Autovalori (o autovalori) e autovettori (o autovettori) di una matrice -

In questa pagina spieghiamo cosa sono gli autovalori e gli autovettori, chiamati anche rispettivamente autovalori e autovettori. Troverai anche esempi su come calcolarli ed esercizi risolti passo dopo passo per esercitarti.

Che cosa sono un autovalore e un autovettore?

Sebbene la nozione di autovalore e autovettore sia difficile da comprendere, la sua definizione è la seguente:

Gli autovettori o autovettori sono i vettori diversi da zero di una mappa lineare che, trasformati da essa, danno origine a un multiplo scalare di essi (non cambiano direzione). Questo scalare è l’ autovalore o autovalore .

$Av = \lambda v$

Oro

$A$

è la matrice della mappa lineare,

$v$

è l’autovettore e

$\lambda$

proprio valore.

L’autovalore è noto anche come valore caratteristico. E ci sono anche matematici che usano la radice tedesca “eigen” per designare autovalori e autovettori: autovalori per autovalori e autovettori per autovettori.

Come calcolare gli autovalori (o autovalori) e gli autovettori (o autovettori) di una matrice?

Per trovare gli autovalori e gli autovettori di una matrice bisogna seguire tutta una procedura:

L’equazione caratteristica della matrice si calcola risolvendo il seguente determinante:

$\displaystyle \text{det}(A-\lambda I)$

Troviamo le radici del polinomio caratteristico ottenuto nel passaggio 1. Queste radici sono gli autovalori della matrice.

$\displaystyle \text{det}(A-\lambda I)=0 \ \longrightarrow \ \lambda$

Viene calcolato l’autovettore di ciascun autovalore. Per fare ciò, per ciascun autovalore viene risolto il seguente sistema di equazioni:

$\displaystyle (A-\lambda I)v=0$

Questo è il metodo per trovare gli autovalori e gli autovettori di una matrice, ma qui vi diamo anche alcuni consigli: 😉

Consigli : possiamo sfruttare le proprietà degli autovalori e degli autovettori per calcolarli più facilmente:

✓ La traccia della matrice (somma della sua diagonale principale) è uguale alla somma di tutti gli autovalori.

$\displaystyle tr(A)=\sum_{i=1}^n \lambda_i$

✓ Il prodotto di tutti gli autovalori è uguale al determinante della matrice.

$\displaystyle det(A)=\prod_{i=1}^n \lambda_i$

✓ Se esiste una combinazione lineare tra righe o colonne, almeno un autovalore della matrice è uguale a 0.

Vediamo un esempio di come si calcolano gli autovettori e gli autovalori di una matrice per comprendere meglio il metodo:

Esempio di calcolo degli autovalori e degli autovettori di una matrice:

Trova gli autovalori e gli autovettori della seguente matrice:

$\displaystyle A= \begin{pmatrix}1&0\\[1.1ex] 5&2\end{pmatrix}$

Per prima cosa dobbiamo trovare l’equazione caratteristica della matrice. E, per questo, deve essere risolto il seguente determinante:

$\displaystyle \text{det}(A-\lambda I)= \begin{vmatrix}1- \lambda &0\\[1.1ex] 5&2-\lambda \end{vmatrix} = \lambda^2-3\lambda +2$

Ora calcoliamo le radici del polinomio caratteristico, quindi uguagliamo il risultato ottenuto a 0 e risolviamo l’equazione:

$\displaystyle \lambda^2-3\lambda +2 = 0$

$\lambda= \cfrac{-(-3)\pm \sqrt{(-3)^2-4\cdot 1 \cdot 2}}{2\cdot 1} = \cfrac{+3\pm 1}{2}=\begin{cases} \lambda = 1 \\[2ex] \lambda = 2 \end{cases}$

Le soluzioni dell’equazione sono gli autovalori della matrice.

Una volta ottenuti gli autovalori, calcoliamo gli autovettori. Per fare ciò, dobbiamo risolvere il seguente sistema per ciascun autovalore:

$\displaystyle (A-\lambda I)v=0$

Per prima cosa calcoleremo l’autovettore associato all’autovalore 1:

$\displaystyle (A-\lambda I)v=0$

$\displaystyle (A-1 I)\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \end{pmatrix} =}\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \begin{pmatrix}0&0\\[1.1ex] 5&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \end{pmatrix} =}\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} 0x+0y = 0 \\[2ex] 5x+y = 0\end{array}\right\}$

Da queste equazioni si ottiene il seguente sottospazio:

$\displaystyle y=-5x$

I sottospazi degli autovettori sono anche chiamati autospazi.

