Binomiale quarto - Mathority

In questa pagina troverai la formula per un binomio alla quarta, e ti spieghiamo con degli esempi come risolvere questo tipo di operazione binomiale. Inoltre, potrai esercitarti con esercizi risolti passo dopo passo dai coetanei fino alla quarta elementare.

Formula binomiale del quarto

In matematica un binomio elevato alla quarta è un polinomio formato da due termini elevato alla quarta.

Pertanto, la formula utilizzata per calcolare un quarto binomio è la seguente:

$(a+b)^4 = a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$

Questa formula può essere derivata dalla formula binomiale generale di Newton . Infatti, con il binomio di Newton puoi calcolare binomi elevati a qualsiasi potenza, quindi è meglio imparare la formula del binomio di Newton. Clicca sul link precedente e scopri come appare questa formula.

Pertanto un binomio di quarta è uguale al primo termine elevato alla quarta, più il prodotto di 4 volte il primo termine al cubo e il secondo termine, più il primo e il secondo termine al quadrato per 6, più il prodotto di 4 volte il primo termine moltiplicato per il secondo termine elevato a 3, più il secondo termine elevato al quarto.

Questa formula corrisponde alla somma binomiale (i suoi due elementi sono positivi), ma nella formula per la sottrazione binomiale elevata al quarto, i segni del secondo e del quarto prodotto sono negativi:

$(a \color{red}\bm{-}\color{black}b)^4 = a^4\color{red}\bm{-}\color{black}4a^3b+6a^2b^2\color{red}\bm{-}\color{black}4ab^3+b^4$

Esempi di coetanei in quarta elementare

Data la formula per questo tipo di binomio, vedremo diversi esempi di risoluzione di un binomio alla quarta. Calcoleremo prima un binomio positivo poi risolveremo un binomio negativo.

Esempio 1

Calcolare il seguente binomio elevato alla quarta:

$(x+2)^4$

La formula per la potenza di un binomio somma elevato alla 4a è:

$(a+b)^4 = a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$

Quindi per calcolare il binomio dell’esercizio è sufficiente sostituire i due importi del binomio nella formula:

$(x+2)^4 = x^4+4\cdot x^3\cdot 2+6\cdot x^2\cdot 2^2+4\cdot x\cdot 2^3+2^4$

E infine risolviamo le operazioni:

$\begin{aligned}(x+2)^4 & = x^4+4\cdot x^3\cdot 2+6\cdot x^2\cdot 4+4\cdot x\cdot 8+16 \\[2ex] & =x^4+8 x^3+24x^2+32x+16\end{aligned}$

Esempio 2

Trovare il seguente binomio elevato alla quarta:

$(x-3)^4$

La formula di potenziamento per un binomio differenziale elevato alla 4a è la seguente:

$(a-b)^4 = a^4-4a^3b+6a^2b^2-4ab^3+b^4$

Pertanto, per determinare il binomio del problema è sufficiente sostituire le variabili presenti nella formula ai valori del binomio:

$(x-3)^4 = x^4-4\cdot x^3\cdot 3+6\cdot x^2\cdot 3^2-4\cdot x\cdot 3^3+3^4$

E infine, risolviamo le operazioni risultanti:

$\begin{aligned}(x-3)^4 & = x^4-4\cdot x^3\cdot 3+6\cdot x^2\cdot 9-4\cdot x\cdot 27+81 \\[2ex] & =x^4-12x^3+54x^2-108x+81\end{aligned}$

Dimostrazione della formula di un binomio in quarta

Per approfondire il concetto del binomio elevato alla quarta, ne dimostreremo la formula in diversi modi.

