Somma di cubi - Mathority

In questa pagina troverai la formula della somma dei cubi e la spiegazione di come vengono scomposte le somme dei cubi. Inoltre, potrai vedere diversi esempi ed esercizi risolti di somme di cubi.

Qual è la somma dei cubi?

La somma dei cubi è un binomio (polinomio con soli due monomi) i cui due termini sono positivi e, inoltre, le loro radici cubiche sono esatte. Pertanto, l’espressione algebrica per una somma di cubi è a ³ +b ³ .

Inoltre, la somma dei cubi perfetti corrisponde a un prodotto notevole (o identità notevole), il che significa che esiste una formula per risolverlo direttamente senza fare molti calcoli. Successivamente vedremo come è fatto.

Formula della somma dei cubi

Una volta vista la definizione matematica della somma dei cubi, vediamo ora qual è la formula per la somma dei cubi:

Pertanto, la somma di due termini al cubo è uguale alla somma di questi due termini moltiplicata per il quadrato del primo termine, meno il prodotto delle due quantità, più il quadrato del secondo termine.

Pertanto, quando applichiamo la formula per la somma dei cubi perfetti, stiamo effettivamente fattorizzando un polinomio, poiché stiamo convertendo l’espressione di un polinomio in un prodotto di due fattori. Se non sei ancora sicuro di cosa significhi fattorizzare un polinomio, ti consigliamo di vedere come fattorizzare i polinomi prima di continuare.

Esempi di fattorizzazione di somme di cubi

Per finire di comprendere il concetto di somma di cubi perfetti, vedremo diversi esempi di fattorizzazione di somme di cubi utilizzando la formula:

Esempio 1

Fattorizza la seguente somma di cubi utilizzando la formula:

$x^3+8$

Infatti è una somma di cubi perché radice cubica del monomio

$x^3$

è esatto (non fornisce un numero decimale) e anche il numero 8:

$\sqrt[3]{x^3} = x$

$\sqrt[3]{8} = 2$

$x^3+8=x^3+2^3$

Pertanto, possiamo applicare la formula della somma dei cubi per trasformare l’espressione cubica in un prodotto di un binomio e un trinomio:

$a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$

$x^3 +2^3 = (x+2)(x^2-x \cdot 2 + 2^2)$

E, infine, non ci resta che risolvere la moltiplicazione e la potenza:

$x^3 +2^3 = (x+2)(x^2-2x + 4)$

Se osserviamo attentamente l’espressione ottenuta, grazie alla formula della somma dei cubi possiamo facilmente trovare la radice di un polinomio . In questo caso, una delle radici del polinomio sarebbe

$x=-2.$

Tuttavia, per trovare tutte le radici (o zeri) di un polinomio, bisogna seguire una procedura più complicata, scopri come nella pagina collegata.

Esempio 2

Fattorizza il seguente binomio applicando la formula per la somma dei cubi perfetti.

$8x^3+1$

Anche il polinomio in questo esempio è costituito da una somma di cubi poiché entrambi sono la radice cubica del monomio

$8x^3$

dal termine indipendente 1 sono esatti:

$\sqrt[3]{8x^3} = 2x$

$\sqrt[3]{1} = 1$

$8x^3+1 =(2x)^3+1^3$

Possiamo quindi utilizzare la formula della somma dei cubi perfetti per semplificare l’espressione:

$a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$

$(2x)^3+1^3 = (2x+1)\bigl((2x)^2-2x \cdot 1 + 1^2\bigr)$

Infine, basta calcolare le operazioni risultanti:

$(2x)^3+1^3 = (2x+1)(4x^2-2x + 1\bigr)$

Ora che hai visto come risolvere una somma di cubi, potresti voler sapere come fattorizzare una differenza di cubi . Perché sebbene la formula della differenza di cubi sia simile, presenta una piccola modifica che ci permette di distinguere tra una somma e una differenza di cubi. Vi lasciamo questo link affinché possiate vedere in cosa consiste questo significativo cambiamento e come viene calcolata una sottrazione di cubi.

Risolti problemi di somme di cubi

Esercizio 1

Fattorizza la seguente addizione di cubi con la formula:

$x^6+27x^3$

vedi soluzione

L’espressione corrisponde ad una somma di cubi perché le radici cubiche dei due elementi del polinomio sono esatte:

$\sqrt[3]{x^6} = x^2$

$\sqrt[3]{27x^3} = 3x$

$x^6+27x^3=\bigl(x^2\bigr)^3+(3x)^3$

Pertanto, possiamo utilizzare la formula per la somma dei cubi perfetti per fattorizzare l’espressione cubica nel prodotto di un binomio e un trinomio:

$a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$

$\bigl(x^2\bigr)^3+(3x)^3 = \left(x^2+3x\right)\left( \left(x^2\right)^2-x^2 \cdot 3x + (3x)^2\right)$

Con cui risolviamo tutte le operazioni per trovare il polinomio scomposto:

$\bigl(x^2\bigr)^3+(3x)^3 = \left(x^2+3x\right)\left( x^4-3x^3 + 9x^2\right)$

Esercizio 2

Esprimi ciascun prodotto come somma di cubi:

$\text{A)} \ (x+5)(x^2-5x+25)$

$\text{B)} \ (2x+7)(4x^2-14x+49)$

$\text{C)} \ (8x+y^2)(64x^2-8xy^2+y^4)$

vedi soluzione

Le espressioni dei 3 esercizi rispettano la formula per la somma dei cubi, è quindi sufficiente risolvere le moltiplicazioni dei polinomi:

$\text{A)} \ \begin{array}{l}(x+5)(x^2-5x+25) = \\[2ex] = x^3-5x^2+25x+5x^2-25x+125 = \\[2ex] = x^3 +125\end{array}$

$\text{B)} \ \begin{array}{l}(2x+7)(4x^2-14x+49) = \\[2ex] = 8x^3-28x^2+98x+28x^2-98x+343 = \\[2ex] = 8x^3+343\end{array}$

$\text{C)} \ \begin{array}{l}(8x+y^2)(64x^2-8xy^2+y^4) = \\[2ex] =512x^3-64x^2y^2+8xy^4+64x^2y^2-8xy^4+y^6= \\[2ex] = 512x^3+y^6\end{array}$

Se sei più interessato alle identità importanti, sappi che ce n’è una che molte persone dimenticano (ed è molto usata). Ma è importante ricordare la formula di questa notevole identità, chiamata trinomio al quadrato . Ecco perché ti lasciamo questo link dove puoi vedere di cosa si tratta e come viene applicata questa formula.

Qual è la somma dei cubi?

Formula della somma dei cubi

Esempi di fattorizzazione di somme di cubi

Esempio 1

Esempio 2

Risolti problemi di somme di cubi

Esercizio 1

Esercizio 2

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