▷ Derivata di una somma (formula ed esercizi risolti)

Qui spieghiamo come derivare una somma di funzioni (formula). Inoltre, potrai vedere esempi di derivate di somme e potrai anche esercitarti con esercizi risolti sulla derivata di una somma. E infine troverai la dimostrazione della formula per la derivata di una somma.

Formula per la derivata di una somma

La derivata di una somma di due funzioni è uguale alla somma delle derivate di ciascuna funzione separatamente.

$z(x)=f(x)+g(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} z'(x)=f'(x)+g'(x)$

In altre parole, derivare due funzioni separatamente e poi sommarle equivale a sommare prima le funzioni e poi ricavare la derivata.

Tieni presente che la regola della derivata dell’addizione si applica anche alla sottrazione, quindi se una funzione ha davanti un segno negativo invece di un segno positivo, dobbiamo usare la stessa formula anche per differenziarla.

$z(x)=f(x)\pm g(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} z'(x)=f'(x)\pm g'(x)$

Inoltre, l’addizione è un’operazione che possiede la proprietà associativa, ovvero che il numero di addizioni coinvolte nell’addizione è indifferente, poiché la derivata dell’intera funzione continuerà ad essere la somma della derivata di ciascuna funzione.

$\begin{array}{c}z(x)=f(x)\pm g(x) \pm h(x)\pm \dots\\[1.5ex]\color{orange}\bm{\downarrow}\quad\color{black} \\[1.5ex]z'(x)=f'(x)\pm g'(x)\pm h'(x)\pm \dots\end{array}$

Esempi di derivata di una somma

Una volta che abbiamo visto qual è la formula per la derivata di una somma, vedremo diversi esempi di derivate di questo tipo di operazioni per comprendere appieno come si derivano le somme di funzioni.

Esempio 1: Derivata di una somma di funzioni potenziali

$f(x)=3x^2+5x$

La derivata della somma di due funzioni è uguale alla derivata di ciascuna funzione separatamente. Pertanto, calcoliamo prima la derivata di ciascuna funzione separatamente:

$\cfrac{d}{dx} \ 3x^2=6x$

$\cfrac{d}{dx}\ 5x=5$

Pertanto, la derivata dell’intera funzione sarà la somma delle due derivate calcolate:

$f'(x)=6x+5$

Esempio 2: Derivata di una somma di funzioni diverse

$f(x)=\text{sen}(x)+\ln(x)$

Per differenziare la somma delle funzioni, è necessario differenziare le due funzioni separatamente e poi sommarle. Ricaviamo quindi le funzioni:

$\cfrac{d}{dx} \ \text{sen}(x)=\text{cos}(x)$

$\cfrac{d}{dx}\ \ln (x)=\cfrac{1}{x}$

E poi aggiungiamo le due derivate trovate:

$f'(x)=\text{cos}(x)+\cfrac{1}{x}$

Esempio 3: derivata di una somma quadrata

$f(x)=\left(3x^4+7x^2+1\right)^2$

In questo caso abbiamo una funzione composta, poiché abbiamo una somma di funzioni elevate a una potenza. Pertanto, dobbiamo applicare la regola della catena per derivare l’intera funzione:

$f(x)=2\left(3x^4+7x^2+1\right)\cdot (12x^3+14x)$

➤ Vedi: ricavare una potenza

Esercizi risolti sulle derivate di somme di funzioni

Derivare le seguenti somme di funzioni

$\text{A) } f(x)=6x^3+9x^2$

$\text{B) } f(x)=x^4+10x^3+5x$

$\text{C) } f(x)=3x^2-4x+7$

$\text{D) } f(x)=\text{cos}(x)+e^{3x}$

$\text{E) } f(x)=\left(x^3+4x^2+6x\right)^3$

$\text{F) } f(x)=\log_3(8x^2+2x)-x^7+e^{x^2}$

Vedi la soluzione

$\text{A) } f'(x)=18x^2+18x$

$\text{B) } f'(x)=4x^3+30x^2+5$

$\text{C) } f'(x)=6x-4$

$\text{D) } f'(x)=-\text{sen}(x)+3e^{3x}$

$\text{E) } f'(x)=3\left(x^3+4x^2+6x\right)^2\cdot (3x^2+8x+6)$

$\text{F) } f'(x)=\cfrac{16x+2}{(8x^2+2x)\ln(3)}-7x^6+2x\cdot e^{x^2}$

Dimostrazione della formula per la derivata di una somma

In quest’ultima sezione dimostreremo la formula per la derivata di una somma di funzioni. E, per fare ciò, ricorriamo alla definizione matematica della derivata, che è la seguente:

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Sia quindi z la somma di due diverse funzioni:

$z(x)=f(x)+g(x)$

$\displaystyle z'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{z(x+h)-z(x)}{h}$

Sostituiamo ora z alla somma delle funzioni nell’espressione limite:

$\displaystyle z'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{\bigl[f(x+h)+g(x+h)\bigr]-\bigl[f(x)+g(x)\bigr]}{h}$

$\displaystyle z'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)+g(x+h)-f(x)-g(x)}{h}$

Trasformiamo la frazione per avere la somma di due frazioni, ciascuna corrispondente a ciascuna funzione di addizione:

$\displaystyle z'(x)=\lim_{h \to 0}\left[\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\right]$

Grazie alle proprietà dei limiti possiamo separare l’espressione precedente in due limiti, poiché il limite di una somma equivale alla somma dei limiti:

$\displaystyle z'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\lim_{h \to 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}$

E, come abbiamo visto sopra nella definizione di derivata, ogni limite corrisponde alla derivata di una funzione. Si ottiene quindi la seguente uguaglianza:

$\displaystyle z'(x)=f'(x)+g'(x)$

Derivato da una somma