Equazione della retta passante per due punti (formula)

Qui troverai la formula per trovare velocemente l’equazione della retta che passa per due punti. Inoltre, potrai vedere esempi ed esercitarti con esercizi risolti di equazioni della retta determinata da 2 punti.

Formula per l’equazione della retta passante per due punti

Un tipico problema di equazione di una retta consiste nel calcolare l’equazione della retta determinata da due punti dati. Sebbene esistano diversi metodi per risolvere questo tipo di problema, ecco una formula con la quale potrai trovare direttamente e facilmente l’equazione di detta retta:

Considera due punti situati su una linea:

$P_1(x_1,y_1) \qquad \qquad P_2(x_2,y_2)$

La formula per trovare l’equazione della retta dai suoi 2 punti è:

$y-y_1= \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)$

La formula per l’equazione della retta dati due dei suoi punti si deduce dall’equazione punto-pendenza della retta :

$y-y_1= m (x-x_1)$

Poiché la pendenza di una linea può essere calcolata con la seguente espressione:

$m=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

Si scopre che la formula per l’equazione date le coordinate di due punti:

$y-y_1= \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)$

Quindi, per determinare l’equazione di una linea, devi solo conoscere due punti attraverso i quali passa.

Esempio di come trovare l’equazione di una retta dati due punti

Una volta visto quale sia la formula per l’equazione della retta data 2 punti sopra, vediamo ora come si risolve un tipico esercizio di equazioni della retta:

Qual è l’equazione della retta che passa per i seguenti due punti?

$P_1 (3,1) \qquad \qquad P_2(-2,5)$

Poiché conosciamo già due punti che si trovano sulla retta, utilizziamo direttamente la formula per calcolare la sua equazione:

$y-y_1= \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)$

Ora sostituiamo le coordinate dei punti nella formula:

$y-1= \cfrac{5-1}{-2-3} (x-3)$

E, infine, calcoliamo la pendenza della retta:

$y-1= \cfrac{4}{-5} (x-3)$

L’equazione della retta che passa per questi due punti è quindi:

$\bm{y-1=-} \mathbf{\cfrac{4}{5}}\bm{ (x-3)}$

Dato che l’affermazione non dice il contrario, non c’è bisogno di semplificare ulteriormente l’equazione della retta, anche se rimane una frazione.

Risolti problemi dell’equazione della retta passante per due punti

Esercizio 1

Trova l’equazione della retta che passa per i seguenti due punti:

$P_1 (4,-1) \qquad \qquad P_2(5,2)$

vedi soluzione

Poiché conosciamo già due punti sulla retta, applichiamo direttamente la formula per l’equazione della retta a 2 punti dati:

$y-y_1= \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)$

Ora sostituiamo le coordinate cartesiane dei punti nella formula:

$y-(-1)= \cfrac{2-(-1)}{5-4} (x-4)$

E, infine, calcoliamo la pendenza della retta:

$y+1= \cfrac{3}{1} (x-4)$

$y+1= 3(x-4)$

L’equazione della retta che passa per questi due punti è quindi:

$\bm{y+1= 3(x-4)}$

Esercizio 2

Trova l’equazione della retta che passa per i seguenti due punti:

$P_1 (-2,0) \qquad \qquad P_2(-3,1)$

vedi soluzione

Poiché conosciamo già due punti che appartengono alla retta, utilizziamo direttamente la formula per l’equazione della retta conosciuta con 2 punti:

$y-y_1= \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)$

Ora sostituiamo le coordinate dei punti nella formula:

$y-0= \cfrac{1-0}{-3-(-2)} (x-(-2))$

E infine, eseguiamo le operazioni:

$y= \cfrac{1}{-1} (x+2)$

$y= -(x+2)$

$y= -x-2$

L’equazione della retta che passa per questi due punti è quindi:

$\bm{y= -x-2}$

Esercizio 3

Senza fare calcoli, determina un punto che si trova sulla seguente linea:

$y-2= 4(x+1)$

vedi soluzione

Un punto sulla retta può essere dedotto dalla formula per l’equazione della retta passante per 2 punti:

$y-y_1= \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)$

La coordinata Y del punto sarà il termine prima della variabile

$y$

cambiato segno e la coordinata X del punto sarà il numero all’interno delle parentesi negative:

$\bm{P(-1,2)}$

Esercizio 4

Trova un terzo punto sulla linea definito dai due punti seguenti:

$P_1 (4,1) \qquad \qquad P_2(2,-3)$

vedi soluzione

Dobbiamo prima trovare l’equazione della retta con la formula:

$y-y_1= \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)$

$y-1= \cfrac{-3-1}{2-4} (x-4)$

$y-1= \cfrac{-4}{-2} (x-4)$

$y-1= 2(x-4)$

E una volta trovata l’equazione della retta che passa per i due punti, si calcola un terzo punto dando un valore qualsiasi ad una delle variabili. Ad esempio, lo faremo

$x=0:$