Ora dobbiamo trovare una base di questo spazio pulito, quindi diamo ad esempio il valore 1 alla variabile

$x$

e otteniamo il seguente autovettore:

$\displaystyle x = 1 \ \longrightarrow \ y=-5\cdot 1 = -5$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] -5\end{pmatrix}$

Infine, una volta trovato l’autovettore associato all’autovalore 1, ripetiamo il processo per calcolare l’autovettore per l’autovalore 2:

$\displaystyle (A-\lambda I)v=0$

$\displaystyle (A-2I)\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \end{pmatrix} =}\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \begin{pmatrix}-1&0\\[1.1ex] 5&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \end{pmatrix} =}\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} -x+0y = 0 \\[2ex] 5x+0y = 0\end{array}\right\} \longrightarrow \ x=0$

In questo caso solo la prima componente del vettore deve essere 0, quindi possiamo dare qualsiasi valore

$y$

. Ma per semplificare è meglio mettere 1:

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 1 \end{pmatrix}$

In conclusione gli autovalori e gli autovettori della matrice sono:

$\displaystyle \lambda = 1 \qquad v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] -5 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \lambda = 2 \qquad v = \begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 1 \end{pmatrix}$

Una volta che sai come trovare gli autovalori e gli autovettori di una matrice, potresti chiederti… e a cosa servono? Ebbene, risulta che sono molto utili per la diagonalizzazione delle matrici , infatti questa è la loro applicazione principale. Per saperne di più ti consigliamo di consultare come diagonalizzare una matrice con il collegamento, dove viene spiegato passo dopo passo il procedimento e ci sono anche esempi ed esercizi risolti per esercitarsi.

Esercizi risolti su autovalori e autovettori (autovalori e autovettori)

Esercizio 1

Calcola gli autovalori e gli autovettori della seguente matrice quadrata di ordine 2:

$\displaystyle A= \begin{pmatrix}3&1\\[1.1ex] 2&4\end{pmatrix}$

vedi soluzione

Per prima cosa calcoliamo il determinante della matrice meno λ sulla sua diagonale principale:

$\displaystyle \text{det}(A-\lambda I)= \begin{vmatrix}3- \lambda &1\\[1.1ex] 2&4-\lambda \end{vmatrix} = \lambda^2-7\lambda +10$

Calcoliamo ora le radici del polinomio caratteristico:

$\displaystyle \lambda^2-7\lambda +10=0 \ \longrightarrow \ \begin{cases} \lambda = 2 \\[2ex] \lambda = 5 \end{cases}$

Calcoliamo l’autovettore associato all’autovalore 2:

$\displaystyle (A- 2I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix}1&1\\[1.1ex] 2&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \end{pmatrix} =}\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} x+y = 0 \\[2ex] 2x+2y = 0\end{array}\right\} \longrightarrow \ x=-y$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] -1 \end{pmatrix}$

E poi calcoliamo l’autovettore associato all’autovalore 5:

$\displaystyle (A-5I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix}-2&1\\[1.1ex] 2&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \end{pmatrix} =}\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} -2x+y = 0 \\[2ex] 2x-y = 0\end{array}\right\} \longrightarrow \ y=2x$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] 2 \end{pmatrix}$

Pertanto gli autovalori e gli autovettori della matrice A sono:

$\displaystyle \lambda = 2 \qquad v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] -1 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \lambda = 5 \qquad v = \begin{pmatrix}1\\[1.1ex] 2 \end{pmatrix}$

Esercizio 2

Determina gli autovalori e gli autovettori della seguente matrice quadrata 2×2:

$\displaystyle A= \begin{pmatrix}2&1\\[1.1ex] 3&0\end{pmatrix}$

vedi soluzione

Per prima cosa calcoliamo il determinante della matrice meno λ sulla sua diagonale principale per ottenere l’equazione caratteristica:

$\displaystyle \text{det}(A-\lambda I)= \begin{vmatrix}2- \lambda &1\\[1.1ex] 3&-\lambda \end{vmatrix} = \lambda^2-2\lambda -3$

