Binomio al cubo - Mathority

Qui troverai la spiegazione della risoluzione del prodotto notevole di un binomio al cubo (formula), sia (a+b) ³ che (ab) ³ . Inoltre potrai vedere esempi ed esercizi risolti passo passo dai binomi al cubo.

Cos’è un binomio al cubo?

Un binomio al cubo è un polinomio formato da due termini elevati a 3. Di conseguenza, l’espressione algebrica di un binomio al cubo può essere (a+b) ³ o (ab) ³ , a seconda che si sommino o sottraggano i loro monomi.

Inoltre, il binomio al cubo è una delle identità notevoli (o prodotti notevoli). Più precisamente, corrisponde ad una delle identità notevoli del cubo (o cubico).

formula del cubo binomiale

Come abbiamo visto nella definizione di binomio al cubo, questo tipo di identità notevole può consistere in addizione o sottrazione. Pertanto la formula varia leggermente a seconda che si tratti di un binomio positivo o di un binomio negativo e quindi vedremo ogni caso separatamente.

cubo di una somma

Quando una somma è al cubo, possiamo calcolarla utilizzando la formula per il cubo di una somma:

Quindi un binomio al cubo (addizione) è uguale al cubo del primo, più il triplo del quadrato del primo per il secondo, più il triplo del primo per il quadrato del secondo, più il cubo del secondo.

Un altro metodo per calcolare il cubo di un binomio è il binomio di Newton (o teorema del binomio). Vi lasciamo il seguente link con la spiegazione di questo teorema perché è molto utile conoscere questa formula, poiché funziona non solo per le potenze dei binomi di terzo grado, ma anche per esponenti superiori. Quindi clicca su questo link per scoprirlo ed essere in grado di esercitarti con gli esercizi binomiali di Newton risolti .

cubo di differenza

Se invece invece di una somma abbiamo una differenza (o sottrazione) elevata al cubo, la formula del binomio al cubo cambia nel segno dei termini pari:

binomio di una differenza o sottrazione alla formula del cubo

Pertanto un binomio al cubo (sottrazione) è uguale al cubo del primo, meno tre volte il quadrato del primo per il secondo, più tre volte il primo al quadrato del secondo, meno il cubo del secondo.

Quindi l’unico modo in cui differiscono le formule del cubo di una somma e del cubo di una differenza è nei segni del secondo e del quarto termine, poiché nel binomio di una somma sono tutte positive e, al contrario, in i binomi di una sottrazione sono entrambi negativi.

Abbiamo appena visto cosa sono il binomio somma e il binomio differenza. Ebbene, devi sapere che anche la somma per differenza di due binomi è un’identità notevole e, infatti, fa parte delle prime 3 (le più importanti). Puoi vedere qual è la formula per una somma per differenza e come viene applicata nella pagina collegata.

Esempi di binomi al cubo

Ora che conosciamo la formula del cubo di una somma e la formula del cubo di una differenza, vedremo un esempio di risoluzione di ciascun tipo di binomio al cubo per completare la comprensione del concetto.

Esempio del cubo di una somma

Risolvi il binomio al seguente cubo applicando la formula:

$(x+2)^3$

In questo problema abbiamo un binomio i cui due termini sono positivi. Dobbiamo quindi applicare la formula per una somma al cubo:

$(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2 +b^3$

Ora dobbiamo trovare il valore dei parametri

$a$

$b$

della formula. In questo caso,

$a$

corrispondono alla variabile

$x$

$b$

è il numero 2.

$\left. \begin{array}{l} (a+b)^3\\[2ex] (x+2)^3 \end{array} \color{red} \right\} \quad \color{red}\bm{\longrightarrow}\quad \color{black} \begin{array}{c} a=x \\[2ex] b=2 \end{array}$

Pertanto, calcoliamo il binomio al cubo sostituendo i valori di

$a$

e di

$b$

nella formula:

esempio di binomio somma e differenza al cubo

Esempio di cubo differenza

Calcola il successivo binomio al cubo (differenza) utilizzando la formula corrispondente:

$(3x-2)^3$

In questo esercizio abbiamo una coppia con un elemento positivo e un elemento negativo. Dobbiamo quindi utilizzare la formula per la differenza al cubo:

$(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2 -b^3$

È quindi necessario individuare il valore delle incognite

$a$

$b$

della formula. In questo caso,

$a$

rappresenta il monomio 3x e

$b$

è il termine indipendente del binomio, cioè 2.

