▷ Composizione di funzioni (o funzione composita)

In questo articolo spieghiamo cos’è la funzione composita (o composizione di funzioni). Inoltre, potrai vedere diversi esempi di funzioni composte e come viene calcolato il dominio di questo tipo di funzioni. Infine, troverai le proprietà della composizione delle funzioni e diversi esercizi passo passo per esercitarti.

Cos’è la composizione della funzione?

La composizione della funzione consiste nel valutare successivamente lo stesso valore della variabile indipendente (x) in due o più funzioni. Ad esempio, componendo le funzioni (gof)(x) si ottiene la funzione composta g[f(x)].

L’espressione della funzione composta

$g\circ f$

si legge “f composta con g” oppure “f seguita da g”.

Tieni presente che l’ordine è importante nella composizione delle funzioni, la funzione a destra del simbolo della composizione viene applicata per prima

$(f)$

poi la funzione a sinistra del simbolo della composizione

$(g).$

Esempio di composizione di funzioni

Data la definizione di funzione composta, vediamo un esempio di come calcolare la composizione di due funzioni.

Date le seguenti due diverse funzioni:

$f(x)=3x+1 \qquad g(x)=\cfrac{x+4}{2}$

Calcola la funzione composta

$\left(g \circ f\right)(x)$

e valutarlo

$x=3.$

La composizione delle funzioni

$\left(g \circ f\right)(x)$

Ciò significa che dobbiamo eseguire la seguente funzione composita:

$\left(g \circ f\right)(x) = g\Big(f(x)\Big)$

Per risolverlo, sostituiamo

$f(x)$

dalla sua espressione algebrica:

$g\Big(f(x)\Big)= g\Big(3x+1\Big)$

E ora prendiamo la funzione di

$g(x)=\cfrac{x+4}{2}$

e mettiamo l’espressione

$3x+1$

dove ce n’è uno

$x:$

$g\Big(3x+1\Big)=\cfrac{(3x+1)+4}{2}=\cfrac{3x+5}{2}$

In questo modo abbiamo già calcolato la funzione f composta da g :

$\left(g \circ f\right)(x)=\cfrac{3x+5}{2}$

Infine, per valutare la funzione composta in

$x=3$

Basta calcolare l’immagine della funzione in detto valore:

$\left(g \circ f\right)(3)=\cfrac{3\cdot 3+5}{2}=\cfrac{14}{2}=7$

Dominio di funzioni composto

Normalmente, quando eseguiamo operazioni sulle funzioni, il dominio della funzione risultante è l’intersezione dei domini delle funzioni originali. Tuttavia, questa proprietà non è soddisfatta dalla composizione della funzione.

Il dominio della composizione delle funzioni

$(g\circ f)(x)$

è equivalente all’insieme di tutti i valori di x nel dominio della funzione

$f$

ad esempio

$f(x)$

appartiene al dominio della funzione

$g.$

$\text{Dom}(g\circ f)=\{x\in\text{Dom}(f)\ | \ f(x)\in \text{Dom}(g)\}$

Pertanto, per calcolare il dominio di una funzione composta, è necessario prima trovare separatamente il dominio di ciascuna funzione, quindi il dominio della funzione risultante dall’operazione. Pertanto il dominio di composizione delle funzioni sarà costituito da tutti i valori che soddisfano la condizione matematica precedente.

👉 Ricorda, se riscontri un problema che non sai come risolvere, puoi chiedercelo nei commenti qui sotto!

Proprietà di composizione delle funzioni

Le funzioni composte hanno le seguenti caratteristiche:

La composizione delle funzioni ha la proprietà associativa, quindi vale sempre la seguente equazione:

$f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h$

In generale, la composizione della funzione non è commutativa, quindi l’ordine dell’operazione determina il risultato:

$f\circ g\neq g\circ f$

L’elemento neutro della composizione delle funzioni corrisponde alla funzione identità
$f(x)=x.$

Pertanto, qualsiasi funzione composta con la funzione identità risulta nella funzione stessa:

$f\circ id = id \circ f = f$

$id = x$

Calcolare l’inverso della composizione di due funzioni equivale a trovare prima l’inverso di ciascuna funzione e poi determinare la funzione composta:

$(f\circ g)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$

La funzione inversa funge anche da elemento simmetrico della funzione composta, poiché la composizione di una funzione con la sua inversa equivale alla funzione identità:

$(f\circ f^{-1})^{-1}=(f^{-1}\circ f)=id=x$

La derivata della composizione di due funzioni si calcola utilizzando la regola della catena:

$\bigl(g\circ f\bigr)'(x)=g'\Bigl(f(x)\Bigr)\cdot f'(x)$

➤ Vedi: qual è la regola della catena?

Esercizi risolti sulla composizione delle funzioni

Esercizio 1

Date le seguenti due funzioni:

$f(x)=x-2 \qquad g(x)= 5x + 4$

Calcolare le composizioni delle funzioni f composta con g e g composta con f .

