Derivato del coseno iperbolico

In questo articolo spieghiamo come derivare il coseno iperbolico di una funzione. Inoltre, troverai esempi di derivate del coseno iperbolico e, infine, ti mostreremo la formula per questo tipo di derivata trigonometrica.

Formula derivata dal coseno iperbolico

La derivata del coseno iperbolico di x è il seno iperbolico di x.

$f(x)=\text{cosh}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{senh}(x)$

Pertanto, la derivata del coseno iperbolico di una funzione è uguale al prodotto del seno iperbolico della funzione e della derivata di quella funzione.

$f(x)=\text{cosh}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{senh}(u)\cdot u'$

La seconda formula è identica alla prima, l’unica differenza è che nella seconda si applica la regola della catena. Quindi, la prima formula può essere utilizzata solo per derivare il coseno iperbolico di x, mentre la seconda formula può essere utilizzata per derivare il coseno iperbolico di qualsiasi tipo di funzione.

Come puoi vedere, la formula per la derivata del coseno iperbolico è diversa dalla formula per la derivata del coseno, sebbene condividano alcune somiglianze.

➤ Vedi: formula per la derivata del coseno

Esempi di derivata del coseno iperbolico

Data la formula per la derivata del coseno iperbolico, di seguito risolviamo diversi esempi di derivate di questo tipo di funzioni trigonometriche. Ricorda, puoi porre tutte le domande che sorgono nei commenti.

Esempio 1: Derivata del coseno iperbolico di 2x

$f(x)=\text{cosh}(2x)$

In questo esempio abbiamo nell’argomento del coseno iperbolico una funzione diversa da x, quindi dobbiamo usare la formula per la derivata del coseno iperbolico con la regola della catena:

$f(x)=\text{cosh}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{senh}(u)\cdot u'$

La derivata di 2x è 2, quindi la derivata del coseno iperbolico di 2x è il seno iperbolico di 2x per 2.

$f(x)=\text{cosh}(2x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{senh}(2x)\cdot 2=2\text{cosh}(2x)$

Esempio 2: Derivata del coseno iperbolico di x al quadrato

$f(x)=\text{cosh}(x^2)$

Come abbiamo visto sopra, la regola per la derivata della funzione coseno iperbolico è:

$f(x)=\text{cosh}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{senh}(u)\cdot u'$

Pertanto, da un lato ricaviamo la funzione quadratica x ² , che dà 2x, quindi calcoliamo la derivata dell’intera funzione:

$f(x)=\text{cosh}(x^2) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{senh}(x^2)\cdot 2x$

Dimostrazione della formula della derivata del coseno iperbolico

Infine, ti mostreremo la formula derivata dal coseno iperbolico in modo che tu possa vedere da dove proviene. Se partiamo dall’espressione del coseno iperbolico:

$\text{cosh}(x)=\cfrac{e^x+e^{-x}}{2}$

Deduciamo da entrambi i lati dell’espressione:

$\displaystyle\bigl(\text{cosh}(x)\bigr)'=\left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)'$

Sul lato destro abbiamo la divisione, quindi applichiamo la formula per la derivata di un quoziente per trovare la derivata:

$\displaystyle\text{cosh}'(x)=\frac{(e^x-e^{-x})\cdot 2}{2^2}=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$

➤ Vedi: Regola derivata dal quoziente

Se si osserva attentamente, l’espressione ottenuta corrisponde a quella del seno iperbolico, il che significa che la seguente uguaglianza è equivalente:

$\displaystyle\text{cosh}'(x)=\text{senh}(x)$

E così siamo arrivati alla regola della derivata del coseno iperbolico, per la quale è dimostrata.

Formula derivata dal coseno iperbolico

Esempi di derivata del coseno iperbolico

Esempio 1: Derivata del coseno iperbolico di 2x

Esempio 2: Derivata del coseno iperbolico di x al quadrato

Dimostrazione della formula della derivata del coseno iperbolico

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