$\left. \begin{array}{l} (a-b)^3\\[2ex] (3x-2)^3 \end{array} \color{red} \right\} \quad \color{red}\bm{\longrightarrow}\quad \color{black} \begin{array}{c} a=3x \\[2ex] b=2 \end{array}$

Si noti che il parametro

$b$

è semplicemente uguale a 2, senza il segno negativo del numero. È importante tenerlo presente per applicare correttamente la formula.

Infine risolviamo il binomio al cubo ponendo i valori di

$a$

e di

$b$

nella formula:

Dimostrazione della formula del cubo binomiale

Successivamente, dimostreremo la formula per un binomio al cubo. Anche se ovviamente non è necessario conoscerlo, è sempre bene comprendere l’algebra che sta dietro a qualsiasi formula.

Da un binomio al cubo positivo:

$(a+b)^3$

L’espressione di cui sopra può essere matematicamente scomposta nel prodotto del fattore

$(a+b)$

per il suo quadrato:

$(a+b)^3=(a+b)\cdot (a+b)^2$

Inoltre, la coppia

$(a+b)$

elevato a 2 è un’identità notevole, quindi possiamo risolverla con la formula del quadrato di una somma :

$(a+b)\cdot (a+b)^2=(a+b)\cdot (a^2+2ab+b^2)$

Ora moltiplichiamo le due parentesi utilizzando la proprietà distributiva:

$\begin{aligned} (a+b)\cdot (a^2+2ab+b^2) & = a\cdot a^2 +a\cdot 2ab + a\cdot b^2+b\cdot a^2 +b\cdot 2ab +b \cdot b^2 \\[2ex] & = a^3+2a^2b+ab^2+ba^2+2ab^2+b^3 \end{aligned}$

E, infine, non ci resta che raggruppare i termini che sembrano simili:

$a^3+2a^2b+ab^2+ba^2+2ab^2+b^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

Per verificare la formula di un binomio al cubo:

$(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2 +b^3$

Logicamente, per dedurre la formula del cubo binomio negativo, segui gli stessi passaggi che abbiamo appena fatto ma iniziando dal termine

$b$

cambiato segno.

D’altra parte, la formula di un binomio al cubo può essere dimostrata anche utilizzando il triangolo di Pascal (o Tartaglia) . Nel caso in cui non sai cos’è questo trucco matematico, ti lasciamo questo link dove viene spiegato passo dopo passo. Inoltre, potrai vedere tutte le sue applicazioni e la storia particolare di questo triangolo algebrico molto speciale.

Risolti i problemi del cubo binomiale

Affinché tu possa esercitarti con la teoria che abbiamo appena visto sul calcolo di un binomio elevato a 3, abbiamo preparato diversi esercizi risolti passo dopo passo sul binomio al cubo.

Quindi non dimenticare di dirci cosa ne pensi di questa spiegazione! E puoi anche farci qualsiasi domanda ti venga in mente! 👍👍👍

Esercizio 1

Trova i seguenti binomi al cubo:

$\text{A)} \ (x+4)^3$

$\text{B)} \ \left(x^2-5\right)^3$

$\text{C)} \ \left(2x-1\right)^3$

$\text{D)} \ (5x+2)^3$

vedi soluzione

Per trovare tutte le identità notevoli del problema è sufficiente applicare al cubo la formula binomiale, a seconda che si tratti di un’addizione o di una sottrazione:

$(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2 +b^3$

$(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

$\text{A)} \ \begin{aligned}(x+4)^3& =x^3+3\cdot x^2\cdot 4 +3\cdot x\cdot 4^2+4^3\\[2ex] & =x^3+3\cdot x^2\cdot 4 +3\cdot x\cdot 16+64 \\[2ex] & = \bm{x^3+12x^2+48x+64}\end{aligned}$

$\text{B)} \ \begin{aligned}\left(x^2-5\right)^3& =\left(x^2\right)^3-3\cdot \left(x^2\right)^2\cdot 5 +3\cdot x^2\cdot 5^2-5^3\\[2ex] & =x^6-3\cdot x^4\cdot 5 +3\cdot x^2\cdot 25-125 \\[2ex] & = \bm{x^6-15x^4+75x^2-125}\end{aligned}$