Calcoliamo ora le radici del polinomio caratteristico:

$\displaystyle \lambda^2-2\lambda -3=0 \ \longrightarrow \ \begin{cases} \lambda = -1 \\[2ex] \lambda = 3 \end{cases}$

Calcoliamo l’autovettore associato all’autovalore -1:

$\displaystyle (A-(-1)I)v=0$

$\displaystyle (A+1I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix} 3&1\\[1.1ex] 3&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \end{pmatrix} =}\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} 3x+1y = 0 \\[2ex] 3x+1y = 0\end{array}\right\} \longrightarrow \ y=-3x$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] -3 \end{pmatrix}$

E poi calcoliamo l’autovettore associato all’autovalore 3:

$\displaystyle (A-3I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix}-1&1\\[1.1ex] 3&-3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \end{pmatrix} =}\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} -1x+1y = 0 \\[2ex] 3x-3y = 0\end{array}\right\} \longrightarrow \ y=x$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] 1 \end{pmatrix}$

Pertanto gli autovalori e gli autovettori della matrice A sono:

$\displaystyle \lambda = -1 \qquad v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] -3 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \lambda = 3 \qquad v = \begin{pmatrix}1\\[1.1ex] 1 \end{pmatrix}$

Esercizio 3

Determinare gli autovalori e gli autovettori della seguente matrice di ordine 3:

$\displaystyle A= \begin{pmatrix}1&2&0\\[1.1ex] 2&1&0\\[1.1ex] 0&1&2\end{pmatrix}$

vedi soluzione

Dobbiamo prima risolvere il determinante della matrice A meno la matrice identità moltiplicata per lambda per ottenere l’equazione caratteristica:

$\displaystyle \text{det}(A-\lambda I)= \begin{vmatrix}1-\lambda&2&0\\[1.1ex] 2&1-\lambda&0\\[1.1ex] 0&1&2-\lambda\end{vmatrix}$

In questo caso, l’ultima colonna del determinante ha due zeri, quindi ne approfitteremo per calcolare il determinante per cofattori (o complementi) attraverso questa colonna:

$\displaystyle \begin{aligned} \begin{vmatrix}1-\lambda&2&0\\[1.1ex] 2&1-\lambda&0\\[1.1ex] 0&1&2-\lambda\end{vmatrix}& = (2-\lambda)\cdot \begin{vmatrix}1-\lambda&2\\[1.1ex] 2&1-\lambda \end{vmatrix} \\[3ex] & = (2-\lambda)[\lambda^2 -2\lambda -3] \end{aligned}$

Dobbiamo ora calcolare le radici del polinomio caratteristico. È meglio non moltiplicare le parentesi perché altrimenti otterremmo un polinomio di terzo grado, invece se i due fattori si risolvono separatamente è più semplice ottenere gli autovalori:

$\displaystyle (2-\lambda)[\lambda^2 -2\lambda -3]=0 \ \longrightarrow \ \begin{cases} 2-\lambda=0 \ \longrightarrow \ \lambda = 2 \\[2ex] \lambda^2 -2\lambda -3=0 \ \longrightarrow \begin{cases}\lambda = -1 \\[2ex] \lambda = 3 \end{cases} \end{cases}$

Calcoliamo l’autovettore associato all’autovalore 2:

$\displaystyle (A-2I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix} -1&2&0\\[1.1ex] 2&-1&0\\[1.1ex] 0&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \\[1.1ex] z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0\\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} -x+2y = 0 \\[2ex] 2x-y = 0\\[2ex] y=0 \end{array}\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{l} y=0 \\[2ex] x=y=0 \end{array}$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

Calcoliamo l’autovettore associato all’autovalore -1:

$\displaystyle (A+I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix} 2&2&0\\[1.1ex] 2&2&0\\[1.1ex] 0&1&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \\[1.1ex] z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0\\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} 2x+2y = 0 \\[2ex] 2x+2y = 0\\[2ex] y+3z=0 \end{array}\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{l} x=-y \\[2ex] y=-3z \end{array}$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}3 \\[1.1ex] -3 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

Calcoliamo l’autovettore associato all’autovalore 3:

