▷ Derivata di una costante (esempi risolti)

Qui spieghiamo quanto vale la derivata di una costante (con esempi). Ti insegniamo anche come calcolare la derivata di una costante moltiplicata per una funzione, di una costante divisa per una funzione e di una costante elevata come funzione. Infine, puoi esercitarti con esercizi risolti sulle derivate delle costanti.

Qual è la derivata di una costante

La derivata di una costante è sempre zero , indipendentemente dal valore della costante.

$f(x)=k \quad \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=0$

Pertanto, per trovare la derivata di una funzione costante, non è necessario fare alcun calcolo, la derivata è semplicemente zero.

La derivata di una costante è zero perché il grafico di una funzione costante non ha pendenza.

Esempi di derivate di costanti

Data la definizione di derivata di una funzione costante, vedremo diversi esempi risolti per comprendere appieno il concetto:

$\begin{array}{c}f(x)=3 \qquad \longrightarrow\qquad f'(x)=0\\[3ex]g(x)=-5 \qquad \longrightarrow\qquad g'(x)=0\\[3ex]h(x)=291 \qquad \longrightarrow\qquad h'(x)=0\end{array}$

Come puoi vedere, la derivata di una costante dà sempre 0. Non importa se il segno della costante è positivo o negativo, o se il valore della costante è molto grande o molto piccolo, la sua derivata sarà zero.

Dimostrazione della derivata di una costante

Una volta visto quanto vale la derivata di una costante, dimostreremo perché questo tipo di derivata è uguale a zero.

Sia f una funzione costante di qualsiasi valore:

$f(x)=k$

La formula per calcolare la derivata di una funzione in un punto è:

$\displaystyle f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

➤ Vedi: definizione di derivata

Quindi se risolviamo il limite della funzione costante:

$\displaystyle f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{k-k}{h}=\frac{0}{h}=0$

Quindi la derivata di una funzione costante è 0 in ogni punto. Pertanto, viene dimostrata la formula per la derivata di una costante.

Derivata di una costante da una funzione

Abbiamo appena analizzato la derivata di un’unica costante, cioè di una funzione senza variabili. Ma come sai, le funzioni possono essere combinate usando le operazioni. Pertanto di seguito studieremo le derivate delle costanti combinate con altri tipi di funzioni, ad esempio la derivata di una costante moltiplicata per un altro tipo di funzione.

La derivata di una costante moltiplicata per una funzione è uguale alla costante moltiplicata per la derivata della funzione.

$f(x)=k\cdot g(x)\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=k\cdot g'(x)$

Ad esempio, la derivata della seguente funzione quadratica è:

$g(x)=x^2\quad \longrightarrow\quad g'(x)=2x$

Pertanto, la derivata della moltiplicazione di questa funzione per una costante equivale a moltiplicare la derivata calcolata nel passaggio precedente per la costante:

$f(x)=5\cdot x^2\quad \longrightarrow\quad f'(x)=5\cdot 2x=10x$

Derivata di una costante tra una funzione

La derivata di una costante tra una funzione è uguale al prodotto della costante modificata per la derivata della funzione divisa per la funzione al quadrato.

$f(x)=\cfrac{k}{g(x)}\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=\cfrac{-k\cdot g'(x)}{\bigl[g(x)\bigr]^2}$

Ad esempio, la derivata della seguente costante divisa per una funzione lineare è:

$f(x)=\cfrac{3}{8x}\quad\longrightarrow\quad f'(x)=\cfrac{-3\cdot 8}{\bigl[8x\bigr]^2}=\cfrac{-24}{64x^2}=\cfrac{-3}{8x^2}$

Poiché la derivata di 8x è 8.

Derivata di una costante elevata in funzione

La derivata di una costante elevata in funzione è uguale al prodotto del logaritmo naturale della costante moltiplicato per la costante elevata in funzione per la derivata della funzione.

$f(x)=k^{g(x)}\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=\ln(k)\cdot k^{g(x)} \cdot g'(x)$

Ad esempio, poiché la derivata del seno è coseno, differenziando una grande costante in seno si ottiene:

$f(x)=2^{sen(x)}\quad\longrightarrow\quad f'(x)=\ln(2)\cdot 2^{sen(x)} \cdot cos(x)$

Esercizi risolti sulle derivate delle costanti

Risolvi le seguenti derivate delle costanti:

$\text{A)}\ f(x)=4$

$\text{B)}\ f(x)=99$

$\text{C)}\ f(x)=-15$

$\text{D)}\ f(x)=\cfrac{3}{11}$

$\text{E)}\ f(x)=\sqrt{29}$

$\text{F)}\ f(x)=2\pi$

$\text{G)}\ f(x)=2\cdot (3x-4)$

$\text{H)}\ f(x)=\cfrac{10}{x^2}$

$\text{I)}\ f(x)=5^{x^3+2x}$

Vedi la soluzione

Fino all’esercizio F), tutte le funzioni sono semplici valori costanti, quindi tutte le loro derivate danno zero.

$\text{A)}\ f'(x)=0$

$\text{B)}\ f'(x)=0$

$\text{C)}\ f'(x)=0$

$\text{D)}\ f'(x)=0$

$\text{E)}\ f'(x)=0$

$\text{F)}\ f'(x)=0$

Anche se è una frazione o una radice, se la funzione non ha variabili, significa che è una funzione costante e, quindi, la sua derivata è zero.

Al contrario, i tre esercizi seguenti sono funzioni che sono operazioni di costanti con altre funzioni. Pertanto, per calcolare le loro derivate, dobbiamo applicare le formule corrispondenti:

$\text{G)}\ f'(x)=2\cdot 3=6$

$\text{H)}\ f'(x)=\cfrac{-10\cdot 2x}{\bigl[x^2\bigr]^2}=\cfrac{-20x}{x^4}=\cfrac{-20}{x^3}$

$\text{I)}\ f(x)=\ln(5)\cdot 5^{x^3+2x}\cdot (3x^2+2)$

Derivato da una costante