Matrici commutabili

In questa pagina spieghiamo cosa sono le matrici commutabili. Inoltre, potrai vedere degli esempi per comprendere bene il concetto e, infine, troverai un esercizio risolto passo passo in cui impariamo a calcolare tutte le matrici che commutano con qualsiasi matrice.

Cosa sono le matrici commutabili?

Due matrici sono commutabili se il risultato del loro prodotto non dipende dall’ordine di moltiplicazione. In altre parole, le matrici commutabili soddisfano la seguente condizione:

$\displaystyle A\cdot B = B \cdot A$

Questa è la definizione di matrici commutabili, vediamo ora un esempio:

Esempio di matrici commutabili

Le seguenti due matrici di dimensione 2×2 sono commutabili tra loro:

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 2 & 0\\[1.1ex] 1 & -1 \end{pmatrix} \quad B= \begin{pmatrix} 3& 0\\[1.1ex] 1 & 0\end{pmatrix}$

La commutabilità delle due matrici potrebbe essere dimostrata calcolando il loro prodotto in entrambe le direzioni:

esempio di matrici commutabili di dimensione 2x2

Come puoi vedere, il risultato di entrambe le moltiplicazioni è lo stesso, indipendentemente dall’ordine in cui vengono moltiplicate. Quindi le matrici

$A$

$B$

sono commutabili.

Esercizio di cambio matrice risolto

Poi vedremo passo passo come risolvere un esercizio di matrice commutabile:

Determina tutte le matrici che commutano con la seguente matrice quadrata:

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 3 & 1\\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix}$

Per risolvere questo problema creeremo una matrice sconosciuta:

$\displaystyle B=\begin{pmatrix} a & b\\[1.1ex] c & d \end{pmatrix}$

Dobbiamo quindi trovare questa matrice sconosciuta.

Per fare ciò sfrutteremo la proprietà che tutte le matrici di pendolarismo soddisfano:

$\displaystyle A\cdot B = B \cdot A$

$\displaystyle \begin{pmatrix}3 & 1\\[1.1ex] 1 & 0\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} a & b\\[1.1ex] c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b\\[1.1ex] c & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 1\\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix}$

Ora moltiplichiamo le matrici su entrambi i lati dell’equazione:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 3a+c &3b+d\\[1.1ex] a & b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3a+b & a\\[1.1ex] 3c+d & c \end{pmatrix}$

Pertanto, affinché l’uguaglianza sia valida, devono essere soddisfatte le seguenti equazioni:

$\left.\begin{array}{l} 3a+c=3a+b \\[2ex] 3b+d=a \\[2ex] a=3c+d\\[2ex] b= c \end{array}\right\}$

Quindi tutto ciò che dobbiamo fare è risolvere il sistema di equazioni. Dall’ultima equazione possiamo dedurlo

$b$

deve essere uguale a

$c$

$b=c$

E se queste due incognite sono equivalenti, la terza equazione si ripete con la seconda, possiamo quindi eliminarla:

$\left.\begin{array}{l} 3a+c=3a+b \\[2ex] 3b+d=a \\[2ex] \cancel{a=3c+d}\\[2ex] b= c \end{array}\right\}$

Inoltre, dalla prima equazione non possiamo trarre alcuna conclusione, perché:

$3a+c=3a+b \ \xrightarrow{b \ = \ c} \ 3a+b=3a+b$

$3a=3a$

$a=a$

Pertanto, ci rimane solo la seconda ed ultima equazione:

$\left.\begin{array}{l} 3b+d=a \\[2ex] b= c \end{array}\right\}$

In modo che le matrici commutano con la matrice

$A$

sono tutti quelli che verificano le due equazioni precedenti. Pertanto, sostituendo le espressioni trovate fin dall’inizio nella matrice incognita, possiamo trovare la forma delle matrici che commutano con

$A:$

$\displaystyle \begin{pmatrix} a & b\\[1.1ex] c & d \end{pmatrix} \ \longrightarrow \ \begin{pmatrix} 3b+d & b \\[1.1ex] b & d \end{pmatrix}$

Oro

$b$

$d$

sono due numeri reali.

Quindi un esempio di una matrice che commuterebbe con la matrice

$A$

sarebbe il seguente:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 6 & 1 \\[1.1ex] 1 & 3 \end{pmatrix}$

Proprietà delle matrici commutabili

Le matrici commutabili hanno le seguenti caratteristiche:

Gli array commutabili non hanno la proprietà transitiva . In altre parole, anche se la matrice
$A$

commutare con le matrici

$B$

E

$C$

, questo non significa questo

$B$

E

$C$

sono commutabili tra loro.

Le matrici diagonali commutano tra loro, cioè una matrice diagonale commuta con qualsiasi altra matrice diagonale.

Allo stesso modo, una matrice scalare commuta equamente con tutte le matrici. Ad esempio, la matrice Identità o Unità commuta con tutte le matrici.

Due matrici hermitiane commutano se i loro autovettori (o autovettori) coincidono.

Ovviamente anche la matrice zero commuta con tutte le matrici.

Se il prodotto di due matrici simmetriche dà un’altra matrice simmetrica, allora le due matrici devono commutare.

Se la diagonalizzazione di due matrici può essere fatta simultaneamente, queste devono essere commutabili. Pertanto, queste due matrici condividono anche la stessa base ortonormale di autovettori o autovettori.

Cosa sono le matrici commutabili?

Esempio di matrici commutabili

Esercizio di cambio matrice risolto

Proprietà delle matrici commutabili

Lascia un commento Annulla risposta