$\displaystyle (A-3I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix} -2&2&0\\[1.1ex] 2&-2&0\\[1.1ex] 0&1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \\[1.1ex] z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0\\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} -2x+2y = 0 \\[2ex] 2x-2y = 0\\[2ex] y-z=0 \end{array}\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{l} x=y \\[2ex] y=z \end{array}$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] 1 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

Pertanto gli autovalori e gli autovettori della matrice A sono:

$\displaystyle \lambda = 2 \qquad v = \begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

$\displaystyle \lambda = -1 \qquad v = \begin{pmatrix}3 \\[1.1ex] -3 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

$\displaystyle \lambda = 3 \qquad v = \begin{pmatrix}1\\[1.1ex] 1 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

Esercizio 4

Calcola gli autovalori e gli autovettori della seguente matrice quadrata 3×3:

$\displaystyle A= \begin{pmatrix}2&1&3\\[1.1ex]-1&1&1\\[1.1ex] 1&2&4\end{pmatrix}$

vedi soluzione

Risolviamo innanzitutto il determinante della matrice meno λ sulla sua diagonale principale per ottenere l’equazione caratteristica:

$\displaystyle \text{det}(A-\lambda I)= \begin{vmatrix}2-\lambda&1&3\\[1.1ex]-1&1-\lambda&1\\[1.1ex] 1&2&4-\lambda\end{vmatrix}=-\lambda^3+7\lambda^2-10\lambda$

Estraiamo un fattore comune dal polinomio caratteristico e risolviamo λ da ciascuna equazione:

$\displaystyle \lambda(-\lambda^2+7\lambda-10)=0 \ \longrightarrow \ \begin{cases} \lambda=0\\[2ex] -\lambda^2+7\lambda-10=0 \ \longrightarrow \begin{cases}\lambda = 2 \\[2ex] \lambda = 5 \end{cases} \end{cases}$

Calcoliamo l’autovettore associato all’autovalore 0:

$\displaystyle (A-0I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix} 2&1&3\\[1.1ex]-1&1&1\\[1.1ex] 1&2&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \\[1.1ex] z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0\\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} 2x+y+3z= 0 \\[2ex] -x+y+z= 0\\[2ex] x+2y+4z=0 \end{array}\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{l} x=-\cfrac{2z}{3} \\[4ex] y=-\cfrac{5z}{3} \end{array}$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}-2 \\[1.1ex] -5\\[1.1ex] 3\end{pmatrix}$

Calcoliamo l’autovettore associato all’autovalore 2:

$\displaystyle (A-2I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix} 0&1&3\\[1.1ex]-1&-1&1\\[1.1ex] 1&2&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \\[1.1ex] z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0\\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} y+3z = 0 \\[2ex] -x-y+z= 0\\[2ex] x+2y+2z=0 \end{array}\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{l} y=-3z \\[2ex] x=4z \end{array}$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}4\\[1.1ex] -3 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

Calcoliamo l’autovettore associato all’autovalore 5:

$\displaystyle (A-5I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix} -3&1&3\\[1.1ex]-1&-4&1\\[1.1ex] 1&2&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \\[1.1ex] z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0\\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} -3x+y+3z = 0 \\[2ex] -x-4y+z = 0\\[2ex] x+2y-z=0 \end{array}\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{l} x=z \\[2ex] y=0 \end{array}$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] 0 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

Pertanto gli autovalori e gli autovettori della matrice A sono:

$\displaystyle \lambda = 0 \qquad v = \begin{pmatrix}-2 \\[1.1ex] -5 \\[1.1ex] 3\end{pmatrix}$

$\displaystyle \lambda = 2 \qquad v = \begin{pmatrix}4 \\[1.1ex] -3 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

$\displaystyle \lambda = 5 \qquad v = \begin{pmatrix}1\\[1.1ex] 0 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

Esercizio 5

Calcola gli autovalori e gli autovettori della seguente matrice 3×3:

$\displaystyle A= \begin{pmatrix}2&2&2\\[1.1ex] 1&2&0\\[1.1ex] 0&1&3\end{pmatrix}$

vedi soluzione

Risolviamo innanzitutto il determinante della matrice meno λ sulla sua diagonale principale per ottenere l’equazione caratteristica:

$\displaystyle \text{det}(A-\lambda I)= \begin{vmatrix}2-\lambda&2&2\\[1.1ex] 1&2-\lambda&0\\[1.1ex] 0&1&3-\lambda\end{vmatrix}=-\lambda^3+7\lambda^2-14\lambda+8$

