Interpolazione lineare e quadratica

In questa pagina imparerai cosa significa interpolare una funzione. Nello specifico, vengono spiegate l’interpolazione lineare e l’interpolazione quadratica. Inoltre, sarai in grado di vedere più esempi in modo da non avere dubbi su come viene interpolata una funzione.

Cos’è l’interpolazione delle funzioni?

La definizione di interpolazione è la seguente:

In matematica, l’interpolazione è una procedura utilizzata per approssimare il valore che una funzione assume in un punto di un intervallo di cui si conoscono gli estremi.

Qual è la differenza tra interpolazione ed estrapolazione?

Interpolare ed estrapolare hanno significati molto simili, poiché entrambi implicano la stima del valore di una funzione in un punto da due punti noti.

Tuttavia l’interpolazione consiste nel fare un’approssimazione di un punto situato nell’intervallo formato da questi due punti noti. Estrapolare significa invece stimare il valore della funzione in un punto esterno all’intervallo di cui sono costituiti questi due punti noti.

interpolazione ed estrapolazione o interpolazione ed estrapolazione

Come puoi vedere nel grafico sopra, i punti noti sono (2,3) e (6,5). In questo caso, vogliamo interpolare a x=4, perché è compreso tra i punti noti, e, d’altra parte, vogliamo estrapolare a x=8, perché è al di fuori dell’intervallo noto.

Ovviamente un valore interpolato è molto più affidabile di un valore estrapolato, perché nell’estrapolazione si assume che la funzione seguirà un percorso simile. Tuttavia, è possibile che la pendenza della funzione cambi al di fuori dei limiti dell’intervallo noto e la stima sia errata.

Interpolazione lineare

L’interpolazione lineare è un caso speciale di interpolazione polinomiale newtoniana. In questo caso si utilizza un polinomio di primo grado, cioè una funzione lineare o affine, per indovinare il valore della funzione in un punto.

Dati due punti noti,

$P_1(x_1,y_1)$

$P_2(x_2,y_2)$

, la formula per eseguire l’interpolazione lineare è:

$y=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\cdot(x-x_1) + y_1$

Oro

$x$

$y$

sono le coordinate del punto interpolato.

Possiamo verificare che questa formula corrisponde all’equazione punto-pendenza della retta.

Esempio di interpolazione lineare

Successivamente vedremo un problema come esempio per completare la comprensione del concetto di interpolazione lineare:

In una fabbrica vengono prodotti 2 articoli in 4 ore e 10 articoli in 8 ore. Se il numero di articoli prodotti ha una relazione lineare con le ore lavorate, quanti articoli verranno prodotti in 5 ore?

Innanzitutto, dobbiamo definire la funzione lineare che mette in relazione le ore lavorate con gli articoli prodotti. In questo caso, X saranno le ore lavorate e Y saranno gli articoli prodotti. Perché a seconda delle ore lavorate verranno prodotti più o meno pezzi, ovvero la produzione dipende dalle ore e non viceversa.

Dall’affermazione sappiamo che la funzione passa per i punti (4,2) e (8,10). È quindi sufficiente applicare la formula per interpolare nel punto

$x=5:$

$y=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\cdot(x-x_1) + y_1$

Sostituiamo i valori dei punti nell’equazione:

$y=\cfrac{10-2}{8-4}\cdot(5-4) + 2$

E facciamo le operazioni:

$y=\cfrac{8}{4}\cdot1 + 2 = 2\cdot 1 +2 = 4$

$\bm{y=4}$

Quindi 5 ore produrranno 4 articoli .

interpolazione quadratica

L’interpolazione quadratica prevede l’interpolazione con un polinomio di secondo grado invece che con un polinomio di grado 1. Pertanto, in questo caso, viene utilizzata una funzione quadratica o parabola .

$y = ax^2+bx+c$

In generale, l’interpolazione del secondo ordine è più accurata dell’interpolazione del primo ordine perché è di grado più elevato. Al contrario, è necessario un punto in più per poter eseguire l’interpolazione.

