▷ Come viene calcolato l'angolo tra due vettori? (formula) ✅

In questa pagina scoprirai come calcolare l’angolo tra due vettori. Inoltre, vedrai anche esempi e potrai esercitarti con esercizi e problemi risolti passo dopo passo.

Formula per l’angolo tra due vettori

angolo tra due vettori del prodotto scalare

Se ricordiamo la definizione di prodotto scalare , può essere calcolato utilizzando la seguente equazione:

$\displaystyle \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} = \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot \cos(\alpha )$

Da questa uguaglianza possiamo ricavare la formula che ci aiuterà a trovare direttamente l’angolo formato da due vettori:

Il coseno dell’angolo formato da due vettori è uguale al prodotto scalare tra i due vettori diviso per il prodotto dei moduli dei due vettori.

In altre parole, la formula per determinare l’angolo formato da due vettori è la seguente:

Pertanto, per trovare l’angolo formato da due vettori, è essenziale sapere come calcolare la grandezza di un vettore . In questo link troverai la formula, gli esempi e gli esercizi risolti per il modulo di un vettore, quindi se non hai ancora imparato questa operazione con i vettori, ti consigliamo di dare un’occhiata.

Questa formula funziona sia per il piano (in R2) che per lo spazio (in R3). Cioè, possiamo usarlo in modo intercambiabile per vettori a due o tre componenti.

Tuttavia, a volte non è necessario applicare questa formula perché è possibile dedurre l’angolo tra i vettori:

L’angolo tra due vettori perpendicolari (che hanno la stessa direzione) è 0º.
L’angolo tra due vettori ortogonali (o perpendicolari) è 90º.

Esempio di come trovare l’angolo tra due vettori

Ad esempio, calcoleremo l’angolo formato dai seguenti due vettori:

$\vv{\text{u}} = (4,-1) \qquad \vv{\text{v}} = (2,5)$

Dobbiamo prima calcolare il modulo di ciascun vettore:

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert = \sqrt{4^2+(-1)^2}= \sqrt{17}$

$\displaystyle \lvert \vv{\text{v}} \rvert = \sqrt{2^2+5^2}= \sqrt{29}$

Usiamo ora la formula per calcolare il coseno dell’angolo formato dai due vettori:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}=\cfrac{ 4\cdot 2 + (-1)\cdot 5}{\sqrt{17}\cdot \sqrt{29}} = \cfrac{3}{\sqrt{493}} = 0,14$

E infine, troviamo l’angolo corrispondente facendo l’inverso del coseno usando la calcolatrice:

$\displaystyle \cos^{-1}(0,14) = \bm{81,95º}$

I due vettori formano quindi un angolo di 81,95º.

Esercizi risolti sugli angoli tra vettori

Esercizio 1

Calcola l’angolo tra i seguenti due vettori:

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(5,3) \qquad \vv{\text{v}} =(1,2)$

Vedi la soluzione

Innanzitutto dobbiamo calcolare il modulo dei due vettori:

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert = \sqrt{5^2+3^2}= \sqrt{34}$

$\displaystyle \lvert \vv{\text{v}} \rvert = \sqrt{ 1^2+2^2}= \sqrt{5}$

Usiamo la formula per calcolare il coseno dell’angolo formato dai vettori:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}=\cfrac{ 5\cdot 1 + 3\cdot 2}{\sqrt{34}\cdot \sqrt{5}} = \cfrac{11}{\sqrt{170}} = 0,84$

Infine, troviamo l’angolo corrispondente eseguendo l’inverso del coseno con la calcolatrice:

$\displaystyle \cos^{-1}(0,84) = \bm{32,47º}$

Esercizio 2

Determina l’angolo che esiste tra i seguenti due vettori:

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(-2,-7) \qquad \vv{\text{v}} =(-1,5)$

Vedi la soluzione

Innanzitutto dobbiamo trovare i moduli dei vettori:

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert = \sqrt{ (-2)^2+(-7)^2}= \sqrt{53}$

$\displaystyle \lvert \vv{\text{v}} \rvert = \sqrt{ (-1)^2+5^2}= \sqrt{26}$

Usiamo la formula per ottenere il coseno dell’angolo formato dai vettori:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}=\cfrac{ (-2)\cdot (-1) + (-7)\cdot 5}{\sqrt{53}\cdot \sqrt{26}} = \cfrac{-33}{\sqrt{1378}} = -0,89$

E, infine, troviamo l’angolo corrispondente eseguendo l’inverso del coseno con la calcolatrice:

$\displaystyle \cos^{-1}(-0,89) = \bm{152,74º}$

Esercizio 3

Calcolare il valore di

$k$

in modo che i seguenti vettori siano perpendicolari:

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(6,3) \qquad \vv{\text{v}} =(-4,k)$

Vedi la soluzione

Due vettori perpendicolari formano un angolo di 90º. Ancora:

$\displaystyle \cos(90º) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}$

$\displaystyle 0=\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}$

Il denominatore della frazione divide l’intero lato destro dell’equazione, quindi possiamo moltiplicarlo per l’altro lato:

$\displaystyle 0 \cdot \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert =\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}$

$\displaystyle 0 =\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}$

Ora risolviamo il prodotto scalare:

$\displaystyle 0 =(6,3) \cdot (-4,k)$

$\displaystyle 0 =6 \cdot (-4) + 3\cdot k$

$\displaystyle 0 =-24 +3k$

E finalmente sveliamo il mistero:

$\displaystyle -3k =-24$

$\displaystyle k =\cfrac{-24}{-3}$

$\displaystyle \bm{k =8}$

Esercizio 4

Trova il valore che dovrebbero avere le costanti

$a$

$b$

per cui i seguenti vettori sono perpendicolari e, inoltre, è vero

$\lvert \vv{\text{u}} \rvert =10.$

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(-6,a) \qquad \vv{\text{v}} =(b,3)$

Vedi la soluzione

Utilizzeremo innanzitutto la condizione del modulo per trovare il valore di

$a:$

$\lvert \vv{\text{u}} \rvert =10$

$\sqrt{(-6)^2+a^2}=10$

$\sqrt{36+a^2}=10$

Eleviamo entrambi i membri dell’equazione per rimuovere la radice quadrata:

$\left(\sqrt{36+a^2}\right)^2=10^2$

$36+a^2=100$

E sveliamo il mistero:

$a^2=100 -36$

$a^2=64$

$a=\sqrt{64}$

$\bm{a=8}$

Una volta che conosciamo il valore di

$a$

, trova il valore di

$b$

applicando la formula per l’angolo di due vettori, poiché l’affermazione ci dice che devono essere perpendicolari o, cosa equivalente, devono formare 90º.

$\displaystyle \cos(90º) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}$

$\displaystyle 0=\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}$

Il denominatore della frazione divide l’intero lato destro dell’equazione, quindi possiamo moltiplicarlo per l’altro lato:

$\displaystyle 0 \cdot \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert =\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}$

$\displaystyle 0 =\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}$

Ora proviamo a risolvere il prodotto scalare:

$\displaystyle 0 =(-6,8) \cdot (b,3)$

$\displaystyle 0 =-6 \cdot b +8\cdot 3$

$\displaystyle 0 =-6b +24$

E finalmente sveliamo il mistero:

$\displaystyle 6b =24$

$\displaystyle b =\cfrac{24}{6}$

$\displaystyle \bm{b =4}$

Esercizio 5

Calcola gli angoli

$\alpha , \beta$

$\gamma$

che formano i lati del seguente triangolo:

esercizi e problemi risolti passo passo del prodotto scalare di due vettori

Vedi la soluzione

I vertici che compongono il triangolo sono i seguenti punti:

$A(2,1) \qquad B(4,4) \qquad C(6,2)$

Per calcolare gli angoli interni del triangolo, possiamo calcolare i vettori di ciascuno dei suoi lati e quindi trovare l’angolo che formano utilizzando la formula del prodotto scalare.

Ad esempio, per trovare l’angolo

$\alpha$

Calcoliamo i vettori dei suoi lati:

$\vv{AB} = B - A = (4,4)-(2,1)= (2,3)$

$\vv{AC} = C - A = (6,2)-(2,1)= (4,1)$

E troviamo l’angolo formato dai due vettori utilizzando la formula del prodotto scalare:

$\lvert \vv{AB} \rvert = \sqrt{2^2+3^2} = \sqrt{13}$

$\lvert \vv{AC} \rvert = \sqrt{4^2+1^2} = \sqrt{17}$

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{AB} \cdot \vv{AC}}{\lvert \vv{AB} \rvert \cdot \lvert \vv{AC} \rvert}=\cfrac{ 2\cdot 4 + 3\cdot 1}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{17}} = \cfrac{11}{\sqrt{221}} =0,74$

$\bm{\alpha = 42,27º}$

Ora ripetiamo la stessa procedura per determinare l’angolo

$\beta:$

$\vv{BC} = C - B = (6,2)-(4,4)= (2,-2)$

$\lvert \vv{BC} \rvert = \sqrt{2^2+(-2)^2} = \sqrt{8}$

$\displaystyle \cos(\beta) =\cfrac{\vv{AB} \cdot \vv{BC}}{\lvert \vv{AB} \rvert \cdot \lvert \vv{BC} \rvert}=\cfrac{ 2\cdot 2 + 3\cdot (-2)}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{8}} = \cfrac{-2}{\sqrt{104}} =-0,20$

$\bm{\beta = 101,31º}$

Infine, per trovare l’ultimo angolo possiamo ripetere lo stesso procedimento. Tuttavia, la somma di tutti gli angoli di un triangolo deve essere pari a 180 gradi, quindi:

$\gamma = 180 -42,27-101,31 = \bm{36,42º}$

Come calcolare l'angolo tra due vettori

Formula per l’angolo tra due vettori

Esempio di come trovare l’angolo tra due vettori

Esercizi risolti sugli angoli tra vettori

Esercizio 1

Esercizio 2

Esercizio 3

Esercizio 4

Esercizio 5

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