Il binomio di Newton è una formula matematica utilizzata per esprimere la somma di due termini elevati ad una data potenza . Questa formula, che prende il nome dal matematico britannico Isaac Newton, è utilizzata in molti settori della matematica.
Ad esempio, è utile in statistica, teoria della probabilità e calcolo differenziale e integrale. Il teorema del binomio permette di calcolare in modo semplice la potenza di un binomio.
In parole povere, il binomio di Newton si basa su una formula con la quale è possibile risolvere qualsiasi espressione algebrica della forma (a+b) n . Nonostante il fatto che questa formula prenda il nome da Isaac Newton, vale la pena ricordare che esiste controversia sulla sua origine.
Vale a dire, alcune ricerche suggeriscono di trovare l’uso del teorema binomiale in Medio Oriente.
Quando è stato sviluppato il binomio di Newton?
Il teorema del binomio di Newton, noto anche come binomio di Newton, fu sviluppato nel 1665 e comunicato per la prima volta in due lettere del funzionario della Royal Society nel 1676 .
Queste lettere erano una risposta al matematico tedesco Gottfried Wilhelm von Leibniz, che cercava di comprendere meglio le indagini matematiche sulle serie infinite. Newton condivise i risultati del suo teorema e Leibniz riconobbe che era una tecnica utile per ottenere risultati in quadrature o serie.
Questa osservazione permise a Newton di concludere che era possibile operare sulle serie infinite allo stesso modo che sulle espressioni polinomiali finite . Sebbene Newton non pubblicò mai il suo teorema, il matematico britannico John Wallis lo pubblicò nel suo Algebra nel 1685 e ne attribuì la creazione.
Perché si chiama binomio di Newton?
Il binomio di Newton prende il nome dal matematico e fisico inglese Isaac Newton, che lo sviluppò nel XVII secolo . Newton non fu il primo a scoprire questo teorema, ma fu il primo a dimostrarne la validità per qualsiasi intero positivo n.
Il binomio di Newton è uno strumento matematico molto utile in algebra e calcolo ed è ampiamente utilizzato in campi come fisica, statistica, ingegneria e informatica.
Qual è la formula binomiale di Newton?
Come accennato in precedenza, il binomio di Newton è la formula con cui si possono trovare le potenze di un binomio . Per trovare tale potenza binomiale si utilizzano i “coefficienti binomiali”. Il termine precedente si riferisce a sequenze di combinazioni.
Tenendo presente questo, possiamo scomporre le formule binomiali di Newton come segue:
- (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
- (a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2
- (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3 ab 2 + b 3
Le espressioni matematiche che si riferiscono allo sviluppo di (a+b) n sono chiamate entità notevoli, e permettono di ottenere una formula generale che rappresenta questa operazione per qualsiasi numero naturale “n”.
Esaminando i coefficienti di ciascun polinomio risultante, possiamo notare una sequenza che segue quello che è noto come Triangolo di Pascal .
La sequenza del triangolo di Pascal inizia con il numero 1, e in ogni riga successiva le cifre finali sono sempre 1. I valori intermedi si ottengono sommando i due numeri della riga precedente che sono direttamente sopra il valore da calcolare.
Come trovare un termine nel binomio di Newton?
Per trovare un termine specifico nel binomio di Newton, viene utilizzata la formula generale:
Oro:
a e b sono i coefficienti del binomio.
n è l’esponente del binomio.
k è il termine specifico che vogliamo trovare.
Σ rappresenta la somma di k=0 a n.
[nk] è il coefficiente binomiale calcolato con la seguente formula:
Pertanto la formula completamente espansa è tale che:
Esempio di binomio di Newton risolto
Una volta trovati questi valori, vengono sostituiti nella formula e l’espressione viene risolta per ottenere il termine specifico. Ad esempio, se volessimo trovare il quinto termine del binomio (2x + 3) 6 , avremmo:
uno = 2x
b = 3
n=6
k = 5
Quindi, utilizzando la formula:
Il quinto termine corrisponde a k=5, abbiamo quindi:
Pertanto il quinto termine del binomio (2x + 3) 6 è 2916x.
Cos’è un binomio di Newton di grado 5?
