La linea: definizione, caratteristiche, tipologie, equazione…; -Matorietà

Spiegazione di tutto ciò che riguarda la linea: cos’è, i diversi tipi che esistono, come esprimere matematicamente una linea (equazioni), quali sono le posizioni relative delle linee, come calcolare l’angolo tra due linee, l’interpretazione della pendenza di una retta,….

Cos’è una linea?

La definizione matematica della linea è la seguente:

Una linea è un insieme infinito di punti consecutivi rappresentati nella stessa direzione senza curve o angoli.

Una linea corrisponde invece alla minima distanza possibile tra due punti diversi.

Inoltre, una linea è una linea che si estende nella stessa direzione, quindi ha solo una dimensione.

Tipi di linea

Abbiamo appena visto cosa sono le linee, ma devi sapere che esistono più tipologie di linee, ognuna con le proprie caratteristiche. Pertanto le linee possono essere classificate come segue:

Linee parallele

Le rette parallele sono quelle che non si incrociano mai, vale a dire che, anche se le loro traiettorie si prolungano all’infinito, non si toccano mai. Pertanto i punti di due rette parallele sono sempre alla stessa distanza l’uno dall’altro e, inoltre, due rette parallele non hanno punti in comune.

linee che si intersecano

In matematica due rette si intersecano quando si intersecano in un solo punto. Pertanto le rette che si intersecano hanno un solo punto in comune.

Un esempio di linee che si intersecano sono le linee perpendicolari , ovvero linee che si intersecano in un punto formando quattro angoli retti uguali (90º).

Come ben sai, le linee perpendicolari sono molto importanti e per questo abbiamo una pagina in cui spieghiamo tutto quello che c’è da sapere su questo tipo di linee: quando due linee sono perpendicolari, come calcolare una linea perpendicolare tra loro, esempi ed esercizi risolti su linee perpendicolari e molto altro ancora. Ti lascio quindi la pagina della perpendicolarità tra le linee nel caso volessi saperne di più.

D’altra parte, le linee che si intersecano ma non si intersecano formando un angolo di 90º, ma un altro angolo, sono chiamate linee oblique .

linee coincidenti

Due rette coincidenti sono due rette che hanno tutti i punti in comune. Pertanto, due linee coincidenti sono completamente identiche.

Ray

Si chiama mezza linea ciascuna delle due parti in cui una linea si divide tagliandola in uno dei suoi punti.

Ad esempio, la linea precedente può essere divisa per il punto A, formando così delle mezze linee

$s$

$t.$

Equazione della retta

Nella geometria analitica, per esprimere analiticamente qualsiasi retta, si utilizzano le equazioni della retta . E per trovare l’equazione di una retta, sia nel piano (in R2) che nello spazio (in R3), tutto ciò di cui hai bisogno è un punto appartenente alla retta e il vettore direzione di detta retta.

Come puoi vedere nella rappresentazione grafica della riga precedente, in questo caso le righe sono denominate con una lettera minuscola

$r.$

Esistono diversi tipi di equazioni di una linea. Tutti i tipi di equazioni di linea hanno lo stesso obiettivo: rappresentare matematicamente una linea. Ma ogni equazione della retta ha le sue proprietà e quindi, a seconda del problema, è meglio utilizzare l’una o l’altra. Di seguito hai le formule per tutte le equazioni della retta.

Equazione vettoriale della retta

Sì

$\vv{\text{v}}$

è il vettore direzione della linea e

$P$

un punto che appartiene a destra:

$\vv{\text{v}}= (\text{v}_1,\text{v}_2) \qquad P(P}_1,P_2)$

La formula per l’equazione vettoriale della retta è:

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} (x,y)=(P_1,P_2)+t\cdot (\text{v}_1,\text{v}_2) \end{empheq}$

Oro:

$x$

E

$y$

sono le coordinate cartesiane di ogni punto della retta.
$P_1$

E

$P_2$

sono le coordinate di un punto noto facente parte della linea

$P(P}_1,P_2).$
$\text{v}_1$

E

$\text{v}_2$

sono le componenti del vettore direzione della linea

$\vv{\text{v}}=(\text{v}_1,\text{v}_2).$
$t$

è uno scalare (un numero reale) il cui valore dipende da ciascun punto della linea.

Equazioni parametriche della retta

La formula per l’equazione parametrica di una retta è la seguente:

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases} \end{empheq}$

Oro:

$x$

E

$y$

sono le coordinate cartesiane di ogni punto della retta.
$P_1$

E

$P_2$

sono le coordinate di un punto noto facente parte della linea

$P(P}_1,P_2).$
$\text{v}_1$

E

$\text{v}_2$

sono le componenti del vettore direzione della linea

$\vv{\text{v}}=(\text{v}_1,\text{v}_2).$
$t$

è uno scalare (un numero reale) il cui valore dipende da ciascun punto della linea.

Equazione continua della retta

La formula per l’equazione continua della retta è:

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2} \end{empheq}$

Oro:

$x$

E

$y$

sono le coordinate cartesiane di ogni punto della retta.
$P_1$

E

$P_2$

sono le coordinate di un punto noto facente parte della linea

$P(P}_1,P_2).$
$\text{v}_1$

E

$\text{v}_2$

sono le componenti del vettore direzione della linea

$\vv{\text{v}}=(\text{v}_1,\text{v}_2).$

Equazione implicita o generale della retta

Sì

$\vv{\text{v}}$

è il vettore direzione della linea e

$P$

un punto che appartiene a destra:

$\vv{\text{v}}= (\text{v}_1,\text{v}_2) \qquad P(P}_1,P_2)$

La formula per l’ equazione implicita, generale o cartesiana della retta è:

Oro:

$x$

E

$y$

sono le coordinate cartesiane di ogni punto della retta.
il coefficiente
$A$

è la seconda componente del vettore direzione della retta:

$A=\text{v}_2}$
il coefficiente
$B$

è la prima componente del vettore di direzione cambiato segno:

$B=-\text{v}_1}$
il coefficiente
$C$

viene calcolato sostituendo il punto noto

$P$

nell’equazione della retta.

la formula, l’equazione implicita di una retta si può ottenere anche moltiplicando le frazioni dell’equazione continua.

