▷ Derivata del seno (formula ed esercizi risolti)

In questo articolo spieghiamo come creare la derivata del seno (formula). Troverai esempi di derivate di funzioni sinusoidali ed esercizi risolti passo passo per esercitarti. Inoltre, ti mostriamo la derivata seconda del seno, la derivata inversa del seno e dimostriamo anche la formula per la derivata del seno.

Qual è la derivata del seno?

La derivata della funzione seno è la funzione coseno. Pertanto la derivata del seno di x è uguale al coseno di x.

$f(x)=\text{sen}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(x)$

Se è presente una funzione nell’argomento seno, la derivata del seno è il coseno di detta funzione moltiplicato per la derivata della funzione.

$f(x)=\text{sen}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(u)\cdot u'$

Questa seconda formula per la derivata del seno si ottiene applicando la regola della catena alla prima formula. Quindi, in sintesi, la formula per la derivata della funzione seno è:

Esempi di derivata seno

Una volta che abbiamo visto cos’è la formula della derivata seno, spieghiamo diversi esempi di questo tipo di derivate trigonometriche in modo che tu possa comprendere appieno come derivare la funzione seno.

Esempio 1: Derivata del seno di 2x

$f(x)=\text{sen}(2x)$

Nell’argomento seno abbiamo una funzione diversa da x, quindi dobbiamo usare la seguente formula per ricavare il seno:

$f(x)=\text{sen}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(u)\cdot u'$

La derivata di 2x è 2, quindi la derivata seno di 2x è il prodotto del coseno di 2x per 2.

$f(x)=\text{sen}(2x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(2x)\cdot 2=2\text{cos}(2x)$

Esempio 2: Derivata del seno di x al quadrato

$f(x)=\text{sen}(x^2)$

La formula per la derivata della funzione seno è:

$f(x)=\text{sen}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(u)\cdot u'$

E poiché la derivata di x ² è uguale a 2x, la derivata del seno di x elevata a 2 è:

$f(x)=\text{sen}(x^2) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(x^2)\cdot 2x$

Esempio 3: derivata del seno al cubo

$f(x)=\text{sen}^3(x^5+4x)$

In questo esempio la funzione seno è composta da un’altra funzione, dobbiamo quindi utilizzare la seguente regola per differenziare il seno:

$f(x)=\text{sen}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(u)\cdot u'$

La derivata della funzione è quindi:

$f'(x)=3\text{sen}^2(x^5+4x)\cdot \text{cos}(x^5+4x)\cdot (5x^4+4)$

➤ Per ricavare questa funzione è necessario applicare anche la formula della derivata di una potenza .

Derivata seconda del seno

Analizzeremo poi la derivata seconda della funzione seno, perché essendo una funzione trigonometrica, presenta caratteristiche particolari.

Come abbiamo visto sopra, la derivata del seno è coseno. Ebbene, la derivata del coseno è seno ma ha cambiato segno. Ciò significa che la derivata seconda del seno è il seno stesso ma ha cambiato segno .

$\begin{array}{c}f(x)=\text{sen}(x)\\[1.5ex] \quad\color{orange}\bm{\downarrow}\quad\color{black} \\[1.5ex] f'(x)=\text{cos}(x)\\[2ex] \quad\color{orange}\bm{\downarrow}\quad\color{black} \\[1.5ex] f''(x)=-\text{sen}(x)\end{array}$

Tuttavia, se l’argomento seno non è x, questa condizione cambia perché dobbiamo trascinare il termine della regola della catena:

$\begin{array}{c}f(x)=\text{sen}(u)\\[1.5ex] \quad\color{orange}\bm{\downarrow}\quad\color{black} \\[1.5ex] f'(x)=\text{cos}(u)\cdot u' \\[1.5ex] \quad\color{orange}\bm{\downarrow}\quad\color{black} \\[1.5ex] f''(x)=-\text{sen}(u)\cdot u'^2 +\text{cos}(u)\cdot u'' \end{array}$

Derivata sinusoidale inversa

Come ben sai, ogni funzione trigonometrica ha una funzione inversa, quindi anche l’arcoseno è differenziabile.

La derivata del seno inverso è uguale al quoziente della derivata della funzione argomento diviso per la radice quadrata di uno meno il quadrato della funzione argomento.

$f(x)=\text{sen}^{-1}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$

Ricorda che il seno inverso è anche chiamato arcoseno.

