Calcola il prodotto scalare di due vettori -

In questa pagina vedrai cos’è e come calcolare il prodotto scalare di due vettori. Imparerai anche come trovare l’angolo tra due vettori utilizzando il prodotto scalare e, inoltre, tutte le proprietà del prodotto scalare. Infine, potrai esercitarti con esempi ed esercizi risolti passo dopo passo.

Come calcolare il prodotto scalare tra due vettori

In matematica, il prodotto scalare è un’operazione vettoriale che moltiplica due vettori e li trasforma in un numero reale. Quindi, ci sono due modi per calcolare il prodotto scalare di due vettori:

Se conosciamo le coordinate di due vettori, possiamo trovare il loro prodotto scalare moltiplicando insieme le componenti X e Y e quindi sommando i risultati. In altre parole, se abbiamo due vettori:

$\vv{\text{u}} = (\text{u}_x,\text{u}_y) \qquad \vv{\text{v}} = (\text{v}_x,\text{v}_y)$

Il prodotto scalare tra loro è:

$\displaystyle \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} = \text{u}_x\cdot \text{v}_x + \text{u}_y\cdot \text{v}_y$

Ad esempio, il prodotto scalare tra i seguenti due vettori è:

$\vv{\text{u}} = (1,2) \qquad \vv{\text{v}} = (-1,3)$

$\displaystyle \begin{aligned} \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}&=(1,2)\cdot (-1,3) \\[1.5ex]&=1\cdot (-1) + 2 \cdot 3 \\[1.5ex] & = -1+6 \\[1.5ex] & =\bm{5} \end{aligned}$

È un modo per trovare il prodotto scalare tra due vettori. Esiste però anche un altro metodo:

Se invece conosciamo il modulo e l’angolo tra due vettori, il prodotto scalare tra i due vettori può essere determinato calcolando il prodotto dei loro moduli per il coseno dell’angolo che formano:

$\displaystyle \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} = \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot \cos(\alpha )$

Oro

$\lvert \vv{\text{u}} \rvert$

$\lvert \vv{\text{v}} \rvert$

sono i moduli dei vettori

$\vv{\text{u}}$

$\vv{\text{v}}$

rispettivamente e

$\alpha$

l’angolo che formano.

Ricordiamo che il modulo di un vettore è la radice dei quadrati delle sue componenti:

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert = \sqrt{ \text{u}_x^2+\text{u}_y^2}$

Ad esempio, risolveremo il prodotto scalare di due vettori i cui moduli e l’angolo compreso tra loro sono:

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert =3 \qquad \lvert \vv{\text{v}} \rvert = 4 \qquad \alpha=60º$

$\displaystyle \begin{aligned} \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} & = \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot \cos(\alpha ) \\[1.5ex] &= 3 \cdot 4 \cdot \cos(60º)\\[1.5ex] & = 3 \cdot 4 \cdot 0,5 \\[1.5ex] &= \bm{6} \end{aligned}$

D’altra parte, il prodotto scalare è anche chiamato prodotto scalare, prodotto scalare o prodotto scalare.

Nota: non confondere il prodotto scalare con il prodotto incrociato perché, sebbene abbiano nomi simili, sono concetti completamente diversi.

Trova l’angolo tra due vettori utilizzando il prodotto scalare

Una volta che vediamo la definizione di prodotto scalare, ti starai chiedendo qual è lo scopo di moltiplicare due vettori? Ebbene, una delle applicazioni del prodotto scalare è calcolare l’angolo formato da due vettori.

angolo tra due vettori del prodotto scalare

Risolvendo il coseno della formula del prodotto scalare, otteniamo:

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}\newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}\end{empheq}$

Vediamo come si realizza attraverso un esempio:

Trova l’angolo tra i seguenti due vettori:

$\vv{\text{u}} = (4,2) \qquad \vv{\text{v}} = (-1,5)$

Per prima cosa dobbiamo trovare il modulo dei due vettori:

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert = \sqrt{ 4^2+2^2}= \sqrt{20}$

$\displaystyle \lvert \vv{\text{v}} \rvert = \sqrt{ (-1)^2+5^2}= \sqrt{26}$

Ora usiamo la formula per calcolare il coseno dell’angolo formato dai due vettori:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}=\cfrac{ 4\cdot (-1) + 2\cdot 5}{\sqrt{20}\cdot \sqrt{26}} = \cfrac{6}{\sqrt{520}} = 0,26$

Infine, troviamo l’angolo corrispondente eseguendo l’inverso del coseno utilizzando la calcolatrice:

$\displaystyle \cos^{-1}(0,26) = \bm{74,93º}$

Pertanto, i vettori formano un angolo di 74,93º.

Proprietà del prodotto scalare di due vettori

Il prodotto scalare ha le seguenti caratteristiche:

Proprietà commutativa : l’ordine in cui i vettori vengono moltiplicati non ha importanza.