$(g\circ f)(x)$

$(f\circ g)(x)$

Vedi la soluzione

La composizione delle funzioni

$\left(g \circ f\right)(x)$

significa calcolare la seguente funzione composta:

$\left(g \circ f\right)(x) = g\Big(f(x)\Big)$

Quindi per risolverlo sostituiamo

$f(x)$

per la sua espressione:

$f(x)=x-2$

$g\Big(f(x)\Big)= g\Big(x-2\Big)$

$g\Big(x-2\Big)$

Ciò significa che nell’espressione di

$g(x) =5x+4$

devi sostituire la variabile

$x$

Per

$x-2:$

$g\Big(x-2\Big) = 5(x-2) +4= 5x-10+4 = 5x-6$

Ancora:

$\bm{\left(g \circ f\right)(x) = 5x-6}$

Per trovare invece la funzione g composta da f bisogna eseguire lo stesso procedimento ma con l’ordine inverso:

$\begin{aligned}\left(f \circ g\right)(x)&= f\Big(g(x)\Big)\\[2ex]&=f\Big(5x+4\Big)\\[2ex]&=(5x+4)-2\\[2ex]&=\bm{5x+2}\end{aligned}$

Questo esercizio dimostra anche la proprietà che le funzioni composte non sono commutative, poiché il risultato dipende dall’ordine in cui le funzioni vengono applicate.

Esercizio 2

Date le seguenti due funzioni:

$\displaystyle f(x) =x^2-3 \qquad g(x)=\frac{2x+3}{x+4}$

Calcola la composizione delle funzioni f composte con g .

$(g\circ f)(x)$

Vedi la soluzione

La funzione f composta da g significa risolvere la seguente funzione composta:

$\left(g \circ f\right)(x) = g\Big(f(x)\Big)$

Sostituiamo quindi la funzione f(x) con la sua espressione:

$g\Big(f(x)\Big)= g\Big(x^2-3 \Big)$

E ora dobbiamo sostituire

$x$

Per

$x^2-3$

nell’espressione della funzione g(x):

$\begin{aligned}g\Big(x^2-3\Big)&=\cfrac{2(x^2-3)+3}{(x^2-3)+4}\\[2ex]&=\cfrac{2x^2-6+3}{x^2+1}\\[2ex]&=\cfrac{2x^2-3}{x^2+1}\end{aligned}$

In breve, il risultato della composizione della funzione è:

$\bm{\left(g \circ f\right)(x) =} \cfrac{\bm{2x^2-3}}{\bm{x^2+1}}$

Esercizio 3

Date le seguenti due funzioni quadratiche:

$\displaystyle f(x) =x^2 \qquad g(x)=g(x)= x^2-4x+8$

Determinare il risultato della seguente composizione di funzioni:

$(g\circ f)(2)$

Vedi la soluzione

$\left(g \circ f\right)(2)$

consiste nel trovare la seguente funzione composta:

$\left(g \circ f\right)(2) = g\Big(f(2)\Big)$

Quindi per risolvere la funzione composta dobbiamo prima calcolare

$f(2) :$

$f(x)=x^2$

$f(2)=2^2=4$

Pertanto, come

$f(2)=4 :$

$\left(g \circ f\right)(2) = g\Big(f(2)\Big) = g\big(4\big)$

Quindi per trovare il valore della funzione composta devi solo calcolare

$g(4) :$

$\begin{aligned}\left(g \circ f\right)(2)&=g\Big(f(2)\Big)\\[2ex]&= g\big(4\big)\\[2ex]&=4^2-4\cdot 4+8 \\[2ex]&= 16 - 16 + 8\\[2ex]&= 8\end{aligned}$

In sintesi, il risultato del problema di composizione della funzione è:

$\bm{\left(g \circ f\right)(2) =8}$

Esercizio 4

Date le seguenti due funzioni:

$\displaystyle f(x)=\frac{2x-2}{-x+7}\qquad g(x)= x^2-1$

Trova il risultato di g composto con f in x=2:

$(f\circ g)(2)$

Vedi la soluzione

In questo caso dobbiamo calcolare la seguente funzione composta:

$\left(f \circ g\right)(2) = f\Big(g(2)\Big)$

Quindi prima troviamo

$g(2) :$

$g(x)=x^2-1$

$g(2)=2^2-1=4-1 = 3$

E così, tipo

$g(2)=3 :$

$\left(f \circ g\right)(2) = f\Big(g(2)\Big) = f\big(3\big)$

Quindi per risolvere la funzione composta dobbiamo calcolare

$f(3) :$

$\begin{aligned}\left(f \circ g\right)(2)&=f\Big(g(2)\Big)\\[2ex]&= f\big(3\big)\\[2ex]&=\cfrac{2\cdot 3-2}{-3+7}\\[2ex]&=\cfrac{6-2}{-3+7}\\[2ex]&=\cfrac{4}{4}\\[2ex]&=1\end{aligned}$