Un binomio Newton di grado 5 è un’espressione algebrica della forma (a + b) 5 , dove “a” e “b” sono variabili e l’ esponente 5 indica il grado del binomio . Espandendo questa espressione, otteniamo un polinomio quadratico che ha sei termini:
(a + b) 5 = a 5 + 5a 4 b + 10a 3 b 2 + 10a 2 b 3 + 5ab 4 + b 5
Ciascun termine di questo polinomio si ottiene combinando i coefficienti del binomio con le potenze di “a” e “b”. Ad esempio, il secondo termine (5a 4 b) si ottiene moltiplicando il coefficiente binomiale (5 scegli 1 = 5) per “a” elevato alla quarta potenza e per b elevato alla prima potenza.
I binomi di grado 5 di Newton sono utili in diversi rami della matematica e della fisica, come la statistica, la teoria della probabilità e la meccanica quantistica.
Quali sono le applicazioni del binomio di Newton?
Il binomio di Newton ha un’ampia varietà di applicazioni in vari campi, tra cui:
- Calcolo delle probabilità : il teorema binomiale viene utilizzato per calcolare le probabilità di eventi binomiali, come il lancio di una moneta o il successo o il fallimento di una serie di test.
- Teoria dei numeri – Il binomio di Newton viene utilizzato per espandere i polinomi e semplificare le equazioni nella teoria dei numeri.
- Statistica : il binomio di Newton viene utilizzato per calcolare le distribuzioni binomiali e nella costruzione di intervalli di confidenza.
- Fisica – In fisica, il teorema binomiale viene utilizzato, tra gli altri campi, nella teoria della relatività e nella meccanica quantistica.
- Economia e Finanza : il binomio di Newton viene utilizzato per calcolare il valore attuale e futuro dei flussi di cassa nel tempo e nella valutazione delle opzioni finanziarie.
- Programmazione e informatica : il binomio di Newton viene utilizzato nello sviluppo di algoritmi e nella programmazione dei computer.
Perché il binomio di Newton è importante?
Il binomio di Newton è rilevante perché è uno strumento matematico fondamentale per lo sviluppo dell’algebra e della teoria dei numeri . Permette di calcolare il risultato della quadratura o di qualsiasi altra potenza di un binomio, il che è molto utile per risolvere equazioni e semplificare le espressioni algebriche.
Inoltre, ha applicazioni in campi come la statistica, la probabilità e la fisica , tra gli altri. In sintesi, il binomio di Newton è un concetto essenziale in matematica e comprenderlo è fondamentale per progredire in molti campi di studio.
Esistono altri modi per esprimere il binomio di Newton?
Sì, ci sono altri modi per esprimere il binomio di Newton. Ad esempio, può essere espresso in termini di coefficienti binomiali utilizzando la notazione combinatoria.
Inoltre, può essere espresso in termini di funzioni esponenziali e funzioni trigonometriche utilizzando la formula di Eulero. Allo stesso modo, in termini di funzione gamma utilizzando la formula di Legendre. Queste espressioni alternative possono essere utili in diversi contesti e problemi matematici.
Esempi di binomi di Newton
Vediamo allora alcuni semplici esempi di applicazione del binomio di Newton.
Esempio 1: Calcola il termine di ordine 3 nello sviluppo di (x + y) 5 .
Soluzione: Nell’espansione di (x + y) 5 , il coefficiente del primo termine è 1, il coefficiente del secondo termine è 5, il coefficiente del terzo termine è 10, il coefficiente del quarto termine è 10, il il coefficiente del quinto termine è 5 e il coefficiente del sesto termine è 1.
Il termine dell’ordine 3 è quindi:
10×2 e 3
Esempio 2: Trova il termine indipendente nell’espansione di (2x – 1) 4 .
Soluzione: Nello sviluppo di (2x – 1) 4 , il termine indipendente si trova nella combinazione (2x) p (-1) (4-p) , dove p è il valore che costituisce l’esponente di (2x) p e (-1) (4-p) somma fino a 4.
Il termine indipendente è quindi:
(2x) 2 (-1) 2 = 4
Esempio 3: Trovare il termine di grado più alto nell’espansione di (3x – 2y) 6 .
Soluzione: Il termine di grado più alto nell’espansione di (3x – 2y) 6 si trova nella combinazione (3x) p (-2y) (6-p) , dove p è il valore che costituisce l’esponente di (3x) p e (-2y) (6-p) pari al grado del binomio, che è 6.
Pertanto il termine di grado più alto è:
(3x) 3 (-2y) 3 = -216x 3 e 3