$\displaystyle \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} =\vv{\text{v}} \cdot \vv{\text{u}}$

Proprietà distributiva : il prodotto scalare è distributivo rispetto all’addizione e alla sottrazione di vettori:

$\displaystyle \vv{\text{u}}( \vv{\text{v}}+ \vv{\text{w}} )=\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}+ \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{w}}$

$\displaystyle \vv{\text{u}}( \vv{\text{v}}- \vv{\text{w}} )=\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}- \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{w}}$

Proprietà associativa : possiamo moltiplicare il prodotto scalare per una costante prima o dopo aver eseguito l’operazione, poiché i risultati sono equivalenti:

$\displaystyle k\cdot (\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}) = (k\cdot\vv{\text{u}}) \cdot \vv{\text{v}} =\vv{\text{u}} \cdot (k\cdot\vv{\text{v}})$

Se due vettori sono ortogonali (o perpendicolari), il loro prodotto scalare è zero. Questa proprietà può essere facilmente dimostrata perché due vettori perpendicolari formano un angolo di 90º e il coseno di 90º è uguale a 0:

$\displaystyle \begin{aligned} \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} & = \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot \cos(90º ) \\[1.5ex] &=\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot 0 \\[1.5ex] &= 0 \end{aligned}$

Al contrario, se due vettori sono paralleli allora il loro prodotto scalare è uguale al prodotto dei loro moduli. Anche questa proprietà può essere facilmente verificata poiché due vettori della stessa direzione formano un angolo di 0º, il cui coseno è uguale a 1:

$\displaystyle \begin{aligned} \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} & = \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot \cos(0º) \\[1.5ex] &=\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot 1 \\[1.5ex] &= \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \end{aligned}$

Infine, il prodotto scalare di un vettore è di per sé equivalente alla sua grandezza al quadrato:

$\displaystyle\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{u}} & = \lvert \vv{\text{u}} \rvert ^2$

Risolti problemi di prodotto scalare tra due vettori

Esercizio 1

Calcolare il prodotto scalare nel piano dei due vettori seguenti:

$\vv{\text{u}} = (4,-3) \qquad \vv{\text{v}} = (5,2)$

vedi soluzione

Per calcolare il prodotto scalare di due vettori, dobbiamo moltiplicare insieme le loro coordinate X e le loro coordinate Y, quindi sommare i risultati:

$\displaystyle \begin{aligned}\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} & = (4,-3)\cdot (5,2) \\[1.5ex] & = 4\cdot 5 + (-3) \cdot 2 \\[1.5ex] & = 20-6\\[1.5ex] & =\bm{14} \end{aligned}$

Esercizio 2

Determinare il prodotto scalare di due vettori i cui moduli e l’angolo che formano sono:

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert =6 \qquad \lvert \vv{\text{v}} \rvert = 3 \qquad \alpha=45º$

vedi soluzione

Poiché conosciamo i loro moduli e il loro angolo tra loro, possiamo applicare direttamente la formula del prodotto scalare:

$\displaystyle \begin{aligned} \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} & = \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot \cos(\alpha ) \\[1.5ex] &= 6 \cdot 3 \cdot \cos(45º)\\[1.5ex] & = 6 \cdot 3 \cdot 0,71 \\[1.5ex] &= \bm{12,73} \end{aligned}$

Esercizio 3

Qual è l’angolo tra i seguenti due vettori?

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(3,8) \qquad \vv{\text{v}} =(-4,1)$

vedi soluzione

Per prima cosa dobbiamo calcolare il modulo dei due vettori:

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert = \sqrt{ 3^2+8^2}= \sqrt{73}$

$\displaystyle \lvert \vv{\text{v}} \rvert = \sqrt{ (-4)^2+1^2}= \sqrt{17}$

Usiamo la formula per calcolare il coseno dell’angolo formato dai vettori:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}=\cfrac{ 3\cdot (-4) + 8\cdot 1}{\sqrt{73}\cdot \sqrt{17}} = \cfrac{-4}{\sqrt{1241}} = -0,11$

E, infine, troviamo l’angolo corrispondente eseguendo l’inverso del coseno con la calcolatrice:

$\displaystyle \cos^{-1}(-0,11) = \bm{96,52º}$

Esercizio 4

Consideriamo i due vettori seguenti:

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(5,2) \qquad \vv{\text{v}} =(-1,6)$

Calcolare la seguente operazione:

$4 \bigl(\vv{\text{u}} \cdot\vv{\text{v}}\bigr)$

vedi soluzione

Dobbiamo prima risolvere il prodotto scalare all’interno delle parentesi, quindi eseguire la moltiplicazione per il prodotto scalare all’esterno:

$4 \bigl(\vv{\text{u}} \cdot\vv{\text{v}}\bigr)$

$4 \bigl((5,2) \cdot (-1,6) \bigr)$

$4 \bigl(5 \cdot (-1) + 2 \cdot 6 \bigr)$

$4 \bigl(-5 + 12 \bigr)$

$4 \cdot 7$

$\bm{28}$

Esercizio 5

Dati i seguenti tre vettori bidimensionali:

