derivata della funzione composta.

Da un lato, la derivata del seno è il coseno, quindi la derivata della funzione esterna sarà il coseno con lo stesso argomento del seno:

$f\bigl(g(x)\bigr)=\text{sen}(x^3) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'\bigl(g(x)\bigr)=\text{cos}(x^3)$

E, d’altra parte, calcoliamo la derivata di x ³ utilizzando la formula per la derivata di una potenza:

$g(x)=x^3\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} g'(x)=3x^2$

Pertanto, la derivata della funzione composta intera è il prodotto delle due derivate:

$f(x)=\text{sen}(x^3) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(x^3)\cdot 3x^2$

➤ Vedi: esercizi di derivata risolti con la regola della catena

Differenziabilità di una funzione

La continuità e la differenziabilità di una funzione in un punto sono correlate come segue:

Se una funzione è differenziabile in un punto, in quel punto la funzione è continua.
Se una funzione non è continua in un punto, in quel punto non è nemmeno differenziabile.

Tuttavia è falso il contrario di questo teorema, cioè solo perché una funzione è continua in un punto non significa che sia sempre differenziabile in quel punto.

Puoi anche vedere se una funzione è differenziabile o meno in un punto del suo grafico:

Se è un punto liscio, la funzione a questo punto è differenziabile.
Se è un punto angolare, la funzione è continua ma non differenziabile in questo punto.

Punto liscio in x=0:
funzione continua e differenziabile a questo punto.

Punto inclinato in x=2:
funzione continua ma non differenziabile a questo punto.

Puoi anche capire se una funzione a tratti è differenziabile in un punto calcolando le derivate laterali in quel punto:

Se le derivate laterali in un punto non sono uguali, la funzione in quel punto non è differenziabile:

$f'(x_o^-) \neq f'(x_o^+) \ \longrightarrow$

Non è differenziabile in

$x_o$

Se le derivate laterali in un punto coincidono, la funzione in quel punto è differenziabile:

$f'(x_o^-) = f'(x_o^+) \ \longrightarrow$

Sì, è derivabile

$x_o$

Vediamo ora un esempio di calcolo della derivata di una funzione definita a tratti in un punto:

Studia la continuità e la differenziabilità della seguente funzione a tratti nel punto x=2:

$\displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} 3x^2-6x & \text{si} & x<2 \\[2ex] 6\ln (x-1) & \text{si} & x\geq 2 \end{array} \right.$

Le funzioni di entrambe le sezioni sono continue nei rispettivi intervalli, occorre però verificare se la funzione è continua nel punto critico x=2. Per fare ciò risolviamo i limiti laterali della funzione nel punto:

$\lim\limits_{x\to 2^-} f(x) = \lim\limits_{x\to 2^-} \bigl(3x^2-6x\bigr) = 3\cdot2^2-6\cdot2=12-12=\bm{0}$

$\lim\limits_{x\to 2^+} f(x) = \lim\limits_{x\to 2^+} 6\ln (x-1) = 6\ln (2-1)=6 \ln 1=6 \cdot 0= \bm{0}$

I limiti laterali nel punto critico ci hanno dato lo stesso risultato, quindi la funzione è continua nel punto x=2.

Una volta che sappiamo che la funzione è continua in x=2, studieremo a questo punto la differenziabilità della funzione. Per fare ciò, calcoliamo le derivate laterali della funzione definita a tratti:

$\displaystyle f'(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} 6x-6 & \text{si} & x<2 \\[2ex] \cfrac{6}{x-1} & \text{si} & x\geq 2 \end{array} \right.$

Ora valutiamo ciascuna derivata laterale nel punto critico:

$f'(2^-)=6\cdot2-6=12-6 = \bm{6}$

$f'(2^+)=\cfrac{6}{2-1} = \cfrac{6}{1} = \bm{6}$

Le due derivate laterali ci hanno dato lo stesso risultato, quindi la funzione è differenziabile in x=2 e il valore della derivata è 6:

$f'(2^-) = f'(2^+) = 6 \ \longrightarrow \ \bm{f'(2) = 6}$

D’altra parte, se le derivate laterali ci avessero dato un risultato diverso, ciò significherebbe che la funzione non è differenziabile in x=2. In altre parole, la derivata a questo punto non esisterebbe.

➤ Vedi: esercizi risolti per la differenziabilità di una funzione