Angolo tra due piani nello spazio (formula)

In questa pagina troverai come calcolare l’angolo formato da due piani nello spazio (formula). Inoltre, potrai vedere esempi ed esercitarti con esercizi risolti.

Formula dell’angolo tra due piani

L’angolo tra due piani è uguale all’angolo formato dai vettori normali di detti piani. Pertanto, per trovare l’angolo tra due piani, si calcola l’angolo formato dai loro vettori normali, poiché sono equivalenti.

Quindi, una volta che sappiamo esattamente qual è l’angolo tra due piani, diamo un’occhiata alla formula per calcolare l’angolo tra due piani nello spazio (in R3), che si deduce dalla formula per l’angolo tra due vettori :

Data l’equazione generale (o implicita) di due piani diversi:

$\pi_1 : \ A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0$

$\pi_2 : \ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0$

Il vettore normale di ciascun piano è:

$\vv{n}_1=(A_1,B_1,C_1)$

$\vv{n}_2=(A_2,B_2,C_2)$

E l’angolo formato da questi due piani si determina calcolando l’angolo formato dai loro vettori normali utilizzando la seguente formula:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}$

Quindi, per determinare l’angolo tra due piani, devi padroneggiare il calcolo del prodotto scalare di due vettori . Se non ricordi come è stato fatto, nel link troverai i passaggi per risolvere il prodotto scalare tra due vettori. Inoltre, potrai vedere esempi ed esercizi risolti passo dopo passo.

Quando invece i due piani sono perpendicolari o paralleli, non è necessario applicare la formula, perché l’angolo tra i 2 piani può essere determinato direttamente:

L’angolo tra due piani paralleli è 0º, poiché i loro vettori normali hanno la stessa direzione.
L’angolo tra due piani perpendicolari è 90º, perché anche i loro vettori normali sono perpendicolari (o ortogonali) tra loro e quindi formano un angolo retto.

Esempio di calcolo dell’angolo tra due piani

Ecco un esempio concreto per vedere come determinare l’angolo tra due piani diversi:

Calcola l’angolo tra i due piani seguenti:

$\pi_1 : \ 3x-5y+z+4=0$

$\pi_2 : \ 4x+2y+3z-1=0$

La prima cosa che dobbiamo fare è trovare il vettore normale di ciascun piano. Pertanto, le coordinate X, Y, Z del vettore perpendicolare a un piano coincidono rispettivamente con i coefficienti A, B e C della sua equazione generale (o implicita):

$\vv{n}_1 = (3,-5,1)$

$\vv{n}_2 = (4,2,3)$

E una volta conosciuto il vettore normale a ciascun piano, calcoliamo l’angolo che formano con la formula:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}$

Dobbiamo quindi trovare il modulo di ciascun vettore normale:

$\sqrt{3^2+(-5)^2+1^2}= \sqrt{9+25+1} = \sqrt{35}$

$\sqrt{4^2+2^2+3^2}= \sqrt{16+4+9} = \sqrt{29}$

Ora sostituiamo il valore di ciascuna incognita nella formula:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}=\cfrac{\lvert (3,-5,1) \cdot (4,2,3)\rvert}{\sqrt{35} \cdot \sqrt{29} }$

Calcoliamo il coseno dell’angolo risolvendo il prodotto scalare dei due vettori:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert 3\cdot 4 + (-5)\cdot 2 +1 \cdot 3 \rvert}{\sqrt{35}\cdot \sqrt{29} }=\cfrac{\lvert 12-10+3 \rvert}{\sqrt{1015}}= \cfrac{5}{31,86}=0,16$

E, infine, determiniamo l’angolo facendo l’inverso del coseno usando la calcolatrice:

$\displaystyle \alpha = \cos^{-1}(0,16)=\bm{80,97º}$

Risolti problemi dell’angolo tra due piani

Esercizio 1

Trova l’angolo tra i due piani seguenti:

