La covarianza è una misura statistica che ti aiuta a capire come due variabili cambiano insieme . Immagina di avere due variabili, come la temperatura e il consumo di gelato. Se all’aumentare della temperatura aumenta anche il consumo di gelato, allora le variabili hanno covarianza positiva. Se al contrario, all’aumentare della temperatura, il consumo di gelato diminuisce, allora hanno una covarianza negativa.
La covarianza ti dice se le variabili tendono a cambiare nella stessa direzione (positivo) o in direzioni opposte (negativo). Se non esiste uno schema chiaro nel modo in cui cambiano insieme, la covarianza sarà prossima allo zero, il che significa che non esiste una forte relazione lineare tra le variabili.
Come viene calcolata la covarianza?
Per calcolare la covarianza tra due variabili, è necessario disporre di un set di dati che includa i valori di entrambe le variabili . Quindi segui questi passaggi:
- Trova la media (media) di ciascuna variabile. Somma tutti i valori di ciascuna variabile e dividi il risultato per il numero totale di punti dati. Questo ti darà la media di ciascuna variabile.
- Sottrai la media di ciascuna variabile da ciascun valore corrispondente. Questo passaggio consiste nel sottrarre la media della variabile X da ciascun valore di X e nel fare lo stesso per la variabile Y.
- Moltiplica i risultati del passaggio precedente. Per ogni valore sottratto nel passaggio precedente, moltiplica il risultato corrispondente dell’altra variabile sottratta.
- Aggiungi i prodotti del passaggio precedente. Somma tutti i prodotti ottenuti nel passaggio precedente per ottenere un valore totale.
- Dividere il valore ottenuto nel passaggio precedente per il numero totale di dati. Questo valore è la covarianza tra le due variabili.
Ricorda che la covarianza può essere positiva, negativa o prossima allo zero. Una covarianza positiva indica che le variabili tendono a muoversi nella stessa direzione. D’altra parte, una covarianza negativa indica che le variabili tendono a cambiare in direzioni opposte. Infine, una covarianza prossima allo zero indica che non esiste uno schema chiaro nel modo in cui cambiano insieme.
Vediamo un esempio per capire meglio
Immaginiamo di avere due variabili, “ore di studio” (X) e “voto esame” (Y), e di avere i seguenti dati per un gruppo di 5 studenti:
Ore di studio (X): 4, 6, 3, 7, 5.
Risultato del test (Y): 85, 90, 80, 95, 88.
Passaggio 1: calcolare la media di ciascuna variabile
Media di X: (4 + 6 + 3 + 7 + 5) ÷ 5 = 5
Media di Y: (85 + 90 + 80 + 95 + 88) ÷ 5 = 86
Passaggio 2 : sottrai la media di ciascuna variabile da ciascun valore corrispondente
X – Media di X: -1, 1, -2, 2, 0
Y – Media di Y: -1, 4, -6, 9, 2
Passaggio 3 : moltiplicare i risultati ottenuti nel passaggio precedente
(-1) · (-1) = 1
14 = 4
(-2) · (-6) = 12
2 9 = 18
02 = 0
Passaggio 4 : aggiungere i prodotti ottenuti nel passaggio precedente
1 + 4 + 12 + 18 + 0 = 35
Passaggio 5: dividere il valore ottenuto nel passaggio precedente per il numero totale di dati
35 ÷ 5 = 7
Quindi, la covarianza tra le variabili “ore di studio” e “voto dell’esame” è 7.
Qual è la differenza tra varianza e covarianza?
La varianza è una misura che indica la dispersione statistica o la variabilità di un set di dati. Si calcola come media dei quadrati degli scostamenti dei singoli valori dalla media. Una varianza elevata significa che i dati sono distanziati o lontani dalla media , mentre una varianza bassa significa che i dati sono più vicini alla media.
D’altra parte, la covarianza è una misura che indica come due variabili si muovono insieme . È una misura della variazione congiunta di due variabili. Se la covarianza è positiva, significa che le due variabili tendono ad aumentare o diminuire insieme. Se la covarianza è negativa, ciò indica che una variabile tende ad aumentare quando l’altra diminuisce. Una covarianza prossima allo zero indica che le variabili non hanno una forte relazione lineare.
In breve, la varianza misura la variabilità di un insieme di dati stesso, mentre la covarianza misura la relazione di variazione congiunta tra due variabili.
Quanto è importante la covarianza?
La covarianza è una misura importante nelle statistiche e nell’analisi dei dati per diversi motivi. Generalmente, viene utilizzato per valutare la forza e la direzione della relazione tra due variabili. Un valore di covarianza vicino allo zero indica una relazione debole o assente , mentre un valore elevato indica una forte relazione tra le variabili.