Equazione esplicita della retta

La formula per l’equazione esplicita della retta è:

Oro:

$m$

è la pendenza della retta.
$n$

la sua intercetta y, cioè l’altezza alla quale interseca l’asse Y.

In questo caso particolare, un altro modo per calcolare l’equazione esplicita consiste nell’utilizzare l’equazione implicita; Per fare ciò, è sufficiente eliminare la variabile

$y$

dell’equazione implicita.

Equazione punto-pendenza della retta

La formula per l’equazione punto-pendenza della retta è la seguente:

Oro:

$m$

è la pendenza della retta.
$P_1, P_2$

sono le coordinate di un punto sulla retta

$P(P_1,P_2).$

Equazione canonica o segmentale della retta

Sebbene questa variante dell’equazione della retta sia meno conosciuta, l’equazione canonica della retta si può ottenere dai punti di intersezione della retta con gli assi cartesiani.

Siano i due punti di intersezione con gli assi di una data retta:

Tagliare con l’asse X:

$(a,0)$

Taglio con asse Y:

$(0,b)$

La formula per l’equazione canonica della retta è:

Abbiamo appena visto le formule per tutte le equazioni della retta, ma se lo desideri puoi approfondire ed esercitarti con esercizi sulle equazioni della retta . Inoltre, in questa pagina vedrai una spiegazione più dettagliata delle equazioni unifilari ed esempi di come vengono calcolati tutti i tipi di equazioni unifilari.

Significato della pendenza di una retta

Con tutte le informazioni di cui sopra, sappiamo già completamente come appare l’equazione di una retta e che un modo per descrivere una retta è mediante la sua pendenza. Ma in realtà… cosa significa la pendenza di una retta?

La pendenza di una linea indica le unità verticali in cui la linea sale per ciascuna unità orizzontale del grafico.

Ad esempio, nella rappresentazione della linea seguente, puoi vedere che essa avanza di 2 unità verticali per ogni unità orizzontale, perché la sua pendenza è pari a 2.

Inoltre, la pendenza di una linea ne indica anche la pendenza:

Se una linea è crescente (ascendente), la sua pendenza è positiva.
Se una linea è decrescente (discendente), la sua pendenza è negativa.
Se una linea è completamente orizzontale, la sua pendenza è pari a 0.
Se una linea è completamente verticale, la sua pendenza è uguale a infinito.

pendenza di una linea positiva o negativa

Posizione relativa di due rette nel piano

Quando si lavora con due dimensioni (in R2), ci sono 3 tipi di possibili posizioni relative tra due linee:

linee che si intersecano

Due rette che si intersecano hanno un solo punto in comune.

Linee parallele

posizione relativa delle rette parallele

Due rette sono parallele se non hanno un punto in comune. Cioè, se non si incrociano mai.

linee coincidenti

Due rette sono uguali se tutti i loro punti sono comuni.

D’altra parte, l’angolo tra due linee nel piano dipende anche dalla loro posizione relativa:

Le linee che si intersecano si intersecano con un angolo compreso tra 0º (non incluso) e 90º (incluso). Inoltre, se formano solo un angolo retto di 90º, significa che le due linee sono perpendicolari.
Le linee parallele formano un angolo di 0º poiché hanno la stessa direzione.
E, per lo stesso motivo, anche le linee coincidenti formano tra loro un angolo di 0º.

Angolo tra due linee

Esistono diversi metodi per calcolare l’angolo tra due linee e alcuni sono piuttosto complicati, quindi spiegheremo il modo più semplice per determinare l’angolo tra 2 linee.

La formula per calcolare l’angolo tra due linee utilizzando i loro vettori di direzione è:

Dati i vettori direzione di due linee diverse:

$\vv{\text{u}} = (\text{u}_x,\text{u}_y)\qquad \vv{\text{v}} = (\text{v}_x,\text{v}_y)$

L’angolo tra queste due linee può essere calcolato con la seguente formula:

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}\rvert}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert} \end{empheq}$

Oro

$\lvert \vv{\text{u}} \rvert$

$\lvert \vv{\text{v}} \rvert$

sono i moduli dei vettori

$\vv{\text{u}}$

$\vv{\text{v}}$

rispettivamente.

Ricorda che la formula per la grandezza di un vettore è:

$\displaystyle \lvert \vv{\text{v}} \rvert = \sqrt{ \text{v}_x^2+\text{v}_y^2}$

Ovviamente, una volta calcolato il coseno dell’angolo formato dalle due rette tramite la formula, dobbiamo invertire il coseno per conoscere il valore dell’angolo.

Cos’è una linea?

Tipi di linea

Linee parallele

linee che si intersecano

linee coincidenti

Ray

Equazione della retta

Equazione vettoriale della retta

Equazioni parametriche della retta

Equazione continua della retta

Equazione implicita o generale della retta

Equazione esplicita della retta

Equazione punto-pendenza della retta

Equazione canonica o segmentale della retta

Significato della pendenza di una retta

Posizione relativa di due rette nel piano

Angolo tra due linee

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