Derivata di una funzione logaritmica

Qui troverai come risolvere la derivata di una funzione logaritmica in qualsiasi base (formula). Inoltre, potrai esercitarti con esercizi passo passo sulle derivate delle funzioni logaritmiche.

La formula per dividere una funzione logaritmica varia a seconda che il logaritmo sia naturale (in base e) o un’altra base . Quindi vedremo prima le due formule separatamente con un esempio per ogni caso, e poi faremo un riassunto delle due regole.

Derivato di un naturale o logaritmo naturale

La derivata di un logaritmo naturale (o logaritmo naturale) è il quoziente della derivata dell’argomento del logaritmo diviso per la funzione dell’argomento.

f(x)=\ln(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u}

Logicamente, se la funzione all’interno del logaritmo è la funzione identità, al numeratore della derivata rimane un 1:

f(x)=\ln(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{x}

Guarda il seguente esempio in cui viene risolta la derivata del logaritmo naturale di 3x:

f(x)=\ln(3x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{3}{3x}=\cfrac{1}{x}

Ricorda che il logaritmo naturale è un logaritmo la cui base è il numero e (numero di Eulero).

\ln(x)=\log_e(x)

Derivata di un logaritmo basato su

La derivata di un logaritmo rispetto a qualsiasi base è uguale a 1 diviso per il prodotto di x volte il logaritmo naturale della base del logaritmo originale.

f(x)=\log_a(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{x\cdot\ln(a)}

Quindi se applichiamo la regola della catena, la regola della derivata logaritmica è:

f(x)=\log_a(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u\cdot \ln(a)}

Ad esempio, la derivata del logaritmo in base 2 di x al quadrato è:

f(x)=\log_2(x^2) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{2x}{x^2\cdot\ln(2)}=\cfrac{2}{x\ln(2)}

Formula per la derivata di una funzione logaritmica

Considerando la definizione di derivata logaritmica e le sue due possibili varianti, ecco un riassunto delle due formule per facilitarne la memorizzazione.

derivata di una funzione logaritmica

Risolti problemi di derivate di funzioni logaritmiche

Esercizio 1

Derivare la seguente funzione logaritmica:

f(x)=\log(3x^2)

In questo caso è necessario risolvere la derivata di un logaritmo in base decimale, dobbiamo quindi applicare la seguente formula:

f(x)=\log_a(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u\cdot \ln(a)}

La derivata del logaritmo in base 10 è quindi:

f(x)=\log(3x^2) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{6x}{3x^2\cdot \ln(10)}=\cfrac{2}{x \ln(10)}

Ricorda che se un logaritmo non ha base significa che la sua base è 10.

Esercizio 2

Deriva il seguente logaritmo naturale (o naturale):

f(x)=\ln\left(x^3+4x^2\right)^5

La funzione in questo problema è un logaritmo naturale, quindi dobbiamo utilizzare la seguente regola per derivare la funzione logaritmica:

f(x)=\ln(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u}

La derivata del logaritmo naturale è quindi:

\begin{aligned}f'(x)&=\cfrac{5\left(x^3+4x^2\right)^4\cdot (3x^2+8x)}{\left(x^3+4x^2\right)^5}\\[2ex] &=\cfrac{5\cdot (3x^2+8x)}{x^3+4x^2}\\[2ex] &=\cfrac{15x^2+40x}{x^3+4x^2}\\[2ex] &=\cfrac{15x+40}{x^2+4x}\end{aligned}

Esercizio 3

Ricavare il seguente logaritmo:

f(x)=\log_7(x^5+7x^2-3x+1)

In questo esercizio dobbiamo ricavare un logaritmo in base 7, quindi utilizzeremo la seguente formula:

f(x)=\log_a(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u\cdot \ln(a)}

E la derivata del logaritmo è:

f'(x)=\cfrac{5x^4+14x-3}{(x^5+7x^2-3x+1)\cdot \ln(7)}

Esercizio 4

Trova la derivata della seguente funzione logaritmica con una frazione:

\displaystyle f(x)=\log_4\left(\frac{5x}{8x^2-1}\right)

Per risolvere la derivata logaritmica possiamo prima semplificare la funzione applicando le proprietà dei logaritmi:

f(x)=\log_4(5x)-\log_4(8x^2-1)

Ora dobbiamo usare due volte la formula della derivata logaritmica, ma entrambe le derivate sono più facili da calcolare.

f(x)=\log_a(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u\cdot \ln(a)}

In sintesi la derivata della funzione è:

\begin{aligned}f'(x)&=\cfrac{5}{5x\cdot \ln(4)}-\cfrac{16x}{(8x^2-1)\cdot \ln(4)}\\[2ex]&=\cfrac{1}{x\ln(4)}-\cfrac{16x}{(8x^2-1)\ln(4)}\end{aligned}

Esercizio 5

Calcola la derivata della seguente funzione logaritmica con una radice:

f(x)=\ln\left(\sqrt[4]{\text{cos}(9x)}\right)

Per prima cosa semplificheremo la funzione utilizzando le proprietà dei logaritmi:

f(x)=\ln\left(\text{cos}(9x)\right)^{\frac{1}{4}}

\displaystyle f(x)=\frac{1}{4}\ln\left(\text{cos}(9x)\right)

E una volta eliminato il radicale dalla funzione, usiamo la regola per la derivata del naturale o logaritmo naturale:

f(x)=\ln(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u}

Pertanto, la derivata della funzione logaritmica composta è:

f'(x)&=\cfrac{1}{4}\cdot \cfrac{-\text{sen}(9x)\cdot 9}{\text{cos}(9x)}=\cfrac{-9\text{sen}(9x)}{4\text{cos}(9x)}

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