Da qualsiasi coppia rilanciata a 4:

$(a+b)^4$

L’espressione algebrica di un binomio alla quarta può essere fattorizzata espandendola in fattori primi:

$(a+b)^4=(a+b)\cdot (a+b)\cdot (a+b)\cdot (a+b)$

Quindi, risolvendo ciascun prodotto di polinomi , si arriva alla formula del binomio elevato alla quarta:

$\begin{aligned} (a+b)^4 & =(a+b)\cdot (a+b)\cdot (a+b)\cdot (a+b) \\[2ex] &= (a^2+2ab+b^2)\cdot (a+b)\cdot (a+b) \\[2ex] & = (a^3+3a^2b+3ab^2+b^3) \cdot (a+b) \\[2ex] & = a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4 \end{aligned}$

D’altra parte, la formula per un binomio alla quarta può essere verificata anche utilizzando la formula per un binomio al cubo :

$\begin{aligned} (a+b)^4 & =(a+b)^3 \cdot (a+b)\\[2ex] & = (a^3+3a^2b+3ab^2+b^3) \cdot (a+b) \\[2ex] & = a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4 \end{aligned}$

Allo stesso modo, la prova può essere ottenuta attraverso prodotti notevoli (o identità notevoli). Ad esempio, utilizzando la formula per il prodotto notevole del quadrato di una somma :

$\begin{aligned} (a+b)^4 & =(a+b)^2\cdot (a+b)^2 \\[2ex] &= (a^2+2ab+b^2)\cdot (a^2+2ab+b^2) \\[2ex] & = a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4 \end{aligned}$

Rispettivamente, la formula di identità notevole per il quadrato di una sottrazione viene utilizzata per corroborare la formula per una sottrazione binomiale:

$\begin{aligned} (a-b)^4 & =(a-b)^2\cdot (a-b)^2 \\[2ex] &= (a^2-2ab+b^2)\cdot (a^2-2ab+b^2) \\[2ex] & = a^4-4a^3b+6a^2b^2-4ab^3+b^4 \end{aligned}$

Esercizi risolti per i coetanei di quarta elementare

Risolvi le seguenti potenze di binomi elevati alla quarta:

$\text{A)} \ (x+1)^4$

$\text{B)} \ (2x+3)^4$

$\text{C)} \ (x-4)^4$

$\text{D)} \ (x^2+y)^4$

vedi soluzione

$\text{A)} \ \begin{aligned} (x+1)^4 & = x^4 +4\cdot x^3\cdot 1+6 \cdot x^2\cdot 1^2+4 \cdot x\cdot 1^3 + 1^4 \\[2ex] & = x^4 +4\cdot x^3\cdot 1+6 \cdot x^2\cdot 1+4 \cdot x\cdot 1 + 1 \\[2ex] & = \bm{x^4 +4x^3+6 x^2+4 x + 1}\end{aligned}$

$\text{B)} \ \begin{aligned} (2x+3)^4 & = (2x)^4 +4\cdot (2x)^3\cdot 3+6 \cdot (2x)^2\cdot 3^2+4 \cdot 2x\cdot 3^3 + 3^4 \\[2ex] & = 16x^4 +4\cdot 8x^3\cdot 3+6 \cdot 4x^2\cdot 9+4 \cdot 2x\cdot 27 + 81\\[2ex] & = \bm{16x^4 +96x^3+216x^2+216x + 81}\end{aligned}$

$\text{C)} \ \begin{aligned} (x-4)^4 & = x^4 -4\cdot x^3\cdot 4+6 \cdot x^2\cdot 4^2-4 \cdot x\cdot 4^3 + 4^4 \\[2ex] & = x^4 -4\cdot x^3\cdot 4+6 \cdot x^2\cdot 16-4 \cdot x\cdot 64 + 256 \\[2ex] & = \bm{x^4 -16 x^3+96x^2-256x + 256}\end{aligned}$

$\text{D)} \ \begin{aligned} (x^2+y)^4 & = \left(x^2\right)^4 +4\cdot \left(x^2\right)^3\cdot y+6 \cdot \left(x^2\right)^2\cdot y^2+4 \cdot x^2\cdot y^3 + y^4 \\[2ex] & =x^8 +4\cdot x^6\cdot y+6 \cdot x^4\cdot y^2+4 \cdot x^2\cdot y^3 + y^4 \\[2ex] & = \bm{x^8 +4x^6y+6 x^4 y^2+4x^2y^3 + y^4}\end{aligned}$

Coppia al quarto posto