Troviamo una radice del polinomio caratteristico o del polinomio minimo utilizzando la regola di Ruffini:

$\displaystyle \begin{array}{r|rrrr} & -1&7&-14&8 \\[2ex] 1 & & -1&6&-8 \\ \hline &-1\vphantom{\Bigl)}&6&-8&0 \end{array}$

E poi troviamo le radici del polinomio ottenuto:

$\displaystyle -\lambda^2+6\lambda -8=0 \ \longrightarrow \ \begin{cases} \lambda =2 \\[2ex] \lambda = 4 \end{cases}$

Quindi gli autovalori della matrice sono:

$\lambda=1 \qquad \lambda =2 \qquad \lambda = 4$

Calcoliamo l’autovettore associato all’autovalore 1:

$\displaystyle (A-1I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1&2&2\\[1.1ex] 1&1&0\\[1.1ex] 0&1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \\[1.1ex] z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0\\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} x+2y+2z= 0 \\[2ex] x+y= 0\\[2ex] y+2z=0 \end{array}\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{l} x=-y \\[2ex] y=-2z \end{array}$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}2 \\[1.1ex] -2\\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

Calcoliamo l’autovettore associato all’autovalore 2:

$\displaystyle (A-2I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix} 0&2&2\\[1.1ex] 1&0&0\\[1.1ex] 0&1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \\[1.1ex] z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0\\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} 2y+2z = 0 \\[2ex] x= 0\\[2ex] y+z=0 \end{array}\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{l} y=-z \\[2ex] x=0\end{array}$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}0\\[1.1ex] -1 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

Calcoliamo l’autovettore associato all’autovalore 4:

$\displaystyle (A-4I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix} -2&2&2\\[1.1ex] 1&-2&0\\[1.1ex] 0&1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \\[1.1ex] z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0\\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} -2x+2y+2z = 0 \\[2ex] x-2y = 0\\[2ex] y-z=0 \end{array}\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{l} x=2y \\[2ex] y=z \end{array}$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}2 \\[1.1ex] 1 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

Pertanto gli autovalori e gli autovettori della matrice A sono:

$\displaystyle \lambda = 1 \qquad v = \begin{pmatrix}2\\[1.1ex] -2 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

$\displaystyle \lambda = 2 \qquad v = \begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] -1 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

$\displaystyle \lambda = 4 \qquad v = \begin{pmatrix}2 \\[1.1ex] 1 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

Esercizio 6

Trova gli autovalori e gli autovettori della seguente matrice 4×4:

$\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&0&-1&0\\[1.1ex] 2&-1&-3&0\\[1.1ex] -2&0&2&0\\[1.1ex] 0&0&0&3\end{pmatrix}$

vedi soluzione

Dobbiamo prima risolvere il determinante della matrice meno λ sulla sua diagonale principale per ottenere l’equazione caratteristica:

$\displaystyle \text{det}(A-\lambda I)= \begin{vmatrix}1-\lambda&0&-1&0\\[1.1ex] 2&-1-\lambda&-3&0\\[1.1ex] -2&0&2-\lambda&0\\[1.1ex] 0&0&0&3-\lambda\end{vmatrix}$

In questo caso l’ultima colonna del determinante contiene solo zeri tranne un elemento, ne approfitteremo quindi per calcolare il determinante per cofattori tramite questa colonna:

$\displaystyle \begin{aligned} \begin{vmatrix}1-\lambda&0&-1&0\\[1.1ex] 2&-1-\lambda&-3&0\\[1.1ex] -2&0&2-\lambda&0\\[1.1ex] 0&0&0&3-\lambda\end{vmatrix}& = (3-\lambda)\cdot \begin{vmatrix}1-\lambda&0&-1\\[1.1ex] 2&-1-\lambda&-3\\[1.1ex] -2&0&2-\lambda\end{vmatrix} \\[3ex] & = (3-\lambda)[-\lambda^3 +2\lambda^2 +3\lambda] \end{aligned}$

Dobbiamo ora calcolare le radici del polinomio caratteristico. È meglio non moltiplicare le parentesi perché altrimenti otterremmo un polinomio di quarto grado, invece se i due fattori si risolvono separatamente è più semplice calcolare gli autovalori:

