Derivato della funzione esponenziale

In questo articolo spieghiamo come derivare una funzione esponenziale. Troverai la formula per la derivata esponenziale (con base a e base e) ed esercizi risolti per le derivate delle funzioni esponenziali.

La regola per la derivata della funzione esponenziale dipende dalla base della potenza , poiché a seconda che la base sia un numero qualsiasi (a) o il numero e, la funzione deriva diversamente. Ecco perché di seguito esamineremo ciascun caso separatamente e poi riassumeremo le due formule per comprendere appieno come derivare una funzione esponenziale.

Derivata della funzione esponenziale con base a

La derivata della funzione esponenziale con base a è uguale al prodotto della funzione e del logaritmo naturale della base della potenza e della derivata dell’esponente.

$f(x)=a^u \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=a^u\cdot \ln(a) \cdot u'$

Ad esempio, la derivata della seguente funzione esponenziale è:

$f(x)=5^{x^2+1} \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=5^{x^2+1}\cdot \ln(5) \cdot 2x$

Derivata della funzione esponenziale con base e

La derivata della funzione esponenziale con base e equivale al prodotto della stessa funzione per la derivata dell’esponente.

$f(x)=e^u \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=e^u\cdot u'$

Ad esempio, la derivata del numero e elevato a 4x è:

$f(x)=e^{4x}\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=e^{4x} \cdot 4=4e^{4x}$

Formula della derivata esponenziale

Come abbiamo visto, la derivata di una funzione esponenziale dipende dalla sua base. E le due formule utilizzate per derivare le funzioni esponenziali sono:

Derivata esponenziale da e a x

Una volta visto cos’è la formula della derivata esponenziale, analizzeremo il caso della derivata di e in x, perché è un caso curioso.

La derivata della funzione da e a x dà sempre come risultato la funzione stessa , ovvero, non importa quante volte differenziamo la funzione e ^x , otterremo sempre la stessa funzione.

$\begin{array}{c} f(x)=e^x \\[2ex] f'(x)=e^x\\[2ex] f''(x)=e^x\\[2ex] f'''(x)=e^x\\ \vdots\\ f^n(x)=e^x\end{array}$

Questa proprietà della funzione e elevata a x è dovuta al fatto che la derivata di x è 1. Pertanto, quando si deriva, moltiplichiamo sempre la funzione stessa per 1 e, di conseguenza, otteniamo sempre la funzione d’origine.

$f(x)=e^x \quad\longrightarrow\quad f'(x)=e^x\cdot 1= e^x$

Risolti problemi di derivate di funzioni esponenziali

Esercizio 1

Derivare la seguente funzione esponenziale:

$f(x)=3^x$

vedi soluzione

La funzione si basa su un numero diverso da e, quindi dobbiamo utilizzare la seguente formula:

$f(x)=a^u \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=a^u\cdot \ln(a) \cdot u'$

La derivata della funzione esponenziale in base 3 è quindi:

$f(x)=3^x \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=3^x\cdot \ln(3) \cdot 1=3^x\cdot \ln(3)$

Esercizio 2

Calcolare la derivata della seguente funzione esponenziale:

$f(x)=7^{3x^2-4x}$

vedi soluzione

La funzione in questo esercizio si basa su un numero diverso da e, quindi è necessario applicare la seguente formula:

$f(x)=a^u \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=a^u\cdot \ln(a) \cdot u'$

Quindi la derivata della funzione è:

$f(x)=7^{3x^2-4x} \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=7^{3x^2-4x}\cdot \ln(7) \cdot (6x-4)$

Esercizio 3

Trovare la derivata della seguente funzione esponenziale con base e:

$f(x)=e^{(5x^2-9x)^3}$

vedi soluzione

La funzione di questo esercizio ha come base il numero e, quindi possiamo utilizzare la seguente formula:

$f(x)=e^u \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=e^u\cdot u'$

E la derivazione della funzione esponenziale dà:

$f'(x)=e^{(5x^2-9x)^3} \cdot 3(5x^2-9x)^2\cdot (10x-9)$

Notiamo che per risolvere questa derivata dobbiamo utilizzare la regola della catena.

Esercizio 4

Trova la derivata della seguente funzione esponenziale con radice come esponente:

$f(x)=9^{\sqrt{5x}}$

➤ Vedi: derivata di una funzione radicale

vedi soluzione

Sebbene sia un’espressione radicale nell’esponente, dobbiamo comunque usare la regola per derivare la funzione esponenziale dalla base a:

$f(x)=a^u \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=a^u\cdot \ln(a) \cdot u'$

La derivata della funzione esponenziale composta è quindi:

$f'(x)=9^{\sqrt{5x}}\cdot \ln(9) \cdot \cfrac{5}{2\sqrt{5x}}$

Esercizio 5

Deriva la seguente funzione esponenziale dalla base e con esponente frazionario:

$f(x)=e^{\frac{x^2}{5-3x}}$

➤ Vedi: derivata di un quoziente di funzioni

vedi soluzione

La base della potenza è il numero e, quindi utilizzeremo la seguente regola per dividere la funzione:

$f(x)=e^u \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=e^u\cdot u'$

La derivata della funzione esponenziale è quindi:

$\begin{aligned}f'(x)&=e^{\frac{x^2}{5-3x}} \cdot \cfrac{2x\cdot (5-3x)-x^2\cdot (-3)}{(5-3x)^2}\\[3ex] &=e^{\frac{x^2}{5-3x}} \cdot \cfrac{10x-6x^2+3x^2}{(5-3x)^2}\\[3ex] &=e^{\frac{x^2}{5-3x}} \cdot \cfrac{10x-3x^2}{(5-3x)^2}\end{aligned}$

Derivata della funzione esponenziale con base a

Derivata della funzione esponenziale con base e

Formula della derivata esponenziale

Derivata esponenziale da e a x

Risolti problemi di derivate di funzioni esponenziali

Esercizio 1

Esercizio 2

Esercizio 3

Esercizio 4

Esercizio 5

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