D’altra parte, vale la pena ricordare che si tratta di uno strumento utile nella modellazione e previsione dei dati . Può essere utilizzato in tecniche avanzate di analisi dei dati, come la regressione lineare e l’analisi delle serie temporali, per comprendere come i cambiamenti in una variabile possono influenzare un’altra variabile.
È anche di grande importanza nella gestione del rischio finanziario. Permette di valutare come si muovono due asset finanziari insieme, cosa fondamentale nella diversificazione dei portafogli di investimento e nella valutazione del rischio e del rendimento di asset diversi.
Quali sono gli usi principali della covarianza?
La covarianza è uno strumento importante nell’analisi dei dati e ha diversi usi. Uno degli usi principali della covarianza è in statistica ed econometria . Viene utilizzato per misurare la relazione di variazione congiunta tra due variabili, che può aiutarci a capire come cambiano insieme.
In finanza, la covarianza viene utilizzata per valutare la relazione tra i rendimenti di diverse attività finanziarie , come azioni, obbligazioni o immobili. Aiuta gli investitori a capire come interagiscono gli asset e come diversificare gli investimenti per gestire il rischio.
Nell’analisi del rischio e nella gestione del portafoglio, la covarianza viene utilizzata per calcolare la diversificazione del rischio , ovvero il modo in cui sono correlati i rendimenti di diverse attività. Una bassa covarianza tra due asset indica che è meno probabile che si muovano nella stessa direzione, il che può essere utile per ridurre il rischio del portafoglio.
Inoltre, la covarianza viene utilizzata anche in campi come le scienze ambientali, la biologia, la psicologia e l’ingegneria, dove si studiano le relazioni tra diverse variabili per comprenderne il comportamento e fare previsioni.
È importante notare che la covarianza presenta alcune limitazioni, come non essere una misura standardizzata e non catturare relazioni non lineari tra le variabili. Tuttavia, rimane uno strumento prezioso nell’analisi dei dati per comprendere come due variabili evolvono insieme e la loro relazione di variazione congiunta.
Proprietà di covarianza
Diamo un’occhiata ad alcune delle proprietà più importanti della covarianza di seguito:
- La covarianza tra due variabili può essere positiva , indicando che tendono a muoversi nella stessa direzione. Se invece la covarianza è negativa, significa che tendono a muoversi in direzioni opposte . Se la covarianza è zero, non esiste una relazione lineare tra le variabili.
- A differenza della correlazione, la covarianza non è limitata a un intervallo specifico e non ha unità di misura standardizzate . Ciò può rendere difficile il confronto delle covarianze di scale o unità diverse.
- La presenza di valori estremi o anomali nei dati può avere un impatto significativo sulla covarianza. Ciò può comportare una covarianza elevata o bassa, anche se la relazione tra le variabili non è forte .
- La covarianza tra due variabili è simmetrica , il che significa che la covarianza di X rispetto a Y è uguale alla covarianza di Y rispetto a X. In effetti, la covarianza si basa sulla variazione congiunta delle due variabili.
- È importante notare che la covarianza non implica necessariamente una relazione causale tra le variabili . Mostra solo la direzione e l’entità della variazione congiunta tra le variabili, ma non stabilisce una relazione causale diretta.
esempio di covarianza
Come già sappiamo, tutto risulta più chiaro ricorrendo agli esempi. Pertanto, analizzeremo questo semplice esempio di covarianza per una migliore comprensione.
Consideriamo due nuove variabili, A e B, con i seguenti dati:
A = (a1, a2, a3) = (2, 5, 7)
B = (b1, b2, b3) = (6, 3, 1)
Per prima cosa calcoleremo la media aritmetica di ciascuna variabile:
A’ = (2 + 5 + 7) ÷ 3 = 4,67
B’ = (6 + 3 + 1) ÷ 3 = 3,33
Una volta calcolate le medie aritmetiche, procediamo al calcolo della covarianza:
Cov(A, B) = (2 – 4,67) · (6 – 3,33) + (5 – 4,67) · (3 – 3,33) + (7 – 4,67) · (1 – 3,33) ÷ 3 = -2,33
In questo caso, il valore di covarianza è negativo. Ciò indica che le variabili A e B hanno una relazione negativa, nel senso che quando una variabile aumenta, l’altra variabile tende a diminuire. Tuttavia, per comprendere meglio la relazione tra A e B, è necessario calcolare la correlazione lineare .
È inoltre rilevante tenere conto del fatto che le covarianze delle diverse variabili non sono confrontabili , poiché l’unità di misura della covarianza è la stessa delle variabili in questione. Pertanto, non è possibile confrontare la covarianza di variabili come reddito ed età, ad esempio, a causa delle loro diverse unità di misura.