Distanza tra due linee che si intersecano (formula)

In questa pagina troverai come determinare la distanza tra due linee che si intersecano (formula). Inoltre, potrai vedere esempi ed esercitarti con esercizi risolti di distanze tra linee che si intersecano.

Cosa sono due linee che si intersecano?

Prima di vedere come viene calcolata la distanza tra due linee che si intersecano, ricordiamo molto brevemente in cosa consiste esattamente questo tipo di posizione relativa tra due linee:

Due linee che si intersecano, chiamate anche linee intersecanti, sono due linee distinte che hanno direzioni diverse e non si intersecano in nessun punto . Pertanto due linee incrociate non sono sullo stesso piano.

distanza tra due linee che intersecano 2 contenitori

Ad esempio, nella rappresentazione grafica sopra la linea

$s$

è sempre in anticipo

$r$

, quindi non si toccheranno mai.

Come calcolare la distanza tra due linee che si intersecano

Esistono diversi metodi per determinare la distanza tra due linee che si intersecano nello spazio. In questa pagina spiegheremo solo una procedura, la più semplice, perché gli altri due metodi sono più lunghi e complicati, infatti vengono utilizzati raramente.

Sia il vettore direzione e qualsiasi punto di due linee che si intersecano:

$\displaystyle r: \ \begin{cases} \vv{\text{u}} \\[2ex] A\end{cases} \qquad \qquad s: \ \begin{cases} \vv{\text{v}} \\[2ex] B\end{cases}$

La formula per la distanza tra due linee che si intersecano è:

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert}$

Oro

$\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|$

è il valore assoluto del prodotto misto dei vettori

$\vv{\text{u}}, \vv{\text{v}}$

e il vettore definito dai punti

$A$

$B$

. E d’altra parte,

$\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert$

è il modulo del prodotto vettoriale dei vettori di direzione delle due linee incrociate.

Pertanto, per trovare la distanza tra 2 linee che si intersecano, è necessario sapere come calcolare il prodotto triplo punto (o prodotto misto di tre vettori) e il prodotto vettoriale (o prodotto vettoriale di due vettori). Puoi rivedere come è stato fatto nei link precedenti, dove troverai le formule corrispondenti, gli esempi e gli esercizi risolti.

Esempio di come trovare la distanza tra due linee che si intersecano

Affinché tu possa vedere come determinare la distanza tra due linee incrociate, risolveremo un problema come esempio:

Qual è la distanza tra le prossime due linee che si intersecano?

$r: \ \cfrac{x-1}{2} = \cfrac{y-2}{4} = \cfrac{z+2}{-1}$

$s: \ \cfrac{x-3}{1} = \cfrac{y+1}{3} = \cfrac{z-1}{-2}$

Per prima cosa dobbiamo identificare il vettore direzione e un punto su ciascuna linea. Le due rette sono espresse sotto forma di equazione continua, quindi:

$\displaystyle r: \ \begin{cases} \vv{\text{u}} =(2,4,-1) \\[2ex] A(1,2,-2) \end{cases} \qquad \qquad s: \ \begin{cases} \vv{\text{v}}=(1,3,-2) \\[2ex] B(3,-1,1)\end{cases}$

E ora applichiamo la formula per la distanza tra due linee che si intersecano:

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert}$

Da un lato risolviamo il prodotto misto:

$\vv{AB} = B - A = (3,-1,1) - (1,2,-2) = (2,-3,3)$

$\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right| =\left| \begin{vmatrix} 2&4&-1 \\[1.1ex] 1&3&-2 \\[1.1ex] 2&-3&3 \end{vmatrix}\right| = \left| -13 \right| =13$

E, d’altra parte, troviamo la grandezza del prodotto vettoriale:

$\vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} =\begin{vmatrix} \vv{i}& \vv{j}& \vv{k} \\[1.1ex] 2&4&-1 \\[1.1ex] 1&3&-2 \end{vmatrix}=-5\vv{i} +3\vv{j}+2\vv{k}$

$\left| \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \right| =\sqrt{5^2+3^2+2^2} = \sqrt{25+9+4} = \sqrt{38}$

Infine, sostituiamo il valore di ciascun termine nella formula per la distanza tra due linee incrociate:

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert} = \cfrac{13}{\sqrt{38}}= \bm{2,11}$

Risoluzione dei problemi di distanza tra due linee che si intersecano

Esercizio 1

Trova la distanza tra le seguenti due linee che si intersecano in un punto:

$r: \ \cfrac{x-1}{2} = \cfrac{y+1}{1} = \cfrac{z+3}{2}$

$s: \ \cfrac{x-2}{3} = \cfrac{y-4}{-1} = \cfrac{z-1}{2}$

vedi soluzione

Per prima cosa dobbiamo trovare il vettore direzione e un punto su ciascuna linea. Le due rette sono definite sotto forma di equazione continua, quindi:

$\displaystyle r: \ \begin{cases} \vv{\text{u}} =(2,1,2) \\[2ex] A(1,-1,-3) \end{cases} \qquad \qquad s: \ \begin{cases} \vv{\text{v}}=(3,-1,2) \\[2ex] B(2,4,1)\end{cases}$

E ora usiamo la formula per la distanza tra due linee che si intersecano:

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert}$

Determiniamo il prodotto misto:

$\vv{AB} = B - A = (2,4,1) - (1,-1,-3) = (1,5,4)$

$\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right| =\left| \begin{vmatrix} 2&1&2 \\[1.1ex] 3&-1&2 \\[1.1ex] 1&5&4 \end{vmatrix}\right| = \left| -6 \right| =6$

Successivamente, calcoliamo l’entità del prodotto incrociato:

$\vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} =\begin{vmatrix} \vv{i}& \vv{j}& \vv{k} \\[1.1ex] 2&1&2 \\[1.1ex] 3&-1&2 \end{vmatrix}=4\vv{i} +2\vv{j}-5\vv{k}$

$\left| \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \right| =\sqrt{4^2+2^2+(-5)^2} = \sqrt{16+4+25} = \sqrt{45}$

E infine, sostituiamo il valore di ciascun termine nella formula per la distanza tra due linee che si intersecano:

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert} = \cfrac{6}{\sqrt{45}}= \bm{0,89}$

Esercizio 2

Calcola la distanza tra le due linee che si intersecano:

$r: \ \cfrac{x-2}{3} = \cfrac{y-4}{1} = \cfrac{z+2}{-1}$

$s: \ \cfrac{x+1}{2} = \cfrac{y+2}{-2} = \cfrac{z-1}{5}$

vedi soluzione

Per prima cosa dobbiamo identificare il vettore direzione e un punto su ciascuna linea. Le due rette sono espresse sotto forma di equazione continua, quindi:

$\displaystyle r: \ \begin{cases} \vv{\text{u}} =(3,1,-1) \\[2ex] A(2,4,-2) \end{cases} \qquad \qquad s: \ \begin{cases} \vv{\text{v}}=(2,-2,5) \\[2ex] B(-1,-2,1)\end{cases}$

E ora usiamo la formula per la distanza tra due linee che si intersecano:

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert}$

Determiniamo il prodotto misto:

$\vv{AB} = B - A = (-1,-2,1) - (2,4.-2) = (-3,-6,3)$

$\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right| =\left| \begin{vmatrix} 3&1&-1 \\[1.1ex] 2&-2&5 \\[1.1ex] -3&-6&3 \end{vmatrix}\right| = \left| 69 \right| =69$

Successivamente, calcoliamo l’entità del prodotto incrociato:

$\vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} =\begin{vmatrix} \vv{i}& \vv{j}& \vv{k} \\[1.1ex] 3&1&-1 \\[1.1ex] 2&-2&5 \end{vmatrix}=3\vv{i} -17\vv{j}-8\vv{k}$

$\left| \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \right| =\sqrt{3^2+(-17)^2+(-8)^2} = \sqrt{9+289+64} = \sqrt{362}$

E infine, sostituiamo il valore di ciascuna incognita nella formula per la distanza tra due linee incrociate:

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert} = \cfrac{69}{\sqrt{362}}= \bm{3,63}$

Esercizio 3

Trova la distanza tra le due linee che si intersecano:

$\displaystyle r: \ \begin{cases} x= -4t \\[1.7ex] y=2+3t \\[1.7ex] z=-1+t \end{cases}$

$\displaystyle s: \ (x,y,z)=(4,2,1)+t(3,2,-5)$

vedi soluzione

Per prima cosa dobbiamo trovare il vettore direzione e un punto su ciascuna linea. la destra

$r$

è sotto forma di equazioni parametriche e di linea

$s$

sotto forma di equazione vettoriale, quindi:

$\displaystyle r: \ \begin{cases} \vv{\text{u}} =(-4,3,1) \\[2ex] A(0,2,-1) \end{cases} \qquad \qquad s: \ \begin{cases} \vv{\text{v}}=(3,2,-5) \\[2ex] B(4,2,1)\end{cases}$

E ora usiamo la formula per la distanza tra due linee che si intersecano:

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert}$

Determiniamo il triplo prodotto scalare:

$\vv{AB} = B - A = (4,2,-1) - (0,2,1) = (4,0,-2)$

$\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right| =\left| \begin{vmatrix} -4&3&1 \\[1.1ex] 3&2&-5 \\[1.1ex] 4&0&-2 \end{vmatrix}\right| = \left| -34 \right| =34$

Successivamente, calcoliamo l’entità del prodotto incrociato:

$\vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} =\begin{vmatrix} \vv{i}& \vv{j}& \vv{k} \\[1.1ex] -4&3&1 \\[1.1ex] 3&2&-5 \end{vmatrix}=-17\vv{i} -17\vv{j}-17\vv{k}$

$\left| \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \right| =\sqrt{(-17)^2+(-17)^2+(-17)^2} = \sqrt{289+289+289} = \sqrt{867}$

E infine, sostituiamo il valore di ciascun termine nella formula per la distanza tra due linee che si intersecano:

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert} = \cfrac{34}{\sqrt{867}}= \bm{1,15}$

Cosa sono due linee che si intersecano?

Come calcolare la distanza tra due linee che si intersecano

Esempio di come trovare la distanza tra due linee che si intersecano

Risoluzione dei problemi di distanza tra due linee che si intersecano

Esercizio 1

Esercizio 2

Esercizio 3

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