Linee coincidenti - Mathority

Qui troverai tutto sulle linee coincidenti: cosa significano, come determinare se due linee sono coincidenti, le loro proprietà, ecc. Inoltre potrai vedere esempi ed esercizi risolti di rette coincidenti.

Cosa sono due linee coincidenti?

Due rette coincidenti sono due rette che hanno tutti i punti in comune. Pertanto, due linee coincidenti sono completamente identiche.

Ad esempio, di seguito sono rappresentate graficamente due linee coincidenti, ciò che accade è che ne vedi solo una perché si sovrappongono (sono uguali).

Due linee coincidenti hanno sempre la stessa direzione, quindi geometricamente formano un angolo di 0º.

Ricordiamo invece che nel piano ci sono 4 possibilità nel concetto di posizione relativa tra due linee: due linee possono essere coincidenti, parallele , secanti e perpendicolari . Se vuoi, puoi controllare il significato di ciascun tipo di linea e la differenza tra loro in questi 3 link.

Come fai a sapere se due linee coincidono?

Sapere quando due linee coincidono dipende da se lavori con due coordinate (in R2) o con tre coordinate (in R3).

Determina due rette coincidenti nel piano

Quando operiamo nello spazio bidimensionale (2D), è molto facile vedere quando due linee coincidono e quando non nascono dall’equazione implicita o dall’equazione esplicita della linea.

Oltre a questi due modi, possiamo verificare se due rette coincidono anche risolvendo il sistema di equazioni formato dalle equazioni delle due rette (se il sistema dà infinite soluzioni ciò implica che coincidono). Ma questa procedura è più complicata e richiede tempo, quindi non la spiegheremo in dettaglio perché è meglio farlo partendo dai coefficienti dell’equazione implicita o dell’equazione esplicita.

Dall’equazione implicita (o generale) della retta

Un modo per verificare se due rette coincidono è utilizzare l’equazione implicita della retta, nota anche come equazione generale o cartesiana.

L’equazione implicita della retta corrisponde alla seguente espressione:

$Ax+By+C=0$

Ebbene , se due rette hanno i tre coefficienti proporzionali (A, B e C) , ciò implica che coincidono.

$r: \ Ax+By+C=0 \qquad \qquad s: \ A'x+B'y+C'=0$

$\cfrac{A}{A'} = \cfrac{B}{B'}= \cfrac{C}{C'} \quad \longrightarrow \quad \bm{r} \text{ y } \bm{s} \text{ son coincidentes}$

Ad esempio, le due righe seguenti corrispondono:

$r: \ 4x+6y-2=0 \qquad \qquad s: \ 2x+3y-1=0$

E coincidono perché i parametri A, B e C sono proporzionali tra loro:

$\cfrac{4}{2} = \cfrac{6}{3}= \cfrac{-2}{-1}= 2$

Dall’equazione esplicita della retta

Un altro modo per scoprire se due rette coincidono effettivamente è utilizzare l’equazione esplicita della retta. Ricordiamo che l’equazione esplicita della retta è la seguente:

$y=mx+n$

Se due rette hanno la stessa pendenza (coefficiente m) e la stessa ordinata nell’origine (coefficiente n), sono due rette combinate.

$r: \ y=m_rx+n_r \qquad \qquad s: \ y=m_sx+n_s$

$\left.\begin{array}{c} m_r = m_s \\[2ex] n_r=n_s \end{array} \right\} \longrightarrow \ \bm{r} \text{ y } \bm{s} \text{ son coincidentes}$

Ad esempio, le due linee seguenti sono identiche perché originariamente hanno pendenze e ordinate equivalenti:

$r: \ y=3x-1 \qquad \qquad s: \ y=3x-1$

È da notare che se avessero la stessa pendenza ma ordinate diversamente all’origine sarebbero rette parallele e non coincidenti.

Infine, come puoi vedere nell’esempio, le due rette coincidenti hanno la stessa equazione esplicita. Ciò è applicabile a qualsiasi tipo di equazione di retta: se due rette coincidono nella loro equazione, significa che sono coincidenti.

Trova due linee coincidenti nello spazio

Individuare due linee coincidenti nello spazio (in R3) è diverso da quello nel piano cartesiano (in R2), perché i calcoli devono essere eseguiti con una coordinata in più. Quindi, vediamo come è fatto:

Date le equazioni di due diverse rette nello spazio:

$\displaystyle r: \ \begin{cases} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \\[2ex]A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{cases} \qquad \qquad s: \ \begin{cases} A_1'x+B_1'y+C_1'z+D_1'=0 \\[2ex]A_2'x+B_2'y+C_2'z+D_2'=0 \end{cases}$

E siano M e M’ le matrici formate dai coefficienti delle rette:

$\displaystyle M=\begin{pmatrix} A_1&B_1&C_1\\[1.1ex]A_2&B_2&C_2 \\[1.1ex]A_1'&B_1'&C_1'\\[1.1ex]A_2'&B_2'&C_2' \end{pmatrix}\qquad \qquad M'=\begin{pmatrix} A_1&B_1&C_1&D_1 \\[1.1ex]A_2&B_2&C_2&D_2 \\[1.1ex]A_1'&B_1'&C_1'&D_1'\\[1.1ex]A_2'&B_2'&C_2'&D_2' \end{pmatrix}$

Allora, se il rango delle matrici M e M’ è uguale a 2, le due rette coincidono.

$rg(M)=rg(M') = 2 \ \longrightarrow \ \bm{r} \text{ y } \bm{s} \text{ son coincidentes}$

Vediamo un esempio di rette coincidenti nello spazio attraverso un esercizio risolto passo passo:

Determina se le due righe seguenti corrispondono o meno:

$\displaystyle r: \ \begin{cases} x+2y+z+3=0 \\[2ex]3x+4y+z+8=0 \end{cases} \qquad \qquad s: \ \begin{cases} x-z+2=0 \\[2ex]2y+2z+1=0 \end{cases}$

La matrice M e la matrice estesa M’ dei coefficienti delle rette sono:

$\displaystyle M=\begin{pmatrix} 1&2&1 \\[1.1ex]3&4&1 \\[1.1ex]1&0&-1\\[1.1ex]0&2&2\end{pmatrix}\qquad \qquad M'=\begin{pmatrix} 1&2&1&3 \\[1.1ex]3&4&1&8 \\[1.1ex]1&0&-1&2\\[1.1ex]0&2&2&1\end{pmatrix}$

Una volta costruite entrambe le matrici, dobbiamo calcolare l’intervallo di ciascuna matrice:

$rg(M)=2 \qquad \qquad rg(M') = 2$

I ranghi delle due matrici sono equivalenti e in più valgono 2. Le due righe vengono quindi confuse.