Qui imparerai cosa sono la concavità e la convessità di una funzione e come capire se una funzione è concava o convessa. Inoltre, potrai esercitarti con esercizi passo passo sulla curvatura di una funzione.
Che cosa sono la concavità e la convessità di una funzione?
La concavità e la convessità di una funzione si riferiscono alla curvatura del grafico di una funzione. Una funzione concava è una funzione il cui grafico ha la forma di una montagna, mentre una funzione convessa è una funzione il cui grafico ha la forma di una valle.
Nel paragrafo precedente, le funzioni concava e convessa sono state definite in modo informale per facilità di comprensione, ma la definizione matematica di funzione concava e funzione convessa è la seguente:
- Funzione concava: quando il segmento che unisce due punti qualsiasi della funzione è al di sotto della curva.
- Funzione convessa: quando il segmento che unisce due punti qualsiasi della funzione è al di sopra della curva.
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In definitiva, la differenza tra una funzione concava e una funzione convessa risiede nella forma della funzione e quindi è possibile distinguere la concavità dalla convessità dal grafico della funzione.
Tuttavia, una funzione non deve necessariamente essere concava o convessa su tutto il suo dominio, ma può anche essere concava su un intervallo e convessa su un altro intervallo.
Nota: La comunità matematica non è ancora del tutto d’accordo e, quindi, alcuni professori dicono il contrario: chiamano concava una funzione che ha la forma di un
, e una funzione convessa che ha la forma di
. In ogni caso l’importante è sapere qual è la funzione, qualunque sia il nome.
Come studiare la curvatura di una funzione
Studiare la curvatura di una funzione implica trovare la concavità e la convessità della funzione, cioè conoscere gli intervalli in cui la funzione è concava e gli intervalli in cui la funzione è convessa.
Quindi, per studiare la curvatura di una funzione, è necessario eseguire i seguenti passaggi:
- Trova i punti che non appartengono al dominio della funzione.
- Calcolare la derivata prima e la derivata seconda della funzione.
- Trova le radici della derivata seconda , cioè calcola i punti che annullano la derivata seconda risolvendo
.
- Crea intervalli con le radici della derivata e i punti che non appartengono al dominio della funzione.
- Calcola il valore della derivata seconda in un punto di ciascun intervallo.
- Pertanto, il segno della derivata seconda determina la concavità o convessità della funzione in questo intervallo:
- Se la derivata seconda della funzione è positiva, la funzione è convessa su questo intervallo.
- Se la derivata seconda della funzione è negativa, la funzione è concava su questo intervallo.
Esempio di come trovare la curvatura di una funzione
Successivamente, risolveremo un esempio passo dopo passo in modo da poter vedere come vengono calcolati gli intervalli di concavità e convessità di una funzione.
- Studiare la concavità e la convessità della seguente funzione:
La prima cosa da fare è calcolare il dominio di definizione della funzione. In questo caso abbiamo una funzione polinomiale, quindi il dominio della funzione è costituito da numeri reali:
Una volta calcolato il dominio della funzione, dobbiamo indagare in quali punti la derivata seconda della funzione svanisce.
Calcoliamo quindi la derivata prima della funzione:
Troviamo quindi la derivata seconda della funzione:
E ora impostiamo la derivata seconda uguale a 0 e risolviamo l’equazione:
Una volta calcolato il dominio della funzione e
, rappresentiamo tutti i punti critici presenti sulla retta. In questo caso non abbiamo trovato alcun punto critico nel calcolo del dominio di definizione della funzione, ma abbiamo ottenuto un punto che annulla la derivata seconda della funzione:
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E ora valutiamo il segno della derivata seconda in ogni intervallo, per sapere se la funzione è concava o convessa. Prendiamo quindi un punto in ogni intervallo (mai i punti critici) e guardiamo che segno ha la derivata seconda in questo punto:
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Infine, deduciamo gli intervalli di concavità e convessità della funzione. Se la derivata seconda è positiva significa che la funzione è convessa.
, e se la derivata seconda è negativa significa che la funzione è concava
. Pertanto gli intervalli di concavità e convessità della funzione sono:
Convesso
:
Concavo
:
Esercizi risolti sulla concavità e convessità di una funzione
Esercizio 1
Calcola gli intervalli di concavità e convessità della seguente funzione polinomiale:
Esercizio 2
Studiare la curvatura della seguente funzione razionale:
Esercizio 3
Una funzione
ha un estremo relativo in
. Inoltre la funzione è convessa
in questo stesso punto. Determina se l’estremo relativo è un minimo o un massimo.
➤ Vedi: definizione di massimi e minimi di una funzione