Come calcolare addizione e sottrazione di matrici

In questa pagina vedremo come sommare e sottrarre matrici . Hai anche esempi che ti aiuteranno a capirlo perfettamente ed esercizi risolti in modo che tu possa esercitarti. Troverai anche tutte le proprietà dell’addizione di matrici.

Come aggiungere e sottrarre matrici?

Per calcolare un’addizione (o sottrazione) di due matrici, è necessario sommare (o sottrarre) gli elementi che occupano la stessa posizione nelle matrici.

Esempi:

Nota che per sommare o sottrarre due matrici, devono avere la stessa dimensione. Ad esempio, le seguenti matrici non possono essere sommate perché la prima è una matrice 2×2 e la seconda è una matrice 3×2:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 0 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 & 6 \\[1.1ex] -2 & 4 \\[1.1ex] 7 & 1 \end{pmatrix} \ \longleftarrow \ \color{red} \bm{\times}}$

Esercizi risolti per addizione e sottrazione di matrici

Esercizio 1

Calcola la seguente somma di matrici 2×2:

esercizio risolto passo dopo passo per l'addizione di matrici 2x2

vedi soluzione

È una somma di due matrici quadrate di dimensione 2×2:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 2 & 3 \\[1.1ex] 4 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 1 \\[1.1ex] 3 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+2 & 3+1 \\[1.1ex] 4+3 & 1+(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \bm{4} & \bm{4} \\[1.1ex] \bm{7} & \bm{0} \end{pmatrix}$

Esercizio 2

Esegui la seguente sottrazione di matrice:

esercizio risolto passo passo sottrazione di matrici, operazioni con matrici

vedi soluzione

È una sottrazione di due matrici di dimensione 3×2:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 5 & 2 \\[1.1ex] 1 & 6 \\[1.1ex] -3 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 & 6 \\[1.1ex] -3 & 1 \\[1.1ex]-2 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5-4 & 2-6 \\[1.1ex] 1-(-3) & 6-1 \\[1.1ex] -3-(-2) & 0-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \bm{1}& \bm{-4} \\[1.1ex] \bm{4} & \bm{5} \\[1.1ex] \bm{-1} & \bm{-5} \end{pmatrix}$

Esercizio 3

Trova il risultato della seguente somma di matrici di dimensione 3×3:

esercizio risolto passo passo di addizione di matrici 3x3, operazioni con matrici

vedi soluzione

È una somma di due matrici quadrate di ordine 3×3:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 4 & 1 & -2 \\[1.1ex] 0 & 3 & 2 \\[1.1ex] 5 & 1 & 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 0 & 5 \\[1.1ex] -3 & 4 & 1 \\[1.1ex] 1 & 7 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4+2 & 1+0 & -2+5 \\[1.1ex] 0+(-3) & 3+4 & 2+1 \\[1.1ex] 5+1 & 1+7 & 6+8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \bm{6}& \bm{1} & \bm{3} \\[1.1ex] \bm{-3} & \bm{7} & \bm{3} \\[1.1ex] \bm{6} & \bm{8} & \bm{14} \end{pmatrix}$

Esercizio 4

Calcolare la seguente addizione e sottrazione di matrici quadrate di ordine 2:

esercizio risolto passo passo addizione e sottrazione di matrici 2x2, operazioni con matrici

vedi soluzione

È un’operazione combinata con addizione e sottrazione di matrici quadrate di ordine 2:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 5 & 1 \\[1.1ex] -2 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6 & -2 \\[1.1ex] 3 & -5 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} -3 & 4 \\[1.1ex] 1 & -2 \end{pmatrix}$

Quindi, prima aggiungiamo le matrici a sinistra:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 11 & -1 \\[1.1ex] 1 & -1 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} -3 & 4 \\[1.1ex] 1 & -2 \end{pmatrix}$

E poi calcoliamo la sottrazione delle matrici:

$\displaystyle \begin{pmatrix} \bm{14} & \bm{-5} \\[1.1ex] \bm{0} & \bm{1} \end{pmatrix}$

Esercizio 5

Risolvi le seguenti addizioni e sottrazioni di matrici:

esercizio risolto passo passo addizione e sottrazione di matrici 3x3, operazioni con matrici

vedi soluzione

È un’operazione combinata di sottrazione e addizione di matrici quadrate di ordine 3:

$\displaystyle \begin{pmatrix}5 & 3 & -1 \\[1.1ex] 6 & -4 & -2 \\[1.1ex] 2 & 3 & 2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 3 & 2 & 6 \\[1.1ex]-1 & 5 & 0 \\[1.1ex] 2 & 4 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}2 & -1 & 5 \\[1.1ex] -3 & 1 & 4 \\[1.1ex] 6 & 0 & 3 \end{pmatrix}$

Innanzitutto, risolviamo la sottrazione di matrice:

$\displaystyle \begin{pmatrix}2 & 1 & -7 \\[1.1ex] 7 & -9 & -2 \\[1.1ex] 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2 & -1 & 5 \\[1.1ex] -3 & 1 & 4 \\[1.1ex] 6 & 0 & 3 \end{pmatrix}$

E infine aggiungiamo le matrici:

$\displaystyle \begin{pmatrix} \bm{4} & \bm{0} & \bm{-2} \\[1.1ex] \bm{4} & \bm{-8} & \bm{2} \\[1.1ex] \bm{6} & \bm{-1} & \bm{4} \end{pmatrix}$

Ora che sai come sommare e sottrarre matrici, è il momento di vedere come moltiplicare le matrici , sicuramente la più importante delle operazioni sulle matrici. Troverai anche esercizi di moltiplicazione di matrici risolti passo passo per esercitarti, come in tutte le pagine di questo sito.

Aggiungi proprietà della matrice

L’addizione di matrici ha le seguenti caratteristiche:

L’addizione di matrici ha la proprietà commutativa :

$\displaystyle A +B = B + A$

Pertanto, l’ordine in cui aggiungiamo le matrici è lo stesso. Per dimostrarlo, aggiungeremo due matrici cambiando il loro ordine e vedrai come il risultato è lo stesso.

Procediamo quindi ad aggiungere due matrici in un certo ordine:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 2 & -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 & 1 \\[1.1ex] 5 & 2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \bm{5} & \bm{4} \\[1.1ex] \bm{7} & \bm{1} \end{pmatrix}$

Notiamo che se invertiamo l’ordine di addizione delle matrici, il risultato rimane lo stesso:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 4 & 1 \\[1.1ex] 5 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 2 & -1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \bm{5} & \bm{4} \\[1.1ex] \bm{7} & \bm{1} \end{pmatrix}$

Un’altra proprietà dell’addizione di matrici è quella dell’elemento opposto:

$\displaystyle A + (-A) =0$

In altre parole, se aggiungiamo una matrice più la stessa matrice ma con tutti i suoi elementi cambiati di segno, il risultato sarà una matrice zero:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 4 & 1 & -3 \\[1.1ex] 2 & 0 & 9 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -4 & -1 & 3 \\[1.1ex] -2 & 0 & -9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \bm{0} & \bm{0} & \bm{0} \\[1.1ex] \bm{0} & \bm{0} & \bm{0} \end{pmatrix}$

L’addizione di matrici ha anche la proprietà dell’elemento neutro:

$\displaystyle A + 0 =A$

Questa proprietà è la più ovvia, si riferisce al fatto che qualsiasi matrice più una matrice piena di zeri equivale alla stessa matrice:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 2 & 1 & 5 \\[1.1ex] -3 & 4 & 9 \\[1.1ex] 1 & 12 & 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \bm{2} & \bm{1} & \bm{5} \\[1.1ex] \bm{-3} & \bm{4} & \bm{9} \\[1.1ex] \bm{1} & \bm{12} & \bm{6} \end{pmatrix}$

L’addizione di matrici ha la proprietà associativa:

$\displaystyle\left( A + B \right) + C =A + \left( B + C \right)$

Pertanto, l’ordine in cui aggiungiamo le matrici è lo stesso. Guarda l’esempio seguente, dove aggiungiamo 3 matrici con ordine diverso e il risultato è lo stesso:

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} 2 \\[1.1ex] 1 \end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} 4 \\[1.1ex] -1 \end{pmatrix} \qquad C = \begin{pmatrix} 3 \\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\begin{aligned}\left( A + B \right) + C & =\left( \begin{pmatrix} 2 \\[1.1ex] 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\[1.1ex] -1 \end{pmatrix} \right) + \begin{pmatrix} 3 \\[1.1ex] 0 \end{pmatrix} \\[2ex] & = \begin{pmatrix} 6 \\[1.1ex] 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\[1.1ex] 0 \end{pmatrix} \\[2ex] & =\begin{pmatrix} \bm{9} \\[1.1ex] \bm{0} \end{pmatrix} \end{aligned}$

$\begin{aligned} A + \left( B + C \right) & = \begin{pmatrix} 2 \\[1.1ex] 1 \end{pmatrix} + \left( \begin{pmatrix} 4 \\[1.1ex] -1 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 3 \\[1.1ex] 0 \end{pmatrix} \right) \\[2ex] & = \begin{pmatrix} 2 \\[1.1ex] 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 7 \\[1.1ex] -1 \end{pmatrix} \\[2ex] & = \begin{pmatrix} \bm{9} \\[1.1ex] \bm{0}\end{pmatrix} \end{aligned}$

Come aggiungere e sottrarre matrici?

Esempi:

Esercizi risolti per addizione e sottrazione di matrici

Esercizio 1

Esercizio 2

Esercizio 3

Esercizio 4

Esercizio 5

Aggiungi proprietà della matrice

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