$\text{C)} \ \begin{aligned}\left(2x-1\right)^3& =\left(2x\right)^3-3\cdot \left(2x\right)^2\cdot 1 +3\cdot 2x\cdot 1^2-1^3\\[2ex] & =8x^3-3\cdot 4x^2\cdot 1 +3\cdot 2x\cdot 1-1 \\[2ex] & = \bm{8x^3-12x^2+6x-1}\end{aligned}$

$\text{D)} \ \begin{aligned}(5x+2)^3& =(5x)^3+3\cdot \left(5x\right)^2\cdot 2 +3\cdot 5x\cdot 2^2+2^3\\[2ex] & =125x^3+3\cdot 25x^2\cdot 2 +3\cdot 5x\cdot 4+8 \\[2ex] & = \bm{125x^3+150x^2+60x+8}\end{aligned}$

Esercizio 2

Determina i seguenti binomi al cubo di due quantità applicando la formula corrispondente:

$\text{A)} \ \left(4x^2-y^5\right)^3$

$\text{A)} \ \left(6x^3+2y^4\right)^3$

$\text{C)} \ \displaystyle \left(\frac{9}{2}x^2-\frac{4}{3}x\right)^3$

vedi soluzione

Per calcolare tutti i prodotti notevoli dell’esercizio, è necessario utilizzare la formula per somma e sottrazione al cubo:

$(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2 +b^3$

$(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

$\text{A)} \ \begin{aligned}\left(4x^2-y^5\right)^3& =\left(4x^2\right)^3-3\cdot \left(4x^2\right)^2\cdot y^5 +3\cdot 4x^2\cdot \left(y^5\right)^2-\left(y^5\right)^3\\[2ex] & =64x^6-3\cdot 16x^4\cdot y^5 +3\cdot 4x^2\cdot y^{10}-y^{15} \\[2ex] & = \bm{64x^6-48x^4y^5+12x^2y^{10}-y^{15}}\end{aligned}$

$\text{B)} \ \begin{aligned}\left(6x^3+2y^4\right)^3& =\left(6x^3\right)^3+3\cdot \left(6x^3\right)^2\cdot 2y^4 +3\cdot 6x^3\cdot \left(2y^4\right)^2+\left(2y^4\right)^3\\[2ex] & =216x^9+3\cdot 36x^6\cdot 2y^4 +3\cdot 6x^3\cdot 4y^8+8y^{12} \\[2ex] & = \bm{216x^9+216x^6y^4 +72x^3y^8+8y^{12}}\end{aligned}$

I monomi dell’ultimo binomio al cubo hanno coefficienti frazionari, quindi per risolverlo dobbiamo utilizzare le proprietà delle frazioni:

$\text{C)} \ \displaystyle \begin{aligned}\left(\frac{9}{2}x^2-\frac{4}{3}x\right)^3 & =\left(\frac{9}{2}x^2\right)^3-3\cdot \left(\frac{9}{2}x^2\right)^2\cdot \frac{4}{3}x +3\cdot \frac{9}{2}x^2\cdot \left(\frac{4}{3}x\right)^2-\left(\frac{4}{3}x\right)^3\\[3ex] & =\frac{9^3}{2^3}x^6-3\cdot \frac{9^2}{2^2}x^4\cdot \frac{4}{3}x +3\cdot \frac{9}{2}x^2\cdot \frac{4^2}{3^2}x^2-\frac{4^3}{3^3}x^3 \\[3ex] &= \frac{729}{8}x^6-3\cdot \frac{81}{4}x^4\cdot \frac{4}{3}x +3\cdot \frac{9}{2}x^2\cdot \frac{16}{9}x^2-\frac{64}{27}x^3 \\[3ex] &= \frac{729}{8}x^6-3\cdot \frac{324}{12}x^5 +3\cdot \frac{144}{18}x^4-\frac{64}{27}x^3 \\[3ex] &= \frac{729}{8}x^6-3\cdot 27x^5 +3\cdot 8x^4-\frac{64}{27}x^3 \\[3ex] & = \mathbf{\frac{729}{8}}\bm{x^6-81x^5 +24x^4-}\mathbf{\frac{64}{27}}\bm{x^3}\end{aligned}$

Cubo binomiale

Cos’è un binomio al cubo?

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Esempi di binomi al cubo

Esempio del cubo di una somma

Esempio di cubo differenza

Dimostrazione della formula del cubo binomiale

Risolti i problemi del cubo binomiale

Esercizio 1

Esercizio 2

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