Derivato della tangente iperbolica

Qui troverai qual è la derivata della tangente iperbolica di una funzione. Inoltre, potrai vedere diversi esempi risolti di derivate di tangenti iperboliche. E infine, ti mostriamo la formula per la derivata della tangente iperbolica.

Formula per la derivata della tangente iperbolica

La derivata della tangente iperbolica di x è uguale a 1 diviso per il quadrato del coseno iperbolico di x. Anche la derivata della tangente di x è equivalente al quadrato della secante iperbolica di x e 1 meno il quadrato della tangente iperbolica di x.

$\begin{array}{c}f(x)=\text{tanh}(x)\\[1.5ex]\color{orange}\bm{\downarrow}\color{black}\\ f'(x)=\cfrac{1}{\text{cosh}^2(x)}=\text{sech}^2(x)=1-\text{tanh}^2(x)\end{array}$

Se invece nell’argomento funzione abbiamo una funzione diversa da x, dobbiamo applicare la regola della catena. E poi le tre formule per la derivata della tangente iperbolica sono:

$\begin{array}{c}f(x)=\text{tanh}(u)\\[1.5ex]\color{orange}\bm{\downarrow}\color{black}\\ f'(x)=\cfrac{u'}{\text{cosh}^2(u)}=\text{sech}^2(u)\cdot u'=\left(1-\text{tanh}^2(u)\right)\cdot u'\end{array}$

Ciò non significa che ogni volta che ricaviamo la tangente iperbolica dobbiamo usare tutte e tre le formule, ma piuttosto che possiamo usarne una qualsiasi per ricavarla. Quindi, a seconda della funzione dell’argomento tangente iperbolica, sarà meglio utilizzare una formula o un’altra. Di seguito sono riportati alcuni esempi in cui è possibile vedere come viene derivata la tangente iperbolica di una funzione.

La derivata della tangente iperbolica è quasi identica alla derivata della tangente, ma ha un piccolo dettaglio che le rende totalmente diverse. Puoi vedere qual è la differenza nel seguente link:

➤ Vedi: formula della derivata tangente

Esempi di derivata della tangente iperbolica

Dopo aver visto qual è la formula per la derivata della tangente iperbolica, ecco alcuni esempi risolti di derivate di questo tipo di funzioni trigonometriche in modo da comprendere appieno come derivare la tangente iperbolica.

Esempio 1: Derivata della tangente iperbolica di 2x

$f(x)=\text{tanh}(2x)$

Per ricavare la tangente iperbolica in questo esempio, utilizzeremo la formula del coseno iperbolico, anche se ovviamente puoi usare quella che preferisci.

$f(x)=\text{tanh}(u)\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{\text{cosh}^2(u)}$

Sappiamo che la derivata di 2x è 2, quindi la derivata dell’intera funzione è:

$f(x)=\text{tanh}(2x)\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{2}{\text{cosh}^2(2x)}$

Esempio 2: Derivata della tangente iperbolica di x al quadrato

$f(x)=\text{tanh}(x^2)$

La regola per la derivata della tangente iperbolica di una funzione è:

$f(x)=\text{tanh}(u)\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{\text{cosh}^2(u)}$

Da un lato differenziamo la funzione dall’argomento x ² , che dà 2x, e poi risolviamo la derivata dell’intera funzione utilizzando la formula:

$f(x)=\text{tanh}(x^2)\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{2x}{\text{cosh}^2(x^2)}$

Esempio 3: Derivata della tangente iperbolica al cubo

$f(x)=\text{tanh}^3(7x^2)$

In questo caso dobbiamo ricavare la tangente iperbolica di una funzione che, peraltro, è elevata a potenza. Dobbiamo quindi utilizzare la formula per la derivata di una funzione potenziale, la regola per la derivata della tangente iperbolica e la regola della catena:

$f'(x)=3\text{tanh}^2(7x^2)\cdot \cfrac{14x}{\text{cosh}^2(7x^2)}}=\cfrac{42x\cdot \text{tanh}^2(7x^2)}{\text{cosh}^2(7x^2)}}$

Dimostrazione della derivata della tangente

In questa sezione dimostreremo la formula per la derivata della tangente iperbolica. E, per questo, partiremo dall’identità trigonometrica che collega i tre rapporti trigonometrici iperbolici:

$\text{tanh}(x)=\cfrac{\text{senh}(x)}{\text{cosh}(x)}$

➤ Nota: per comprendere la dimostrazione, è necessario sapere qual è la derivata del seno iperbolico e qual è la derivata del coseno iperbolico . Ti consigliamo pertanto di visitare le pagine collegate prima di proseguire.

Ora applichiamo la formula per la derivata di un quoziente:

$\displaystyle\left(\text{tanh}(x)\right)'=\left(\frac{\text{senh}(x)}{\text{cosh}(x)}\right)'$

$\text{tanh}'(x)=\cfrac{\text{cosh}(x)\cdot \text{cosh}(x)-\text{senh}(x)\text{senh}(x) }{\text{cosh}^2(x)}$

$\text{tanh}'(x)=\cfrac{\text{cosh}^2(x)-\text{senh}^2(x)}{\text{cosh}^2(x)}$

Riduciamo l’espressione del numeratore della frazione utilizzando la seguente formula:

$\text{cosh}^2(x)-\text{senh}^2(x)=1$

$\text{tanh}'(x)=\cfrac{1}{\text{cosh}^2(x)}$

Come puoi vedere, l’uguaglianza precedente corrisponde alla prima formula per la derivata della tangente iperbolica. Allo stesso modo, la secante iperbolica è l’inverso moltiplicativo del coseno iperbolico, quindi si deriva anche la seconda formula:

$\text{tanh}'(x)=\text{sech}^2(x)$

Infine, possiamo arrivare alla terza regola della derivata della tangente iperbolica convertendo la frazione del passaggio precedente in una sottrazione di frazioni:

$\text{tan}'(x)=\cfrac{\text{cosh}^2(x)-\text{senh}^2(x)}{\text{cosh}^2(x)}$

$\text{tanh}'(x)=\cfrac{\text{cosh}^2(x)}{\text{cosh}^2(x)}-\cfrac{\text{senh}^2(x)}{\text{cosh}^2(x)}$

$\text{tanh}'(x)=1-\text{tanh}^2(x)$