$\displaystyle (3-\lambda)[-\lambda^3 +2\lambda^2 +3\lambda]=0 \ \longrightarrow \ \begin{cases} 3-\lambda=0 \ \longrightarrow \ \lambda = 3 \\[2ex] -\lambda^3 +2\lambda^2 +3\lambda =0 \ \longrightarrow \ \lambda(-\lambda^2 +2\lambda +3) =0 \end{cases}$

$\displaystyle \lambda(-\lambda^2 +2\lambda +3)=0 \ \longrightarrow \ \begin{cases} \lambda=0 \\[2ex] -\lambda^2 +2\lambda +3=0 \ \longrightarrow \ \begin{cases} \lambda=-1 \\[2ex] \lambda = 3 \end{cases}\end{cases}$

Calcoliamo l’autovettore associato all’autovalore 0:

$\displaystyle (A-0I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1&0&-1&0\\[1.1ex] 2&-1&-3&0\\[1.1ex] -2&0&2&0\\[1.1ex] 0&0&0&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}w \\[1.1ex] x \\[1.1ex] y\\[1.1ex] z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0\\[1.1ex] 0 \\[1.1ex] 0\end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} w-y = 0 \\[2ex] 2w-x-3y = 0\\[2ex] -2w+2y=0 \\[2ex] 3z=0 \end{array}\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{l} w=y \\[2ex] x=-w \\[2ex]z=0 \end{array}$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] -1 \\[1.1ex] 1 \\[1.1ex]0 \end{pmatrix}$

Calcoliamo l’autovettore associato all’autovalore -1:

$\displaystyle (A+1I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix} 2&0&-1&0\\[1.1ex] 2&0&-3&0\\[1.1ex] -2&0&3&0\\[1.1ex] 0&0&0&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}w \\[1.1ex] x \\[1.1ex] y\\[1.1ex] z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0\\[1.1ex] 0 \\[1.1ex] 0\end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} 2w-y = 0 \\[2ex] 2w-3y = 0\\[2ex] -2w+3y=0 \\[2ex] 4z=0 \end{array}\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{l} y=w=0 \\[2ex]z=0 \end{array}$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 1 \\[1.1ex] 0 \\[1.1ex]0 \end{pmatrix}$

Calcoliamo l’autovettore associato all’autovalore 3:

$\displaystyle (A-3I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix} -2&0&-1&0\\[1.1ex] 2&-4&-3&0\\[1.1ex] -2&0&-1&0\\[1.1ex] 0&0&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}w \\[1.1ex] x \\[1.1ex] y\\[1.1ex] z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0\\[1.1ex] 0 \\[1.1ex] 0\end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} -2w-y = 0 \\[2ex] 2w-4x-3y = 0\\[2ex] -2w-y=0 \\[2ex] 0=0 \end{array}\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{l} y=-2w \\[2ex] x=2w \end{array}$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] 2 \\[1.1ex] -2 \\[1.1ex]0 \end{pmatrix}$

L’autovalore 3 ha molteplicità pari a 2, perché si ripete due volte. Dobbiamo quindi trovare un altro autovettore che soddisfi le stesse equazioni:

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \\[1.1ex] 0 \\[1.1ex]1 \end{pmatrix}$

Pertanto gli autovalori e gli autovettori della matrice A sono:

$\displaystyle \lambda = 0 \qquad v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] -1 \\[1.1ex] 1 \\[1.1ex]0\end{pmatrix}$

$\displaystyle \lambda = -1 \qquad v = \begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 1 \\[1.1ex] 0 \\[1.1ex]0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \lambda = 3 \qquad v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] 2 \\[1.1ex] -2 \\[1.1ex]0\end{pmatrix}$

$\displaystyle \lambda = 3 \qquad v = \begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \\[1.1ex] 0 \\[1.1ex]1\end{pmatrix}$

Che cosa sono un autovalore e un autovettore?

Come calcolare gli autovalori (o autovalori) e gli autovettori (o autovettori) di una matrice?

Esempio di calcolo degli autovalori e degli autovettori di una matrice:

Esercizi risolti su autovalori e autovettori (autovalori e autovettori)

Esercizio 1

Esercizio 2

Esercizio 3

Esercizio 4

Esercizio 5

Esercizio 6

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