Il matematico Lagrange sviluppò una formula per trovare la funzione di interpolazione di ordine n. Per il caso del secondo ordine, il polinomio di interpolazione di Lagrange è il seguente:

$y=\cfrac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x-x_2)}\cdot y_0+ \cfrac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_0-x_2)}\cdot y_1+ \cfrac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}\cdot y_2$

dove si trovano i punti noti

$P_1(x_1,y_1)$

$P_2(x_2,y_2)$

$P_3(x_3,y_3)$

Servono per trovare il valore della funzione sull’ascissa

$x.$

Tuttavia, in pratica, generalmente non si utilizza il metodo di interpolazione di Lagrange, ma si calcola la funzione quadratica dai 3 punti osservati, e poi si valuta il punto da interpolare nella funzione. Ecco un esercizio risolto per vedere come si fa:

Esempio di interpolazione quadratica

Determinare la funzione quadratica che passa per i punti (0,1), (1,0) e (3,4) quindi interpolare il valore di
$x=-1.$

Poiché le funzioni quadratiche sono polinomi del secondo ordine, la funzione di interpolazione sarà la seguente:

$y = ax^2+bx+c$

È quindi necessario calcolare i coefficienti

$a$

$b$

$c$

. Per fare ciò, sostituiamo le coordinate dei punti noti nella funzione:

$\left.\begin{array}{l} 1 = a\cdot 0^2+b\cdot 0+c \\[2ex] 0 = a\cdot 1^2+b\cdot 1+c \\[2ex] 4 = a\cdot 3^2+b\cdot 3+c \end{array} \right\} \longrightarrow \left.\begin{array}{l} 1 = c \\[2ex] 0 = a+b+c \\[2ex] 4 = 9a+3b+c \end{array} \right\}$

Risolviamo ora il sistema di equazioni:

$\left.\begin{array}{l} 1 = c \\[2ex] 0 = a+b+c \\[2ex] 4 = 9a+3b+c \end{array} \right\} \begin{array}{l} \\[2ex] \xrightarrow{c \ = \ 1} \\[2ex] & \end{array} \left.\begin{array}{l} c=1 \\[2ex] 0 = a+b+1 \\[2ex] 4 = 9a+3b+1 \end{array}\right\}$

Conosciamo già il valore di

$c$

, possiamo quindi risolvere il sistema con il metodo di sostituzione: cancelliamo l’incognita

$a$

dalla seconda equazione e sostituire l’espressione trovata nell’ultima equazione:

$\left.\begin{array}{l} a=-b-1 \\[2ex] 4 = 9a+3b+1 \end{array}\right\}\longrightarrow \left.\begin{array}{l} a=-b-1 \\[2ex] 4 = 9(-b-1)+3b+1 \end{array}\right\}$

troviamo l’ignoto

$b$

dall’ultima equazione:

$4 = -9b-9+3b+1$

$12 =-6b$

$b=\cfrac{12}{-6} = -2$

e trova il valore di

$a$

con la seconda equazione del sistema:

$a=-(-2)-1 = 1$

La funzione quadratica è quindi la seguente:

$\bm{y = x^2-2x+1}$

Infine interpoliamo l’ascissa

$x=-1$

per calcolare il valore della funzione a questo punto:

$y=(-1)^2-2\cdot(-1)+1=1+2+1=\bm{4}$

Applicazioni di interpolazione

Anche se potrebbe non sembrare, l’interpolazione è molto utile in matematica e statistica. Viene utilizzato, ad esempio, per cercare di prevedere il valore di una funzione: da una serie di dati raccolti si calcola la retta di regressione e con essa si può avere un’approssimazione di quanto varrà la funzione in ogni punto.

L’interpolazione di una funzione può essere effettuata manualmente, come abbiamo visto, oppure con programmi informatici come Excel o MATLAB. Ovviamente è molto più comodo e veloce farlo utilizzando un computer.

D’altra parte, l’interpolazione viene utilizzata anche per semplificare i calcoli. Esistono alcuni programmi software che devono eseguire calcoli complessi con funzioni molto lunghe, quindi a volte viene eseguita l’interpolazione lineare di queste funzioni per semplificare le operazioni.