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(-2,6) \qquad \vv{\text{v}} =(4,-3)\qquad \vv{\text{w}} =(-1,2)$

Calcolare la seguente operazione:

$\vv{\text{w}} \cdot \bigl( 5 \vv{\text{u}}- 2 \vv{\text{v}}\bigr)$

vedi soluzione

Per prima cosa moltiplichiamo i vettori per gli scalari tra parentesi:

$\vv{\text{w}} \cdot \bigl( 5 \vv{\text{u}}- 2 \vv{\text{v}}\bigr)$

$(-1,2) \cdot \bigl( 5 (-2,6)- 2(4,-3)\bigr)$

$(-1,2) \cdot \bigl( (-10,30)- (8,-6)\bigr)$

Ora eseguiamo la sottrazione vettoriale:

$(-1,2) \cdot (-10 -8,30-(-6))$

$(-1,2) \cdot (-18,36)$

Infine risolviamo il prodotto scalare:

$(-1)\cdot (-18) + 2 \cdot 36$

$18 + 72$

$\bm{90}$

Esercizio 6

Calcolare il valore di

$k$

in modo che i seguenti vettori siano perpendicolari:

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(-2,-3) \qquad \vv{\text{v}} =(k,6)$

vedi soluzione

Due vettori perpendicolari formano un angolo di 90º. Quindi il coseno dell’angolo deve essere zero, poiché cos(90º)=0. Ancora:

$\displaystyle \cos(90º) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}$

$\displaystyle 0=\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}$

Il denominatore della frazione divide l’intero lato destro dell’equazione, quindi possiamo passarlo moltiplicando dall’altro lato:

$\displaystyle 0 \cdot \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert =\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}$

$\displaystyle 0 =\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}$

Risolviamo ora il prodotto scalare:

$\displaystyle 0 =(-2,-3) \cdot (k,6)$

$\displaystyle 0 =-2 \cdot k + (-3)\cdot 6$

$\displaystyle 0 =-2 k -18$

E, infine, chiariamo l’incognita:

$\displaystyle 2k =-18$

$\displaystyle k =\cfrac{-18}{2}$

$\displaystyle \bm{k =-9}$

Esercizio 7

Calcola gli angoli

$\alpha , \beta$

$\gamma$

che formano i lati del seguente triangolo:

esercizi e problemi risolti passo passo del prodotto scalare di due vettori

vedi soluzione

I vertici che compongono il triangolo sono i seguenti punti:

$A(2,1) \qquad B(4,4) \qquad C(6,2)$

Per calcolare gli angoli interni del triangolo, possiamo calcolare i vettori di ciascuno dei suoi lati, quindi trovare l’angolo che formano utilizzando la formula del prodotto scalare.

Ad esempio, per trovare l’angolo

$\alpha$

Calcoliamo i vettori dei suoi lati:

$\vv{AB} = B - A = (4,4)-(2,1)= (2,3)$

$\vv{AC} = C - A = (6,2)-(2,1)= (4,1)$

E troviamo l’angolo formato dai due vettori utilizzando la formula del prodotto scalare:

$\lvert \vv{AB} \rvert = \sqrt{2^2+3^2} = \sqrt{13}$

$\lvert \vv{AC} \rvert = \sqrt{4^2+1^2} = \sqrt{17}$

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{AB} \cdot \vv{AC}}{\lvert \vv{AB} \rvert \cdot \lvert \vv{AC} \rvert}=\cfrac{ 2\cdot 4 + 3\cdot 1}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{17}} = \cfrac{11}{\sqrt{221}} =0,74$

$\bm{\alpha = 42,27º}$

Ora ripetiamo la stessa procedura per determinare l’angolo

$\beta:$

$\vv{BC} = C - B = (6,2)-(4,4)= (2,-2)$

$\lvert \vv{BC} \rvert = \sqrt{2^2+(-2)^2} = \sqrt{8}$

$\displaystyle \cos(\beta) =\cfrac{\vv{AB} \cdot \vv{BC}}{\lvert \vv{AB} \rvert \cdot \lvert \vv{BC} \rvert}=\cfrac{ 2\cdot 2 + 3\cdot (-2)}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{8}} = \cfrac{-2}{\sqrt{104}} =-0,20$

$\bm{\beta = 101,31º}$

Infine, per trovare l’ultimo angolo, possiamo ripetere lo stesso procedimento. Tuttavia, la somma di tutti gli angoli di un triangolo deve essere pari a 180 gradi, quindi:

$\gamma = 180 -42,27-101,31 = \bm{36,42º}$

Calcolare il prodotto scalare di due vettori

Come calcolare il prodotto scalare tra due vettori

Trova l’angolo tra due vettori utilizzando il prodotto scalare

Proprietà del prodotto scalare di due vettori

Risolti problemi di prodotto scalare tra due vettori

Esercizio 1

Esercizio 2

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Esercizio 7

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