Matrice complessa, coniugata e trasposta

In questa pagina vedrai cosa sono le matrici complesse, le matrici coniugate e le matrici trasposte coniugate. Ora ti somigliano molto, ma vedrai che alla fine della pagina capirai appieno la differenza tra ciascuno di essi. Inoltre, vedremo esempi di ciascun tipo e le sue proprietà.

matrice complessa

Prima di vedere la spiegazione della matrice coniugata e della matrice coniugata trasposta, rivediamo il concetto di matrice complessa:

Cos’è una matrice complessa?

Una matrice complessa è una matrice che ha tra i suoi elementi un certo numero complesso.

Ricordiamo che un numero complesso o immaginario è un numero composto da una parte reale e da una parte immaginaria, che viene indicata con la lettera i. Per esempio:

$3+5i$

Esempi di matrici complesse

Diamo un’occhiata ad alcuni esempi di array multidimensionali complessi:

Esempio di matrice complessa di ordine 2 × 2

Esempio di matrice complessa di dimensione 3×3

Esempio di matrice complessa di dimensione 4×4

matrice coniugata

Una volta vista qual è la definizione di matrice complessa, vediamo cosa sono una matrice coniugata e una matrice coniugata trasposta:

Cos’è una matrice coniugata?

Una matrice coniugata è una matrice complessa in cui tutti i suoi elementi sono stati sostituiti dai loro coniugati, cioè il segno della parte immaginaria di tutti i suoi numeri complessi è stato cambiato.

La matrice coniugata di

$A$

è espresso da una barra orizzontale sopra:

$\overline{A}$

Esempio di matrice coniugata

Proprietà della matrice coniugata

Le caratteristiche di questo tipo di matrice sono le seguenti:

Il coniugato di una matrice coniugata è la matrice originale.

$\displaystyle \overline{\bigl( \ \overline{A} \vphantom{A^{9^1}} \ \bigr)} = A$

Aggiungere (o sottrarre) due matrici e coniugare il risultato equivale a coniugare prima le due matrici separatamente e poi addizionarle (o sottrarle).

$\displaystyle \overline{\bigl( A \pm B \bigr)} = \overline{A} \pm \overline{B}$

Il prodotto coniugato di due matrici equivale a coniugare le due matrici separatamente e quindi calcolare la moltiplicazione della matrice.

$\displaystyle \overline{\bigl( A \cdot B \bigr)} = \overline{A} \cdot \overline{B}$

Moltiplicare una matrice per uno scalare e coniugare il risultato equivale a fare prima i coniugati dello scalare e della matrice, quindi risolvere il prodotto.

$\displaystyle \overline{\bigl( k \cdot A \bigr)} = \overline{k} \cdot \overline{A}$

Trasporre una matrice e poi coniugarla significa prima coniugare la matrice e poi trasporla.

$\displaystyle \overline{\bigl(A^t \bigr)} = \left( \overline{A}\right)^t$

Fare l’ inverso di una matrice e poi coniugarla equivale a coniugare la matrice e poi invertirla.

$\displaystyle \overline{\bigl( A^{-1} \bigr)} = \left(\overline{A} \right)^{-1}$

Il rango di una matrice coniugata è uguale al rango della stessa matrice non coniugata.

$\displaystyle rg\left(\overline{A}\right) =rg(A)$

È indifferente calcolare la traccia di una matrice coniugata oppure calcolare la traccia della stessa matrice senza coniugazione e poi coniugare il risultato.

$\displaystyle tr\left(\overline{A}\right) =\overline{tr(A)}$

Infine, prendere il determinante di una matrice coniugata equivale a calcolare il coniugato del risultato del determinante della stessa matrice senza coniugazione.

$\displaystyle det\left(\overline{A}\right) = \overline{det(A)}$

Matrice di trasposizione coniugata

Infine, dopo aver visto come coniugare una matrice, passiamo al concetto di matrice trasposta coniugata:

Cos’è una matrice di trasposizione coniugata (o trasposizione)?

La matrice coniugata trasposta (o trasposta) è quella ottenuta dopo aver trasposto una matrice e poi realizzato il suo coniugato.

Questo tipo di matrice è chiamata anche matrice aggiunta o semplicemente matrice aggiunta. Inoltre, di solito è rappresentato da un asterisco

$(A^*)$

, anche se ci sono matematici che lo disegnano come

$A^*$

$A^H$

Esempio di matrice di trasposizione coniugata

Ecco un esempio di calcolo della trasposizione (o trasposizione coniugata) di una matrice:

$\displaystyle A=\begin{pmatrix}1+3i&2-i & -4i \\[1.1ex] 6 & 8+2i & 3-5i \\[1.1ex] 7i & 1+9i & -2+i\end{pmatrix}$

Per prima cosa trasponiamo la matrice A:

$\displaystyle A^t=\begin{pmatrix}1+3i& 6 & 7i \\[1.1ex] 2-i & 8+2i & 1+9i \\[1.1ex] -4i & 3-5i & -2+i\end{pmatrix}$

E poi calcoliamo la matrice coniugata della trasposta, o in altre parole, cambiamo il segno della parte immaginaria di tutti i numeri complessi:

$\displaystyle A^*=\overline{A^t}=\begin{pmatrix}1-3i& 6 & -7i \\[1.1ex] 2+i & 8-2i & 1-9i \\[1.1ex] 4i & 3+5i & -2-i\end{pmatrix}$

Pertanto, la sintesi del calcolo della matrice di trasposizione coniugata è:

matrice trasposta coniugata di dimensione 3x3

Proprietà della matrice di trasposizione coniugata

Le proprietà di questo tipo di matrice quadrata sono le seguenti:

La matrice trasposta coniugata di una matrice precedentemente trasposta e coniugata è la matrice originale.

$\displaystyle \bigl(A^*\bigr) ^* = A$

La proprietà di addizione delle matrici di trasposizione coniugata afferma che aggiungere (o sottrarre) due matrici e quindi applicare questa operazione al risultato equivale a eseguire prima la trasposizione coniugata di ciascuna matrice e quindi ad aggiungere (o sottrarre) i risultati.

$\displaystyle \bigl( A\pm B \bigr)^* = A^*\pm B^*$

Moltiplicando due matrici e poi eseguendo la trasposizione coniugata si ottiene lo stesso risultato del prodotto inverso delle matrici trasposte coniugate.

$\displaystyle \bigl( A\cdot B \bigr)^* = B^*\cdot A^*$

Calcolare la trasposizione coniugata del prodotto di uno scalare e una matrice equivale a coniugare il numero complesso e trovare la trasposizione coniugata della matrice separatamente e quindi moltiplicare.

$\displaystyle \bigl( k\cdot A \bigr)^* = \overline{k}\cdot A^*$

Se la matrice è invertibile, l’ordine in cui vengono eseguite le operazioni di inversione della matrice e di trasposizione coniugata è irrilevante.

$\displaystyle \bigl( A^{-1} \bigr)^*= \bigl( A^* \bigr)^{-1}$