Ad esempio, la derivata inversa del seno di 5x è:

$f(x)=\text{sen}^{-1}(5x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{5}{\sqrt{1-(5x)^2}}=\cfrac{5}{\sqrt{1-25x^2}}$

Esercizi risolti sulla derivata del seno

Calcolare le derivate delle seguenti funzioni sinusoidali:

$\text{A) }f(x)=\text{sen}(7x)$

$\text{B) }f(x)=\text{sen}(x^2+5x-9)$

$\text{C) }\displaystyle f(x)=\text{sen}\left(\frac{x}{4}\right)$

$\text{D) }f(x)=\text{sen}^4(5x^3-10x^2)$

$\text{E) }f(x)=\text{sen}\bigl(\ln(x)\bigr)$

$\text{F) }f(x)=2\text{sen}(x^4-3x^3)-7\text{sen}^2(x^5)$

Vedi la soluzione

$\text{A) }f'(x)=7\text{cos}(7x)$

$\text{B) }f'(x)=\text{cos}(x^2+5x-9)\cdot (2x+5)$

$\text{C) }\displaystyle f'(x)=\text{cos}\left(\frac{x}{4}\right)\cdot \frac{1}{4}=\frac{\text{cos}\left(\frac{x}{4}\right)}{4}$

$\text{D) }f'(x)=4\text{sen}^3(5x^3-10x^2)\cdot \text{cos}(5x^3-10x^2)\cdot (15x^2-20x)$

$\text{E) }f'(x)=\text{cos}\bigl(\ln(x)\bigr)\cdot \cfrac{1}{x} =\cfrac{\text{cos}\bigl(\ln(x)\bigr)}{x}$

$\text{F) }f'(x)=2\text{cos}(x^4-3x^3)\cdot (4x^3-9x^2)-14\text{sen}(x^5)\cdot \text{cos}(x^5)\cdot 5x^4$

Dimostrazione della derivata del seno

In questa sezione mostreremo che la derivata del seno di x è il coseno di x utilizzando la definizione di derivata, che è:

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

In questo caso la funzione da derivare è sin(x), quindi:

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{\text{sen}(x+h)-\text{sen}(x)}{h}$

Il seno di una somma può essere riscritto applicando la seguente identità trigonometrica:

$\text{sen}(a+b)=\text{sen}(a)\text{cos}(b)+\text{cos}(a)\text{sen}(b)$

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{\text{sen}(x)\text{cos}(h)+\text{cos}(x)\text{sen}(h)-\text{sen}(x)}{h}$

Trasformiamo la frazione in due frazioni con lo stesso denominatore. Possiamo fare questa operazione grazie alla legge del limite di una somma.

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\left[\frac{\text{sen}(x)(\text{cos}(h)-1)}{h}+\frac{\text{cos}(x)\text{sen}(h)}{h}\right]$

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\text{sen}(x)\frac{\text{cos}(h)-1}{h}+\lim_{h \to 0}\text{cos}(x)\frac{\text{sen}(h)}{h}$

➤ Vedi: leggi dei limiti

I termini seno di x e coseno di x non dipendono dal valore di h, possiamo quindi toglierli dal limite:

$\displaystyle f'(x)=\text{sen}(x)\cdot\lim_{h \to 0}\frac{\text{cos}(h)-1}{h}+\text{cos}(x)\cdot\lim_{h \to 0}\frac{\text{sen}(h)}{h}$

Tutto quello che dobbiamo fare ora è applicare questi due limiti trigonometrici:

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(x)}{x}=1$

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1-\text{cos}(x)}{x}=0$

➤ Nota: puoi cercare la dimostrazione dei due limiti trigonometrici precedenti nel motore di ricerca del nostro sito web.

$\displaystyle f'(x)=\text{sen}(x)\cdot 0+\text{cos}(x)\cdot 1$

$\displaystyle f'(x)=\text{cos}(x)$

E mostriamo così che la derivata del seno di x è il coseno di x.

Derivato dal seno

Qual è la derivata del seno?

Esempi di derivata seno

Esempio 1: Derivata del seno di 2x

Esempio 2: Derivata del seno di x al quadrato

Esempio 3: derivata del seno al cubo

Derivata seconda del seno

Derivata sinusoidale inversa

Esercizi risolti sulla derivata del seno

Dimostrazione della derivata del seno

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