$\pi_1 : \ x+2z-5=0$

$\pi_2 : \ 3x+y-4z+7=0$

vedi soluzione

La prima cosa che dobbiamo fare è trovare il vettore normale di ciascun piano. Pertanto, le coordinate X, Y, Z del vettore perpendicolare a un piano sono rispettivamente equivalenti ai coefficienti A, B e C della sua equazione generale (o implicita):

$\vv{n}_1 = (1,0,2)$

$\vv{n}_2 = (3,1,-4)$

Una volta conosciuto il vettore normale di ciascun piano, calcoliamo l’angolo che formano con la formula:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}$

Dobbiamo quindi trovare il modulo di ciascun vettore normale:

$\sqrt{1^2+0^2+2^2}= \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$

$\sqrt{3^2+1^2+(-4)^2}= \sqrt{9+1+16} = \sqrt{26}$

Sostituiamo il valore di ciascuna incognita nella formula:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}=\cfrac{\lvert (1,0,2) \cdot (3,1,-4)\rvert}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{26} }$

Calcoliamo il coseno dell’angolo:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert 1\cdot 3 + 0\cdot 1 +2 \cdot (-4) \rvert}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{26} }=\cfrac{\lvert 3-8 \rvert}{\sqrt{130}}= \cfrac{5}{11,4}=0,44$

E infine, troviamo l’angolo tra i due piani invertendo il coseno con la calcolatrice:

$\displaystyle \alpha = \cos^{-1}(0,44)=\bm{63,99º}$

Esercizio 2

Qual è l’angolo formato dai seguenti due piani?

$\pi_1 : \ 3x-2y+5z=0$

$\pi_2 : \ 6x+3y-z-2=0$

vedi soluzione

La prima cosa che dobbiamo fare è trovare il vettore normale di ciascun piano. Pertanto, le coordinate X, Y, Z del vettore perpendicolare a un piano sono rispettivamente uguali ai parametri A, B e C della sua equazione generale (o implicita):

$\vv{n}_1 = (3,-2,5)$

$\vv{n}_2 = (6,3,-1)$

Una volta conosciuto il vettore normale di ciascun piano, calcoliamo l’angolo che formano con la formula:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}$

Dobbiamo quindi trovare il modulo di ciascun vettore normale:

$\sqrt{3^2+(-2)^2+5^2}= \sqrt{9+4+25} = \sqrt{38}$

$\sqrt{6^2+3^2+(-1)^2}= \sqrt{36+9+1} = \sqrt{46}$

Sostituiamo il valore di ciascuna variabile nella formula:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}=\cfrac{\lvert (3,-2,5) \cdot (6,3,-1)\rvert}{\sqrt{38} \cdot \sqrt{46} }$

Calcoliamo il coseno dell’angolo:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert 3\cdot 6 + (-2)\cdot 3 +5 \cdot (-1) \rvert}{\sqrt{38}\cdot \sqrt{46} }=\cfrac{\lvert 18-6-5 \rvert}{\sqrt{1748}}= \cfrac{7}{41,81}=0,17$

E, infine, determiniamo l’angolo invertendo il coseno con la calcolatrice:

$\displaystyle \alpha = \cos^{-1}(0,17)=\bm{80,36º}$

Esercizio 3

Calcolare il valore del parametro

$k$

in modo che i seguenti due piani siano perpendicolari:

$\pi_1 : \ x+2y-3z+1=0$

$\pi_2 : \ -2x+5y+kz+4=0$

vedi soluzione

Innanzitutto per calcolare gli angoli tra i piani bisogna sempre trovare il vettore normale di ciascun piano:

$\vv{n}_1 = (1,2,-3)$

$\vv{n}_2 = (-2,5,k)$

Due piani perpendicolari formano un angolo di 90º, quindi anche i loro vettori normali saranno di 90º. Possiamo quindi determinare il valore dell’incognita.

$k$

con la formula per l’angolo tra due vettori:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}$

$\displaystyle \cos(90º) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}$